1、2008年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：26.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)=ln(x+y)，x 1 =135，y 1 =0650 分别表示 （分数：2.00）_3.求解线性方程组 Ax=b的迭代格式 x (k+1) =Bx (k) +f，k=0，1，收敛的充分必要条件为_若 A为严格对角占优矩阵，则用 Jacobi格式来求解该方程组时_(一定收敛、一定不收敛、不一定收敛)（分数：2.00）_4.已知矩阵 （分数：2.00）_5
2、.设函数 f(x)=2x 3 -x+1，则 f(x)以 x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1，x 3 =2为插值节点的三次插值多项式为_，相应的插值余项为_（分数：2.00）_6.设函数 f(x)C 3 x 0 -h，x 0 +h，h0，则 （分数：2.00）_二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.分析非线性方程 f(x)=x 3 -x-1=0实根的分布情况，并用迭代法求出该方程的全部实根，精确至 3位有效数（分数：2.00）_8.应用列主元 Gauss消去法求解下列线性方程组： （分数：2.00）_三、综合题(总题数：5，分数：10.00)9.设函数 f(x)=cosx，以 x=
3、0为三重节点，x=2 为单重节点作 f(x)的三次 Hermite插值多项式，并估计该插值多项式在0，2上的误差（分数：2.00）_10.求参数 a，b，使 （分数：2.00）_11.已知函数 f(x)C 2 a，b，I(f)= 1)试写出求 I(f)的一点高斯公式 I 0 (f)=A 0 f(x 0 )；2)试求出截断误差 I(f)-I(f)形如 f (m-1) ()(b-a) m 的表达式； 3)取 （分数：2.00）_12.给定常微分方程初值问题 取 （分数：2.00）_13.对于定解问题 取正整数 M，N，令 1)给出求解该方程的一种显格式使其截断误差达到O(r+h 2 )，给出截断误
4、差表达式； 2)取 h=r= ，应用 1)中给出的显式公式计算 （分数：2.00）_2008年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案解析(总分：26.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)=ln(x+y)，x 1 =135，y 1 =0650 分别表示 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：039710 -2)解析：3.求解线性方程组 Ax=b的迭代格式 x (k+1) =Bx (k) +f，k=0，1，收敛的充分必要条件为_若 A为严格对角占优矩
5、阵，则用 Jacobi格式来求解该方程组时_(一定收敛、一定不收敛、不一定收敛)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(B)1，一定收敛)解析：4.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.设函数 f(x)=2x 3 -x+1，则 f(x)以 x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1，x 3 =2为插值节点的三次插值多项式为_，相应的插值余项为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2x 3 -x+1，0)解析：6.设函数 f(x)C 3 x 0 -h，x 0 +h，h0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：二、计算题(总题数：2，分数：4
6、.00)7.分析非线性方程 f(x)=x 3 -x-1=0实根的分布情况，并用迭代法求出该方程的全部实根，精确至 3位有效数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)=3x 2 1=0，得 x= 则在 内，f“(x)0，方程无实根：在 内，f“(x)0，方程无实根；在 内，f“(x)0，方程有唯一实根又因为 f(2)0，所以方程 x 3 -x-1=0有唯一实根，且在 中求解方程的 Newton格式为 )解析：8.应用列主元 Gauss消去法求解下列线性方程组： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价的三角形方程组为 )解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)9.
7、设函数 f(x)=cosx，以 x=0为三重节点，x=2 为单重节点作 f(x)的三次 Hermite插值多项式，并估计该插值多项式在0，2上的误差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由插值条件得 f(0)=1，f“(0)=-sinx x=0 =0，f“(0)=-cosx x=0 =-1，f( )=0作差商表如下： 令 g(x)=x 3 (x- )，则 g“(x)=4x 3 - 当 时，g“(x)=0，所以 )解析：10.求参数 a，b，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即求 e x 在0，1上的一次最佳逼近多项式 P 1 (x)=ax+b(e x )“=e x 在0，1上保
8、号，则 e x p 1 (x)在0，1上有 3个偏差点为 0，x 1 ，1于是有 求得 a=e-1，x 1 =ln(e1),b= (e-1)ln(e-1) 即当 a=e-117183 b= )解析：11.已知函数 f(x)C 2 a，b，I(f)= 1)试写出求 I(f)的一点高斯公式 I 0 (f)=A 0 f(x 0 )；2)试求出截断误差 I(f)-I(f)形如 f (m-1) ()(b-a) m 的表达式； 3)取 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)方法 1：由一 1，1上的一点 Gauss公式 -1 1 g(t)dt2g(0)可得 A 0 =b-a，x 0 = I 0 (
9、f)=(b-a)f( )解析：12.给定常微分方程初值问题 取 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-hf(x i ，y(x i )+(1-)f(x i-1 ，y(x i-1 ) 故当 时局部截断误差阶最高，此时 R i+1 = 2)预测-校正公式为 )解析：13.对于定解问题 取正整数 M，N，令 1)给出求解该方程的一种显格式使其截断误差达到O(r+h 2 )，给出截断误差表达式； 2)取 h=r= ，应用 1)中给出的显式公式计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)在节点(x i ，t k )处考虑微分方程 由 Taylor展开易得 u(x i ，t k+1 )-u(x i ,t k )= u(x i+1 ，t k )-2u(x i ，t k )+u(x i-1 ,t k )+ )解析：
