秋季工学硕士研究生学位课程数值分析真题试卷

1、4 设函数 f(x)C2x0-h，x 0+h，h0，则 =_5 求积分 的两点高斯公式为_，该公式的代数精度为_6 分析非线性方程 在(0，+)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+) 内的全部实根，精确至 3 位有效数字7 给定方程组 Ax=b，其中 A= ，x，bR 3，R试确定 的取值范围，使求解该方程组的 Jacobi 迭代格式和 GaussSeidel 迭代格式都收敛8 已知函数 f(x)在区间x 0， x2上有定义，且 x1= 试求函数 f(x)的三次插值多项式 p(x)，使之满足 p(x0)=f(x0)，p(x 1)=0，p“(x 1)=0，p(x 2)=f(x2)9 求函数 f(x)= 在0，1上的一次最佳平方逼近多项式 P1(x)=a+bx10 已知函数 f(x)C4-a，a ，I(f)= 1)试确定求积公式 =A0f(-a)+A1f(0)+A2f(a)中的参数 A0，A 1，A 2，使 的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)求。

2、要条件为_若 A 为严格对角占优矩阵，则用 Jacobi 格式来求解该方程组时_(一定收敛、一定不收敛、不一定收敛)3 已知矩阵 则AX 2=_，cond(A) =_4 设函数 f(x)=2x3-x+1，则 f(x)以 x0=-1，x 1=0，x 2=1，x 3=2 为插值节点的三次插值多项式为_，相应的插值余项为_5 设函数 f(x)C3x0-h，x 0+h，h0，则=_.6 分析非线性方程 f(x)=x3-x-1=0 实根的分布情况，并用迭代法求出该方程的全部实根，精确至 3 位有效数7 应用列主元 Gauss 消去法求解下列线性方程组：8 设函数 f(x)=cosx，以 x=0 为三重节点，x= 2 为单重节点作 f(x)的三次 Hermite插值多项式，并估计该插值多项式在0， 2上的误差9 求参数 a， b，使 达到最小10 已知函数 f(x)C2a，b，I(f)= 1)试写出求 I(f)的一点高斯公式 I0(f)=A0f(x0)； 2)试求出截断误差 I(。

3、2.设 f(x，y)=ln(x+y)，x 1 =135，y 1 =0650 分别表示 （分数：2.00）_3.求解线性方程组 Ax=b的迭代格式 x (k+1) =Bx (k) +f，k=0，1，收敛的充分必要条件为_若 A为严格对角占优矩阵，则用 Jacobi格式来求解该方程组时_(一定收敛、一定不收敛、不一定收敛)（分数：2.00）_4.已知矩阵 （分数：2.00）_5.设函数 f(x)=2x 3 -x+1，则 f(x)以 。

4、2.已知 x=0045，y=2013 均为有效数，则 （分数：2.00）_3.已知矩阵 （分数：2.00）_4.设函数 f(x)=2x 3 -x+1，则 f(x)以 x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为_（分数：2.00）_5.设函数 f(x)C 2 x 0 -h，x 0 +h，h0，则 （分数：2.00）_。

5、的解：4 给定线性方程组 其中 a，b，c 均为正数证明：求上述方程组的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式同时收敛同时发散，并且当收敛时，Gauss-Seidel 迭代格式的收敛速度比 Jaboci 迭代格式的收敛速度快5 设函数 f(x)C3a，b，并且 f(a)=f(b)=0 1)求一个 2 次多项式 p(x)，使其满足p(a)=f(a)，p(a)=f(a)，p(b)=f(b)； 2)求一个 2 次多项式 g(x)，使其满足 q(a)=f(a)，q(b)=f(b)，q(b)=f(b)； 3)证明：6 求 1 次多项式 p1(x)=a+bx，使得 取最小值，并求此最小值7 已知求积公式 为 Gauss 公式试给出形如 的求积公式，使其代数精度达到 58 已知函数表 用复化 simpson 公式计算积分 的近似值，要求精确到 5 位有效数字9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记xi=a+ih，i=0，1 ，2，n；y iy(xi)，i=1，2，n，y 0=1)用数值积分方法构造形。

6、.x2=_4 用 Simpson 公式计算积分 的近似值为_5 设 是以 0，1，2 为节点的三次样条函数，则a=_，b=_6 给定方程 ex- x-2=0，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至 3 位有效数字7 用列主元 Guass 消去法求下列线性方程组的解：8 给定求解线性方程组 Ax=b 的迭代格式 Bx(k+1)+Cxk=b，其中试确定 的值使上述迭代格式收敛9 作一个 3 次多项式 H(x)，使得 H(a)=b3，H(b)=a 3，H“(a)=6b ，H“(b)=6a10 求函数 y(x)=x4 在区间 0，1上的一次最佳一致逼近多项式 p(x)11 已知函数 f(x)C4a，b，I(f)= abf（x）dx 1)写出以 a，b 为二重节点所建立的f(x)的 3 次 Hermite 插值多琐式 H(x)及插值余项； 2)根据 f(x)H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式 IH(x)，并分析该公式的截断误差和代数精度12 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba。

