1、2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A及答案解析(总分：28.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_2.已知 x 1 =0724，x 2 =125 均为有效数，则e r (x 1 x 2 )_e(x 1 x 2 )_（分数：2.00）_3.设 A= （分数：2.00）_4.超定方程组 （分数：2.00）_5.用 Simpson公式计算积分 （分数：2.00）_6.设 （分数：2.00）_二、计算题(总题数：3，分数：6.00)7.给定方程 e x - （分数：2.00
2、）_8.用列主元 Guass消去法求下列线性方程组的解： （分数：2.00）_9.给定求解线性方程组 Ax=b的迭代格式 Bx (k+1) +Cx k =b，其中 （分数：2.00）_三、综合题(总题数：5，分数：10.00)10.作一个 3次多项式 H(x)，使得 H(a)=b 3 ，H(b)=a 3 ，H“(a)=6b，H“(b)=6a（分数：2.00）_11.求函数 y(x)=x 4 在区间0，1上的一次最佳一致逼近多项式 p(x)（分数：2.00）_12.已知函数 f(x)C 4 a，b，I(f)= a b f（x）dx 1)写出以 a，b 为二重节点所建立的 f(x)的 3次Herm
3、ite插值多琐式 H(x)及插值余项； 2)根据 f(x)H(x)建立一个求解 I(f)的数值求积公式 I H (x)，并分析该公式的截断误差和代数精度（分数：2.00）_13.给定常微分方程初值问题 （分数：2.00）_14.给定如下抛物方程初边值问题： 取步长 用古典隐格式计算 u(x，t)在点 （分数：2.00）_2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A答案解析(总分：28.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_解析：2.已知 x 1 =0724，x 2 =125
4、 均为有效数，则e r (x 1 x 2 )_e(x 1 x 2 )_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：046910 -2 ，027210 -2)解析：3.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.超定方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：-08333 或 -06667 或 )解析：5.用 Simpson公式计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1.4757)解析：6.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3，-3)解析：二、计算题(总题数：3，分数：6.00)7.给定方程 e x - （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
5、设 当 x=ln05 时，f“(x)=0；当 x(-，ln05)时，f“(x)0；当x(ln05，+)时，f“(x)0再注意到 f(-4)0，f(-3)0，f(1)0，f(2)0，则该方程存在两个实根，分别在-4，-3和1，2内 构造迭代格式 )解析：8.用列主元 Guass消去法求下列线性方程组的解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.给定求解线性方程组 Ax=b的迭代格式 Bx (k+1) +Cx k =b，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：由 Bx (k+1) +Cx (k) =b得 x (k+1) =-B -1 Cx (k) +B -1 b
6、 上述格式收敛的充要条件为 (-B -1 C)1迭代矩阵-B -1 C的特征方程为I+B -1 C=0，可变形为B -1 B+C=0， 即 )解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)10.作一个 3次多项式 H(x)，使得 H(a)=b 3 ，H(b)=a 3 ，H“(a)=6b，H“(b)=6a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：根据 H“(a)=6b，H“(6)=6a 可知 H“(x)=6b+ )解析：11.求函数 y(x)=x 4 在区间0，1上的一次最佳一致逼近多项式 p(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 p(x)=a+bx由 f“(x)=4x
7、3 ，f“(x)=12x 2 知，当 x(0，1)时，f“(x)恒大于零则 f(x)-p(x)在0，1上有三个交错偏差点：0，x 1 ，1，且满足 即 求解得 所以 )解析：12.已知函数 f(x)C 4 a，b，I(f)= a b f（x）dx 1)写出以 a，b 为二重节点所建立的 f(x)的 3次Hermite插值多琐式 H(x)及插值余项； 2)根据 f(x)H(x)建立一个求解 I(f)的数值求积公式 I H (x)，并分析该公式的截断误差和代数精度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由条件 H(a)=f(a)，H“(a)=f“(a)，H(b)=f(b)，H“(b)=f“(
8、b)， 作差商表： 所以 2)根据题意，有 I(f) a b H(x)dx， 下面求代数精度 由插值余项知，当f(x)=1，x，x 2 ，x 3 时，插值余项为零，I H (f)精确求积； 当 f(x)=x 4 时 此时 b 5 系数为 )解析：13.给定常微分方程初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-Ay(x i )-(1-A)y(x i-1 )-hBy“(x i+1 )+Cy“(x i )=y(x i )+hy“(x 1 )+ y“(x i )+ y“(x i )+ )解析：14.给定如下抛物方程初边值问题： 取步长 用古典隐格式计算 u(x，t)在点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求解该问题的古典隐格式为 记 则差分格式可写为(1+2r)u i k -r(u i+1 k +u i-1 k )=u i k-1 +(33x i )，用方程组表示为 k=12 因为 所以，当 k=1时，方程为 或 )解析：
