1、2010年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设近似值 x=201 和 y=314 的相对误差限分别是e r (x)0003，e r (y)0002，试求函数 x=xsin(x+2y)的相对误差限（分数：2.00）_2.分析方程 x 4 -x 2 -2x-1=0存在几个实根，并用迭代法求出这些实根，精确到 3位有效数字（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss消去法求下面线性方程组的解： （分数：2.00）_二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定线性方程组 （分数：2.0
2、0）_5.设函数 f(x)C 3 a，b，并且 f(a)=f(b)=0 1)求一个 2次多项式 p(x)，使其满足 p(a)=f(a)，p“(a)=f“(a)，p(b)=f(b)； 2)求一个 2次多项式 g(x)，使其满足 q(a)=f(a)，q(b)=f(b)，q“(b)=f“(b)；3)证明： （分数：2.00）_6.求 1次多项式 p 1 (x)=a+bx，使得 （分数：2.00）_7.已知求积公式 为 Gauss公式试给出形如 （分数：2.00）_8.已知函数表 用复化 simpson公式计算积分 （分数：2.00）_9.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 （分数：2.00）_
3、10.给定初边值问题 其中 (x)是光滑函数，且满足相容性条件取正整数 M，N，记 h=(b-a)M，=TN；x i =a+ih，0iM；t k =k，0kN设有求上述定解问题的差分格式 写出上述差分格式的截断误差表达式 2)设 f(x，t)0，u i k 0iM，0kN是上述差分格式的解，记 r=h 2 ， k=0，1，N 证明：当步长比 （分数：2.00）_2010年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设近似值 x=201 和 y=314 的相对误差限分别是e r (x)0003，e
4、 r (y)0002，试求函数 x=xsin(x+2y)的相对误差限（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e(z)sin(x+2y)+xcos(x+2y)e(x)+2xcos(x+2y)e(y)， )解析：2.分析方程 x 4 -x 2 -2x-1=0存在几个实根，并用迭代法求出这些实根，精确到 3位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=x 4 -x 2 -2x-1，则 f“(x)=4x 3 2x-2=2(x-1)(2x 2 +2x+1) 令 f“(x)=0，则得唯一驻点 =1 当 x1 时，f“(x)0； 当 x1 时，f“(x)0， 因此 )解析：3.用列主元
5、 Gauss消去法求下面线性方程组的解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对应的三角形方程组为 求得 x 1 = )解析：二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Jacobi迭代矩阵为 J，GaussSeidel 迭代矩阵为 G，则 J的特征方程为 展开得 abc 3 +(a+c)=0，求得特征值为 1 =0， 2,3 = 所以 G的特征方程为 展开得 abc 3 +(a+c) 2 =0，求得特征值为 1,2 =0， 3 = ，所以 p(G)= )解析：5.设函数 f(x)C 3 a，b，并且 f(a)=f(b)=
6、0 1)求一个 2次多项式 p(x)，使其满足 p(a)=f(a)，p“(a)=f“(a)，p(b)=f(b)； 2)求一个 2次多项式 g(x)，使其满足 q(a)=f(a)，q(b)=f(b)，q“(b)=f“(b)；3)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由 Hermite插值知 p(x)=f(a)+fa，a(xa)+fa，a，b(x-a) 2 由fa，a=f“(a)，f(a)=f(b)=0，得 fa，a，b=(fa，b-fa，a)(b-a)=-f“(a)(ba)， 所以 2)由 Hermite插值知 q(x)=f(a)+fa，b(xa)+fa，b，b(x-a)(x-b
7、)fa，b=0，fa，b，b=f“(b)(ba)，所以 3)对任意 xa，b，有 )解析：6.求 1次多项式 p 1 (x)=a+bx，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=x 3 ，则当 x(0，1)时，f“(x)=6x0，所以 f(x)-p 1 (x)在0，1上有 3个交错偏差点：0，x 1 ，1，且有 即 晖方程组得 a= ，b=1，x 1 = 所以 最小值为f(0)-P 1 (0)= )解析：7.已知求积公式 为 Gauss公式试给出形如 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t-1，1，并记 g(t)= 则当 f(x)是任意次数不超过 5次的关于x的多
8、项式时，g(t)是次数不超过 5次的关于 t的多项式由于 3点 Gauss公式的代数精度为 5，所以有 =A 0 f(x 0 )+A 1 f(x 1 )+A 2 f(x 2 )，其中 )解析：8.已知函数表 用复化 simpson公式计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：根据题意，有 S 1 (f)= f(0)+4f(1)+f(2)= (084147+4 090930+014112)=153993，S 2 (f)= f(0)+4y(05)+2f(1)+4f(15)+f(2)= (084147+4099749+2090930+4059847+014112)=153083s
9、 4 (f)= )解析：9.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)将方程两边在x i-1 ，x i+1 上积分，得 y(x i+1 )=y(x i-1 )+ xi-1 xi+1 f(x，y(x)dx，上式右端项积分用 Simpson公式逼近，有 xi-1 xi+1 f(x，y(x)dx )解析：10.给定初边值问题 其中 (x)是光滑函数，且满足相容性条件取正整数 M，N，记 h=(b-a)M，=TN；x i =a+ih，0iM；t k =k，0kN设有求上述定解问题的差分格式 写出上述差分格式的截断误差表达式 2)设 f(x，t)0，u i k 0iM，0kN是上述差分格式的解，记 r=h 2 ， k=0，1，N 证明：当步长比 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)截断误差为 k (t k ，t k+1 )， i ， i (x i-1 ，x i+1 ) 2)记r=h 2 ，s=h，将差分格式写为 u i k+1 -u i k + )解析：
