1、2009年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：30.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_2.设多项式 f(x)=4x 4 十 6x 3 +9x+1，则求 f(x 0 )仅含有 4次乘法运算的算法为_（分数：2.00）_3.已知实对称矩阵 A的全部特征值是 3，2，1，则 cond(A) 2 =_（分数：2.00）_4.设 f(x)=x 3 -3x+1，则 f(x)以 0，1，2 为插值节点的 2次牛顿插值多项式为_（分数：2.00）_5.用 Simpson公式
2、计算 （分数：2.00）_6.求解初值问题 （分数：2.00）_7.求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比 s_，该差分格式关于空间步长_阶收敛，关于时间步长_阶收敛（分数：2.00）_二、计算题(总题数：2，分数：4.00)8.分析方程 x 5 -5x+1=0有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到 4位有效数字（分数：2.00）_9.用列主元 Gauss消去法求求面线性方程组的解： （分数：2.00）_三、综合题(总题数：6，分数：12.00)10.设有求解线性方程组 Ax=b的迭代格式 Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，(A)其中 （分数：2.00）
3、_11.设，C 4 a，a+2，求一个 3次多项式 H(x)，使之满足 H(a)=f(a)， H(a+1)=f(a+1)， H(a+2)=f(a+2)，H“(A)=f“(a)，并写出插值余项 f(x)-H(x)的表达式（分数：2.00）_12.用最小二乘法确定经验公式 u=a+be x 中的参数 a和 b，使该曲线拟合下面的数据： （分数：2.00）_13.设 f(x)C 2 a，b，I(f)= ,h=(b-a)n，x k =a+kh，k=0，1，n； =X k +h2，k=0，1，n-1. 1)写出计算积分 I(f)的一点 Gauss公式 G(f)以及对应的复化求积公式 G n (f); 2
4、)设 T n (f)是计算积分 I(f)的复化梯形公式，求参数 ，使得 （分数：2.00）_14.给定常微分方程初值问题(B) （分数：2.00）_15.给定初边值问题 其中 (x)，(t)，(t)是光滑函数，且满足相容性条件取正整数 M，N，记 h=(ba)M，=TN，x i =a+ih(0iM)，t k =k(0kN) 1)写出求上述定解问题的古典隐格式； 2)设 f(x，t)0，(t)=(t)0，u i k 0iM，0kN是古典隐格式的解，记r=h 2 ， （分数：2.00）_2009年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案解析(总分：30.00，做题时间：90 分钟)一、填
5、空题(总题数：7，分数：14.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_解析：2.设多项式 f(x)=4x 4 十 6x 3 +9x+1，则求 f(x 0 )仅含有 4次乘法运算的算法为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(4x 0 +6)x 0 2 +9x 0 +1)解析：3.已知实对称矩阵 A的全部特征值是 3，2，1，则 cond(A) 2 =_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3)解析：4.设 f(x)=x 3 -3x+1，则 f(x)以 0，1，2 为插值节点的 2次牛顿插值多项式为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1-
6、2x+3x(x-1)解析：5.用 Simpson公式计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0.747)解析：6.求解初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y i+1 =y i + )解析：7.求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比 s_，该差分格式关于空间步长_阶收敛，关于时间步长_阶收敛（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1，2，2)解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)8.分析方程 x 5 -5x+1=0有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到 4位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 5 5x+1，则
7、 f“(x)=5x 4 5，当 x=1时 f“(x)=0注意到x(0，1)时 f“(x)0，x(1，+)时 f“(x)0又因为 f(0)=10，f(1)=-30，f(2)=230，因此方程有 2个正根分别在(0，1)和(1，2)中，故最大正根 x * (1，2)用 Newton迭代法求解，迭代格式为 x k+1 =x k - )解析：9.用列主元 Gauss消去法求求面线性方程组的解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)10.设有求解线性方程组 Ax=b的迭代格式 Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，(A)其中 （分数
8、：2.00）_正确答案：(正确答案：由迭代格式(A)得 x (k+1) =-B -1 Cx (k) +B -1 b，由迭代法基本定理知迭代格式收敛 (-B -1 C)1-B -1 C的特征方程为I+B -1 C=B -1 B+C=0，由此得 )解析：11.设，C 4 a，a+2，求一个 3次多项式 H(x)，使之满足 H(a)=f(a)， H(a+1)=f(a+1)， H(a+2)=f(a+2)，H“(A)=f“(a)，并写出插值余项 f(x)-H(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Hermite插值，有 H(x)=f(a)+fa，a(xa)+fa，a，a+1(xa)
9、2 +fa，a，a+1，a+2(x-a) 2 x-(a+1) fa，a=f“(a)， fa，a+1=f(a+1)-f(a)， fa+1，a+2=f(a+2)-f(a+1)， fa，a，a+1J=f(a+1)-f(a)-f“(a)，fa，a+1，a+2= f(a+2)-2f(a+1)+f(a)，fa，a，a+1，a+2= )解析：12.用最小二乘法确定经验公式 u=a+be x 中的参数 a和 b，使该曲线拟合下面的数据： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 (x)=1， 1 (x)=e x ，则 )解析：13.设 f(x)C 2 a，b，I(f)= ,h=(b-a)n，x k =
10、a+kh，k=0，1，n； =X k +h2，k=0，1，n-1. 1)写出计算积分 I(f)的一点 Gauss公式 G(f)以及对应的复化求积公式 G n (f); 2)设 T n (f)是计算积分 I(f)的复化梯形公式，求参数 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)求 -1 1 g(t)dt的一点 Gauss公式为 2g(0)，则 所以 2)复化梯形公式为 所以 )解析：14.给定常微分方程初值问题(B) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)多步公式(C)的局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )+4y(x i )-5y(x i-1 )-h 1 f(x i ，y(x i )+ 2 f(x i+1 ，y(x i+1 )=y(x i+1 )+4y(x i )-5y(x i-1 )-h )解析：15.给定初边值问题 其中 (x)，(t)，(t)是光滑函数，且满足相容性条件取正整数 M，N，记 h=(ba)M，=TN，x i =a+ih(0iM)，t k =k(0kN) 1)写出求上述定解问题的古典隐格式； 2)设 f(x，t)0，(t)=(t)0，u i k 0iM，0kN是古典隐格式的解，记r=h 2 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)古典隐格式为 2)当 f(x,t)0(t)=(t)0 时，上述古典隐格式可写为 )解析：