7、x)的 Hermite 插值多项式为_5 己知差分格式 当步长比 r_时，该差分格式在 L范数下是稳定的6 给定方程 lnx-x2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至 3 位有效数字7 用列主元 Gauss 消去法求下面线性方程组的解：8 设 A= 是非奇异矩阵，试用 ， 表示求解方程组Ax=b 的 Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分必要条件9 设 x0，x 1，x 2 为互异节点，a，b，m 为已知实数试确定 x0，x 1，x 2 的关系，使满足如下三个条件 p(x0)=a， p(x 1)=m，p(x 2)=b 的二次多项式 p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式 p(x)10 求 y=x在 -1，1 上形如 c0+c1x2 的最佳平方逼近多项式11 已知函数 f(x)C30，3，试确定参数 A，B，C，使下面的求积公式 Af(0)+Bf(1)+Cf(2)代数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式12 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并。

8、格式；2)取初始向量 x(0)=(1，1，1) T，用 Jacobi 迭代求方程组的解，精确到 2 位有效数字5 若 g(x)是 f(x)以 x0，x 1， ，x n-1 为插值节点的(n-1)次插值多项式，h(x)是 f(x)以x1，x 2，x n 为插值节点的(n-1)次插值多项式证明函数是 f(x)以 x0，x 1，x n 为插值节点的 n 次插值多项式6 求 a，b，使得 取最小值，并求该最小值7 设 f(x)C2a，b，I(f)= I(f)的梯形公式将a，b进行 n 等分，记 h=(b-a)/n，x i=a+ih，0in1)写出计算积分 I(f)的复化梯形公式Tn(f)2) 已知 I(f)-T(f)= 证明：存在 (a，b)，使得 I(f)-Tn(f)=8 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i=a+ih，i=0，1，2 ，n；y iy(xi)，1in ，y 0=试用数值积分方法导出Adams 两步显式公式 并写出局部截断误差的表达式9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b。

9、3 用列主元 Gauss 消去法解方程组4 给定下面的线性方程组 试写出求解该方程组的 Gauss-Seidel 迭代格式，并分析 Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性5 已知 f(x)的如下信息： 求一个 4 次多项式 H(x)，使得 H(xi)=f(xi)，0i2；H(x i)=f(xi)， i=0 ，26 求 a，b，使得积分 取最小值7 设 fC1a， b，求 x0，c 1，c 2，使求积公式 具有尽可能高的代数精度，并指出达到的最高次代数精度的次数8 设 f(x)C4a，b，I(f)= ,而 为计算 I(f)的 Simpson 公式将a，b进行 n 等分，记 h=(ba)n，x i=a+ih，0in ； =(xi+xi+1)2，0in-11)写出计算积分 x(f)的复化Simpson 公式 Sn(f)2) 已知 证明：存在 (a，6)，使得9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i=a+ih，i=0，1，2，n；y iy(xi)，1in，y 0=试求下面。

10、求积分 近似值的梯形公式是_6 求解初值问题 的后退 Euler 公式是_7 设 A 是实对称矩阵，则求其主特征值及对应的特征向量的幂法 (归一化算法)是_8 给定方程 ex=2-x，证明该方程存在唯一实根 x*，并用迭代法求 x*的近似值，精确到 3 位有效数字9 用列主元 Gauss 消去法求解线性方程组10 给定线性方程组 Ax=b，这里 ARnn 为非奇异矩阵， bRn，xR n设有下面的迭代格式 x(k+1)=x(k)+(b-Ax(k)，k=0，1，2，(A) 其中 0 为常数 1)证明：如果迭代格式(A) 收敛，则迭代序列 收敛于方程 Ax=b 的解； 2)设 n=2，问 取何值时迭代格式 (A)收敛?11 求一个函数 p(x)，使之满足下面的三个条件：1)p(x)C 10，22)p(0)=f(0)，p(1)=f(1)，p(2)=f(2)，P(0)=f(0)；3)p(x) 在0，1和1 ，2上均为 2 次多项式12 求函数 f(x)=lnx 在区间1，2上的 1 次最佳一。

11、单迭代法求方程 sinx-x 2 +2=0 的正根，精确到 4 位有效数字，并验证迭代法的收敛性（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss 消去法解方程组 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定线性方程组 （分数：2.00）_5.若 g(x)是 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x n-1 为插值节点的(n-1)次插值多项式，h(x)是 f(x)以 x 1 ，x 2 ，x n 为插值节点的(n-1)次插值多项式证明函数。

