1、2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设 ，x * 和 y * 的具有 6 位有效数字的近似值分别为 x=126223 和 y=126202试分析下面两种算法所得结果至少具有几位有效数字： 1)x * -y * x-y=00021； 2)x * -y * = （分数：2.00）_2.给定方程 x 3 5x 2 +2=0，分析该方程有几个实根，并用迭代法求方程的最大实根，精确到 3 位有效数字（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss 消去法解方程组 （分数：2.00）_二
2、、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定下面的线性方程组 （分数：2.00）_5.已知 f(x)的如下信息： （分数：2.00）_6.求 a，b，使得积分 （分数：2.00）_7.设 fC 1 a，b，求 x 0 ，c 1 ，c 2 ，使求积公式 （分数：2.00）_8.设 f(x)C 4 a，b，I(f)= ,而 为计算 I(f)的 Simpson 公式将a，b进行 n 等分，记h=(ba)n，x i =a+ih，0in； =(x i +x i+1 )2，0in-1 1)写出计算积分 x(f)的复化 Simpson 公式 S n (f) 2)已知 证明：存在 (a，6)，使得 （分数
3、：2.00）_9.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 =试求下面公式的局部截断误差和阶数： （分数：2.00）_10.设抛物型方程初边值问题 有光滑解 u(x，t)，其中 (0)=(0)，(1)=(0)取正整数 M 和N，并记 h=1M，=T/N，r=/h 2 ；x i =a+ih，0iM；t k =k，0kN设有求上述定解问题的差分格式 （分数：2.00）_2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数
4、：3，分数：6.00)1.设 ，x * 和 y * 的具有 6 位有效数字的近似值分别为 x=126223 和 y=126202试分析下面两种算法所得结果至少具有几位有效数字： 1)x * -y * x-y=00021； 2)x * -y * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e(x) 10 -4 ,e(y) 10 -4 1)因为e(x-y)e(x)-e(y)e(x)+e(y) 又 xy=00021，所以 xy 具有 1 位有效数字 2)因为 又 )解析：2.给定方程 x 3 5x 2 +2=0，分析该方程有几个实根，并用迭代法求方程的最大实根，精确到 3 位有效数字（分数：2.0
5、0）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=x 3 -5x 2 +2，则 f“(x)=3x 2 -10x令 f“(x)=0，则得驻点 x=0 和 x= 又 f“(0)=-100， =100，所以 x=0 为函数 f(x)的极大值点，x= 为 f(x)的极小值点因为 f(0)=20， )解析：3.用列主元 Gauss 消去法解方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对应的三角形方程组为 )解析：二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定下面的线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：GaussSeidel 迭代格式为 迭代矩阵 G 的特征方程为 展开得 24 3 +
6、 2 +2=0，求得 1 =0， 2,3 = 因为 p(G)= )解析：5.已知 f(x)的如下信息： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：设 p(x)为 3 次多项式，满足 p(1)=f(1)=-1，p“(1)=f“(1)=4，p(4)=f(4)=2，p“(4)=f“(4)=-4，则 p(x)=f(1)+f1，1(x-1)+f1，1，4(x-1) 2 +f1，1，4，4(x-1) 2 (x-4) 列表求差商： 我们有 p(x)=-1+4(x-1)-(x-1) 2 - )解析：6.求 a，b，使得积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=e x ，取 0 (
7、x)=1， 1 (x)=x 2 计算内积：( 0 , 0 )= -1 1 1dx=2，( 0 , 1 )= -1 1 x 2 dx= )解析：7.设 fC 1 a，b，求 x 0 ，c 1 ，c 2 ，使求积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 f(x)=1，左=ba，右=c 1 ；当 f(x)=x，左= (b 2 -a 2 )，右=c 1 x 0 当 f(x)=x 2 ，左= (b 3 -a 3 )，右=c 1 x 0 2 +2c 2 (b-a) 要使求积公式具有尽可能高的代数精度，则 )解析：8.设 f(x)C 4 a，b，I(f)= ,而 为计算 I(f)的 Simpson
8、 公式将a，b进行 n 等分，记h=(ba)n，x i =a+ih，0in； =(x i +x i+1 )2，0in-1 1)写出计算积分 x(f)的复化 Simpson 公式 S n (f) 2)已知 证明：存在 (a，6)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)复化 Simpson 公式为 S n (f)= 2)利用 Simpson 公式的截断误差得 )解析：9.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 =试求下面公式的局部截断误差和阶数： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差为 )解析：10.设抛物型方程初边值问题 有光滑解 u(x，t)，其中 (0)=(0)，(1)=(0)取正整数 M 和N，并记 h=1M，=T/N，r=/h 2 ；x i =a+ih，0iM；t k =k，0kN设有求上述定解问题的差分格式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)截断误差为 2)差分格式写为向量和矩阵的形式为 3)记 e i k =u(x i ，t k )-u i k ，0iM，0kN，则我们有误差方程 )解析：
