1、2007年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：32.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_2.设 x 1 =02008 和 2 =01809 是具有 4位有效数字的近似值，则 x 1 x 2 至少具有_位有效数字（分数：2.00）_3.给定方程 x=1+sin2x，求该方程根的 Newton迭代格式是_（分数：2.00）_4.设 （分数：2.00）_5.设 f(x)=x(x-1)(x-2)，则0，1，2，3=_（分数：2.00）_6.设 f(x)在0，1上 2阶
2、连续可导，则 （分数：2.00）_7.求积分 （分数：2.00）_8.求常微分方程初值问题 （分数：2.00）_二、计算题(总题数：2，分数：4.00)9.构造一种迭代算法求 （分数：2.00）_10.给定线性方程组 （分数：2.00）_三、证明题(总题数：2，分数：4.00)11.给定线性方程组 Ax=b，其中 AR nn 可逆，bR n 为非零向量，xR n 设 x * 和 分别为方程组的精确解和近似解， 证明： （分数：2.00）_12.用插值法求一个二次多项式 p 2 (x)，使得曲线 y=p 2 (x)在 x=0处与曲线 y=cosx相切，在 x=兀2处与 y=cosx相交，并证明：
3、 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：4，分数：8.00)13.求函数 f(x)=xe x 在区间0，1上的 1次最佳平方逼近多项式 p 1 (x)=ax+b（分数：2.00）_14.给定求积公式 1)求 A，x 0 ，x 1 ，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的最高代数精度的次数； 2)设 f(x)在0，2上充分光滑，求由 1)所确定的求积公式的截断误差，并将其表示为 （分数：2.00）_15.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n,记 给定上述初值问题的求解公式： （分数：2.00）_16.给定初边值问题 （分数：2.00）_2007年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析
4、）真题试卷答案解析(总分：32.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_解析：2.设 x 1 =02008 和 2 =01809 是具有 4位有效数字的近似值，则 x 1 x 2 至少具有_位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3)解析：3.给定方程 x=1+sin2x，求该方程根的 Newton迭代格式是_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x k+1 =x k - )解析：4.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3)解析：5.设 f(x)=x(x-1)(x-
5、2)，则0，1，2，3=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)解析：6.设 f(x)在0，1上 2阶连续可导，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.求积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.求常微分方程初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)9.构造一种迭代算法求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 x 5 2008=0， 是该方程的根用 Newton迭代法求根，其格式为 计算得 x 1 =476875，x 2 =459156，x 3 =457680，x 4 =4.
6、57670 因为x 4 -x 3 =000010510 -3 ，所以 )解析：10.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Jacobi 迭代格式为 Jacobi迭代矩阵 J的特征方程是 展开得 4 3 -=0，求得特征值 1 =0， 2,3 = 所以 p(J)= )解析：三、证明题(总题数：2，分数：4.00)11.给定线性方程组 Ax=b，其中 AR nn 可逆，bR n 为非零向量，xR n 设 x * 和 分别为方程组的精确解和近似解， 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件得 Ax * =b， =b-r，因此有 A(x * - )=r. 两边取范数
7、得r=A(x * - )Ax * - ，又由 x * =A -1 b得x * =A -1 bA -1 b，由上面两个估计得 从而有 )解析：12.用插值法求一个二次多项式 p 2 (x)，使得曲线 y=p 2 (x)在 x=0处与曲线 y=cosx相切，在 x=兀2处与 y=cosx相交，并证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件得 p 2 (0)=cosx x=0 =1，p“ 2 (0)=(cosx)“ x=0 =0，p 2 (2)=cosx x=2 =0.由 Hermite插值得 p 2 (x)=f(0)+f0，0x+f0，0，兀2x 2 ， 作差商表： 所以 记 g(x)
8、=x 2 (x- )解析：四、综合题(总题数：4，分数：8.00)13.求函数 f(x)=xe x 在区间0，1上的 1次最佳平方逼近多项式 p 1 (x)=ax+b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取基函数 0 (x)=1, 1 (x)=x,则( 0 , 0 = 0 1 =1，( 0 , 1 )= 0 1 xdx= ，( 1 , 1 )= 0 1 x 2 dx= )解析：14.给定求积公式 1)求 A，x 0 ，x 1 ，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的最高代数精度的次数； 2)设 f(x)在0，2上充分光滑，求由 1)所确定的求积公式的截断误差，并将其表示为 （分
9、数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)当 f(x)=1，左= 0 2 1dx=2，右=A+1；当 f(x)=x，左= 0 2 xdx=2，右=Ax 0 +x 1 ；当 f(x)=x 2 ，左= 0 2 x 2 dx= )解析：15.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n,记 给定上述初值问题的求解公式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x i+1 点的局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-hf(x i +(1-)h，y(x i )+hf(x i ，y(x i )=y(x i+1 )-y(x i )-hf(x i +(1-)h，y(x i )+hy“(x i )=y(x)解析：16.给定初边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 U i k =u(x i ，t k )，0iM,0kN考虑(x i ，t k )点的方程 由 Taylor展开得 其中 k (t k-1 ，t k+1 )， i (x i-1 ，x i+1 )， )解析：