12、2.设x1，计算 （分数：2.00）_3.求积分 a b f（x）dx 的两点 Gauss 公式为_（分数：2.00）_4.设 A= （分数：2.00）_5.给定 f(x)=x 4 ，以 0 为三重节点，2 为二重节点的 f(x)的 Hermite 插值多项式为_（分数：2.00）_。

13、2.分析方程 x 4 -x 2 -2x-1=0存在几个实根，并用迭代法求出这些实根，精确到 3位有效数字（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss消去法求下面线性方程组的解： （分数：2.00）_二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定线性方程组 （分数：2.00）_5.设函数 f(x)C 3 a，b，并且 f(a)。

14、x-1)(x-2)，则0，1，2，3=_5 设 f(x)在0，1上 2 阶连续可导，则 =_6 求积分 的 Simpson 公式是_7 求常微分方程初值问题 的改进的 Euler 公式是_.8 构造一种迭代算法求 的近似值，精确到 4 位有效数字9 给定线性方程组 写出求解该方程组的 Jacobi 迭代格式，并分析 Jacobi 迭代格式的收敛性10 给定线性方程组 Ax=b，其中 ARnn 可逆，bR n 为非零向量，xR n设 x*和分别为方程组的精确解和近似解， 证明：11 用插值法求一个二次多项式 p2(x)，使得曲线 y=p2(x)在 x=0 处与曲线 y=cosx 相切，在 x=兀 2 处与 y=cosx 相交，并证明：12 求函数 f(x)=xex 在区间0，1上的 1 次最佳平方逼近多项式 p1(x)=ax+b13 给定求积公式 1)求 A，x 0，x 1，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的最高代数精度的次数；2)设 f(x)在0，2上充分光滑，求由 1)所确定。

15、2.00）_2.给定方程 x 3 5x 2 +2=0，分析该方程有几个实根，并用迭代法求方程的最大实根，精确到 3 位有效数字（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss 消去法解方程组 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定下面的线性方程组 （分数：2.00）_。

16、点的 2 次牛顿插值多项式为_4 用 Simpson 公式计算 的近似值(保留小数点后 3 位小数)是_5 求解初值问题 的改进的 Euler 公式是_ 6 求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比 s_，该差分格式关于空间步长_阶收敛，关于时间步长_阶收敛7 分析方程 x5-5x+1=0 有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到 4 位有效数字8 用列主元 Gauss 消去法求求面线性方程组的解：9 设有求解线性方程组 Ax=b 的迭代格式 Bx(k+1)+Cx(k)=b，k=0，1，(A) 其中试确定实参数 和 的取值范围，使迭代格式(A) 收敛10 设，C 4a，a+2 ，求一个 3 次多项式 H(x)，使之满足 H(a)=f(a)， H(a+1)=f(a+1)，H(a+2)=f(a+2)，H(A)=f(a)，并写出插值余项 f(x)-H(x)的表达式11 用最小二乘法确定经验公式 u=a+bex 中的参数 a 和 b，使该曲线拟合下面的数据：12 。

17、2.已知 x 1 =0724，x 2 =125 均为有效数，则e r (x 1 x 2 )_e(x 1 x 2 )_（分数：2.00）_3.设 A= （分数：2.00）_4.超定方程组 （分数：2.00）_5.用 Simpson公式计算积分 （分数：2.00）_。

18、2.设 x 1 =02008 和 2 =01809 是具有 4位有效数字的近似值，则 x 1 x 2 至少具有_位有效数字（分数：2.00）_3.给定方程 x=1+sin2x，求该方程根的 Newton迭代格式是_（分数：2.00）_4.设 （分数：2.00）_5.设 f(x)=x(x-1)(x-2)，则0，1，2，3=_（分数：2.00）_。

19、2.为提高数值计算精度，当近似值 X1 时，应将 （分数：2.00）_3.求方程 x=f(x)实根的 Newton迭代格式是_（分数：2.00）_4.设 （分数：2.00）_5.给定函数 f(x)=x 5 +1，则差商 f0，1，1，1=_（分数：2.00）_。

20、2.设多项式 f(x)=4x 4 十 6x 3 +9x+1，则求 f(x 0 )仅含有 4次乘法运算的算法为_（分数：2.00）_3.已知实对称矩阵 A的全部特征值是 3，2，1，则 cond(A) 2 =_（分数：2.00）_4.设 f(x)=x 3 -3x+1，则 f(x)以 0，1，2 为插值节点的 2次牛顿插值多项式为_（分数：2.00）_5.用 Simpson公式计算 （分数：2.00）_。