1、2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 C 及答案与解析1 设序列y n满足递推关系 若 y0 是具有 4 位有效数字的近似值，试估计 y10 的绝对误差限和相对误差限2 用简单迭代法求方程 sinx-x2+2=0 的正根，精确到 4 位有效数字，并验证迭代法的收敛性3 用列主元 Gauss 消去法解方程组4 给定线性方程组 1)写出求解该方程组的 Jacobi 迭代格式；2)取初始向量 x(0)=(1，1，1) T，用 Jacobi 迭代求方程组的解，精确到 2 位有效数字5 若 g(x)是 f(x)以 x0，x 1， ，x n-1 为插值节点的(n-1)次插值多项式，h
2、(x)是 f(x)以x1，x 2，x n 为插值节点的(n-1)次插值多项式证明函数是 f(x)以 x0，x 1，x n 为插值节点的 n 次插值多项式6 求 a，b，使得 取最小值，并求该最小值7 设 f(x)C2a，b，I(f)= I(f)的梯形公式将a，b进行 n 等分，记 h=(b-a)/n，x i=a+ih，0in1)写出计算积分 I(f)的复化梯形公式Tn(f)2) 已知 I(f)-T(f)= 证明：存在 (a，b)，使得 I(f)-Tn(f)=8 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i=a+ih，i=0，1，2 ，n；y iy(xi)，1in ，y 0=
3、试用数值积分方法导出Adams 两步显式公式 并写出局部截断误差的表达式9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i=a+ih，i=0，1，2 ，n；y iy(xi)，1in ，y 0=试分析公式的局部截断误差，并指出该公式是一个几阶公式10 设抛物型方程初边值问题 有光滑解 u(x，t) ，其中 (0)=(0)，(1)=(0)取正整数 M 和 N，并记h=1M，=TN；x i=a+ih，0iM；t k=k，0kN1)写出求上述定解问题的古典隐格式；2)若 f(x，t)=x+t，(x)=x(1-x) ，(t)=0，(t)=0，h=1/3，=V3，求 u11和 u2120
4、10 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 C 答案与解析1 【正确答案】 根据题意，有e(y 0)0 510 -3，又 e(yn)=5e(yn-1)=5ne(y0)，e(y 10)=5 10e(y 0)5 100510 -3=48828125，所以2 【正确答案】 记 f(x)=sinxx2+2，则 f(x)=cosx-2x当 x1 时，f(x) 0，所以f(x)在1，+)单调减又因为当 x0，1时，f(x)0，f(2)=sin 220，所以方程有唯一正根 x*1，2构造迭代格式 计算得x1=1 7313， x2=17283 ，x 3=17285，x 3-x2=00002053
5、【正确答案】 等价的三角形方程组为 解得 x1=2，x 2=1，x 3=14 【正确答案】 1)Jacobi 迭代格式为 2)取因为x 5-x4=00010510 -2，所以 x(0247，0155，0239) T5 【正确答案】 由条件知 g(xi)=f(xi)，i=0，1， n-1，h(x i)=f(xi)，i=1，2 ， n记 因为 g(x)和 h(x)为(n-1)次多项式，所以 s(x)为 n 次多项式，而且 s(x0)=g(x0)=f(x0)，当 j=1，2，n-1 时，有因此有 s(xi)=f(xi)， i=0，1 ， n，6 【正确答案】 记 f(x)=ln(1+x)，p 1(x
6、)=a+bx，当 x(0，1)时，f“(x)= 0，所以 f(x)-p1(x)在0，1上恰有 3 个交错偏差点分别为 0，x 1，1，而且满足即 解方程组得 a= (ln2-lnln2-1)，b=in2， x1= -1，故最小值为f(0)-p 1(0)= (1+lnln2-ln2)7 【正确答案】 1)复化梯形公式为 2)利用梯形公式的截断误差得8 【正确答案】 将方程两边在x i，x i+1上积分得 y(xi+1)=y(xi)+xixi+1f(x，y(x)dx作f(x，y(x) 以 xi，x i-1 为节点的线性插值多项式，有所以得 y(xi+1)=i(xi，x9 【正确答案】 局部截断误差为 i+1=y(xi+1)- y(xi)+y(xi-1)- 3f(xi+1，y(x i+1)+8f(xi，y(x i)+f(xi-1，y(x i-1)=y(xi+1)- y(xi)+y(xi-110 【正确答案】 1)古典隐格式为 2)记 r=h 2，则差分方程可写为-ru i-1k+(1+2r)uik-rui+1k=uik-1+f(xi，t k)，1iM-1，1kN 当 h=13 有 M=3，当 k=1 时我们得将 r=h 2=3，=1
