[考研类试卷]2010年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B及答案与解析.doc

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1、2010 年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷 B 及答案与解析1 设 ,x *和 y*的具有 6 位有效数字的近似值分别为x=12 6223 和 y=126202 试分析下面两种算法所得结果至少具有几位有效数字:1)x*-y*x-y=00021; 2)x *-y*=2 给定方程 x35x2+2=0,分析该方程有几个实根,并用迭代法求方程的最大实根,精确到 3 位有效数字3 用列主元 Gauss 消去法解方程组4 给定下面的线性方程组 试写出求解该方程组的 Gauss-Seidel 迭代格式,并分析 Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性5 已知 f(x)的如下信息: 求一个

2、4 次多项式 H(x),使得 H(xi)=f(xi),0i2;H(x i)=f(xi), i=0 ,26 求 a,b,使得积分 取最小值7 设 fC1a, b,求 x0,c 1,c 2,使求积公式 具有尽可能高的代数精度,并指出达到的最高次代数精度的次数8 设 f(x)C4a,b,I(f)= ,而 为计算 I(f)的 Simpson 公式将a,b进行 n 等分,记 h=(ba)n,x i=a+ih,0in ; =(xi+xi+1)2,0in-11)写出计算积分 x(f)的复化Simpson 公式 Sn(f)2) 已知 证明:存在 (a,6),使得9 给定常微分方程初值问题 取正整数 n,记 h

3、=(b-a)/n,x i=a+ih,i=0,1,2,n;y iy(xi),1in,y 0=试求下面公式的局部截断误差和阶数:10 设抛物型方程初边值问题 有光滑解 u(x,t) ,其中 (0)=(0),(1)=(0)取正整数 M 和 N,并记h=1M,=T/N,r=/h 2;x i=a+ih,0iM;t k=k, 0kN设有求上述定解问题的差分格式 1)写出上述差分格式的截断误差表达式;2)将差分格式写成矩阵和向量的形式;3)证明当 r12时差分格式在范数下的收敛性2010 年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷 B 答案与解析1 【正确答案】 e(x) 10-4,e(y) 10-4

4、1)因为e(x-y)e(x)-e(y)e(x)+e(y) 又 xy=00021,所以 xy 具有 1 位有效数字2)因为又=0002092541,所以算法 2)所得结果具有 5 位有效数字2 【正确答案】 记 f(x)=x3-5x2+2,则 f(x)=3x2-10x令 f(x)=0,则得驻点 x=0 和 x=又 f“(0)=-100, =100,所以 x=0 为函数 f(x)的极大值点,x= 为f(x)的极小值点因为 f(0)=20, 0,所以方程有三个实根,又 f(-1)=-40,f(0)=20,f(1)=-20,f(4)=-140,f(5)=20,所以三个实根分别在(-1,0), (0,1

5、)和(4,5)中用 Newt3 【正确答案】 对应的三角形方程组为 求得 x1=-5,x 2=-5,x 3=-164 【正确答案】 GaussSeidel 迭代格式为迭代矩阵 G 的特征方程为展开得 243+2+2=0,求得 1=0, 2,3= 因为 p(G)= 1,所以 Gausss-Seidel 迭代收敛5 【正确答案】 方法 1:设 p(x)为 3 次多项式,满足 p(1)=f(1)=-1,p(1)=f(1)=4,p(4)=f(4)=2,p(4)=f(4)=-4,则 p(x)=f(1)+f1,1(x-1)+f1 ,1,4(x-1)2+f1, 1,4, 4(x-1)2(x-4)列表求差商:

6、 我们有 p(x)=-1+4(x-1)-(x-1)2- (x-1)2(x-4),所以 H(x)=p(x)+A(x-1)26 【正确答案】 记 f(x)=ex,取 0(x)=1, 1(x)=x2计算内积: (0,0)=-111dx=2,( 0,1)=-11x2dx= ,( 1,1)=-17 【正确答案】 当 f(x)=1,左=ba,右=c 1;当 f(x)=x,左= (b2-a2),右=c 1x0 当f(x)=x2,左= (b3-a3),右=c 1x02+2c2(b-a)要使求积公式具有尽可能高的代数精度,则 求得 c18 【正确答案】 1)复化 Simpson 公式为 Sn(f)= 2)利用Simpson 公式的截断误差得9 【正确答案】 局部截断误差为该公式是 2 阶公式10 【正确答案】 1)截断误差为2)差分格式写为向量和矩阵的形式为 3)记 eik=u(xi,t k)-uik,0iM,0kN,则我们有误差方程从而有 eik+1=rei-1k+(12r)eik+rei+1

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