1、2011 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 设x1，计算 时，为了提高精度应把它变形为_2 求积分 abf（x）dx 的两点 Gauss 公式为_3 设 A= 则A =_，A 2=_4 给定 f(x)=x4，以 0 为三重节点，2 为二重节点的 f(x)的 Hermite 插值多项式为_5 己知差分格式 当步长比 r_时，该差分格式在 L范数下是稳定的6 给定方程 lnx-x2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至 3 位有效数字7 用列主元 Gauss 消去法求下面线性方程组
2、的解：8 设 A= 是非奇异矩阵，试用 ， 表示求解方程组Ax=b 的 Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分必要条件9 设 x0，x 1，x 2 为互异节点，a，b，m 为已知实数试确定 x0，x 1，x 2 的关系，使满足如下三个条件 p(x0)=a， p(x 1)=m，p(x 2)=b 的二次多项式 p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式 p(x)10 求 y=x在 -1，1 上形如 c0+c1x2 的最佳平方逼近多项式11 已知函数 f(x)C30，3，试确定参数 A，B，C，使下面的求积公式 Af(0)+Bf(1)+Cf(2)代数精度尽可能高，并给出此时求
3、积公式的截断误差表达式12 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记h=an，x i=a+ih，0in 证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当 h0 时，y n 收敛于 y(a)13 已知椭圆方程边值问题 其中=0x3，0y3)试用五点差分格式求 u(1，1)，u(1 ，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值2011 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答案】 2 【正确答案】 3 【正确答案】 4 【正确答案】 x 45 【正确答案】 6 【正确答案】 令 f(x)=lnx-x2+4，则
4、 f(x)= -2x,当 x= 时，f(x)=0.注意到f(001)=-060530,f(1)=30,f(3)=-390140,而当 时，f(x)0，当时，f(x)0，所以方程 f(x)=0 有两个实根，分别在(001，1)和(1，3)内方程的最大根必在(1，3)内，用 Newton 迭代格式 取x0=2，计算得 x1=21980 ，x 2=217 【正确答案】 求得x1=3， x2=1， x3=58 【正确答案】 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵特征方程为 展开得500315=0 或者 (500215)=0，解得 =0或 2= 则 Jacobi 格式收敛的充要条件为 Gauss-Seidel
5、 格式迭代矩阵的特征方程为展开得 5003152=0 或者 2(500-15)=0，解得 =0或 =则 Gauss-Seidel 格式收敛的充9 【正确答案】 由条件 p(x0)=a，p(x 2)=b 确定一次多项式 p1(x)，有所以 p(x)-P1(x)=A(xx0)(xx2)，p(x)=p 1(x)+A(xx0+xx2)，p(x 1)=m= +A(2x1-x0-x210 【正确答案】 取 0(x)=1， 1(x)=x2，则( 0， 0)=-11=2，( 0， 1)=-11x2dx= ，( 1， 1)=-11x211 【正确答案】 当 f(x)=1 时左= 031dx=3，右=A+B+C，
6、当 f(x)=x 时左=03xdx= ，右=B+2C 当 f(x)=x2 时左= 03x2dx=9,右=B+4C要使公式具有尽可能高的代数精度，则 而当 f(x)=x3 时，左= 03x312 【正确答案】 梯形公式应用于方程有 yi+1=yi+ (-yiyi+1)，即有所以 i=1，2，当 h0 时，n我们有 而由方程知解析解 y=e-x则 y(a)=e-a，所以13 【正确答案】 五点差分格式为根据要求，可取 h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2) 处的差分格式列成方程组有 或者解得u11=158750 ，u 21=226250 ，u 12=158750，u 22=226250
