1、2009 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 设多项式 f(x)=4x4 十 6x3+9x+1，则求 f(x0)仅含有 4 次乘法运算的算法为_ 2 已知实对称矩阵 A 的全部特征值是 3，2，1，则 cond(A)2=_3 设 f(x)=x3-3x+1，则 f(x)以 0，1，2 为插值节点的 2 次牛顿插值多项式为_4 用 Simpson 公式计算 的近似值(保留小数点后 3 位小数)是_5 求解初值问题 的改进的 Euler 公式是_ 6 求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比 s_，该差分格式
2、关于空间步长_阶收敛，关于时间步长_阶收敛7 分析方程 x5-5x+1=0 有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到 4 位有效数字8 用列主元 Gauss 消去法求求面线性方程组的解：9 设有求解线性方程组 Ax=b 的迭代格式 Bx(k+1)+Cx(k)=b，k=0，1，(A) 其中试确定实参数 和 的取值范围，使迭代格式(A) 收敛10 设，C 4a，a+2 ，求一个 3 次多项式 H(x)，使之满足 H(a)=f(a)， H(a+1)=f(a+1)，H(a+2)=f(a+2)，H(A)=f(a)，并写出插值余项 f(x)-H(x)的表达式11 用最小二乘法确定经验公式 u=a+
3、bex 中的参数 a 和 b，使该曲线拟合下面的数据：12 设 f(x)C2a，b，I(f)= ,h=(b-a)n，x k=a+kh，k=0，1，n； =Xk+h2，k=0，1，n-1.1)写出计算积分 I(f)的一点 Gauss 公式 G(f)以及对应的复化求积公式 Gn(f); 2)设 Tn(f)是计算积分I(f)的复化梯形公式，求参数 ，使得13 给定常微分方程初值问题(B) 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i=a+ih，i=0，1，2 ，n给定求初值问题 (B)的多步方法： y i+1=-4yi+5yi-1+h1f(x1，y 1)+2f(xi+1，y i+1) (C) 1)试确定
4、公式(C)中的参数 1， 2，使求解公式具有尽可能高的阶数，写出局部截断误差表达式并指出最高阶数； 2)利用 Euler 公式和公式(C) 构造一个预测-校正公式14 给定初边值问题 其中 (x)，(t)，(t)是光滑函数，且满足相容性条件取正整数 M，N ，记 h=(ba)M，=T N，x i=a+ih(0iM)，t k=k(0kN)1) 写出求上述定解问题的古典隐格式；2) 设 f(x，t)0，(t)=(t)0，u ik0iM，0kN是古典隐格式的解，记r=h 2， ,k=0，1，N.证明：对任意步长比 r，有u ku0,k=1,2,N2009 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题
5、试卷答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答案】 (4x 0+6)x02+9x0+12 【正确答案】 33 【正确答案】 1-2x+3x(x-1)4 【正确答案】 0.7475 【正确答案】 y i+1=yi+ f(xi，y i)+f(xi+1,yi，hf(x i， yi)6 【正确答案】 1，2，27 【正确答案】 令 f(x)=x55x+1，则 f(x)=5x45，当 x=1 时 f(x)=0注意到x(0，1)时 f(x)0，x(1，+)时 f(x)0又因为 f(0)=10，f(1)=-30，f(2)=230 ，因此方程有 2 个正根分别在(0，1) 和
6、(1， 2)中，故最大正根 x*(1，2)用Newton 迭代法求解，迭代格式为 xk+1=xk- ,k=0,1,2，取 x08 【正确答案】 求得x1=1， x2=1， x3=89 【正确答案】 由迭代格式(A)得 x(k+1)=-B-1Cx(k)+B-1b，由迭代法基本定理知迭代格式收敛 (-B-1C)1-B -1C 的特征方程为I+B -1C=B -1B+C=0，由此得 2-(+)+=0，求得 1=0， 2=，10 【正确答案】 由 Hermite 插值，有 H(x)=f(a)+fa，a(xa)+fa ，a，a+1(xa)2+fa，a，a+1，a+2(x-a) 2x-(a+1)fa ，a
7、=f(a) ， fa，a+1=f(a+1)-f(a)， fa+1，a+2=f(a+2)-f(a+1)， fa，a，a+1J=f(a+1)-f(a)-f(a)，fa，a+1，a+2= f(a+2)-2f(a+1)+f(a)，fa，a，a+1，a+2=11 【正确答案】 令 0(x)=1， 1(x)=ex，则 (0， 0)=4， ( 0， 1)=e-1+1+e+e2=114752， ( 1， 1)=e-2+1+e2+e2=631225，(12 【正确答案】 1)求 -11g(t)dt 的一点 Gauss 公式为 2g(0)，则所以2)复化梯形公式为所以13 【正确答案】 1)多步公式(C)的局部截断误差为 Ri+1=y(xi+1)+4y(xi)-5y(xi-1)-h1f(xi，y(x i)+2f(xi+1，y(x i+1)=y(xi+1)+4y(xi)-5y(xi-1)-h14 【正确答案】 1)古典隐格式为 2)当 f(x,t)0(t)=(t)0 时，上述古典隐格式可写为由此可得对任意 1iM-1，1kN 有 (1+2r) u ikr(u i+1k+u i-1k)+u ik-12ru k+uk-1
