1、2009 年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 已知 x=0 045，y=2 013 均为有效数，则 的相对误差限为_2 已知矩阵 则Ax 1=_，A 2=_3 设函数 f(x)=2x3-x+1，则 f(x)以 x0=-1，x 1=0，x 2=1 为插值节点的二次插值多项式为_4 设函数 f(x)C2x0-h，x 0+h，h0，则 =_5 求积分 的两点高斯公式为_，该公式的代数精度为_6 分析非线性方程 在(0，+)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+) 内的全部实根，精确至 3 位有效数字7 给定方
2、程组 Ax=b，其中 A= ，x，bR 3，R试确定 的取值范围，使求解该方程组的 Jacobi 迭代格式和 GaussSeidel 迭代格式都收敛8 已知函数 f(x)在区间x 0， x2上有定义，且 x1= 试求函数 f(x)的三次插值多项式 p(x)，使之满足 p(x0)=f(x0)，p(x 1)=0，p“(x 1)=0，p(x 2)=f(x2)9 求函数 f(x)= 在0，1上的一次最佳平方逼近多项式 P1(x)=a+bx10 已知函数 f(x)C4-a，a ，I(f)= 1)试确定求积公式 =A0f(-a)+A1f(0)+A2f(a)中的参数 A0，A 1，A 2，使 的代数精度达到
3、最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)求 I(f)- 形如 的截断误差表达式11 给定常微分方程初值问题 取 ，n 为整数；xi=a+ih，1in 记 yiy(xi)，1in；y 0=y(a)1)求参数 ，使求解上述初值问题的数值求解公式 yi+1=yi+hf(xi，y i)+(1-)f(xi+1，y i+1)局部截断误差阶达到最高；2)应用 Euler 公式与 1)中求得的公式构造预测-校正公式，并求出该预测-校正公式的局部截断误差表达式12 对于定解问题 取正整数 M，N，令xi=ih,i=0,1,M; tk=kt,k=0,1,N1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截
4、断误差表达式；2)取 应用 1)中构造的求解公式计算以及 的近似值13 已知 A，B Rnn，其中 A 非奇异，B 为奇异矩阵，试证明2009 年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答案】 090210 -42 【正确答案】 3 【正确答案】 x+14 【正确答案】 5 【正确答案】 6 【正确答案】 设 f(x)=sinx- ，显然 f(x)=0 在(2，+)内无根在(0，2内，f(x)=cosx- ，当 时，f(x)=0 又注意到 f(0)=0，故在 内，f(x) 0，函数单凋递增，f(0)=0，因此方程无
5、根；在 内，f(x) 0，函数单调递减， f(2)0，有唯一根所以方程 sinx- =0 在(0，+)内有唯一根 x* 求解该方程的Newton 迭代格式为 xk+1=xk- k=0,1,27 【正确答案】 Jacobi 迭代矩阵的特征方程为 即 342=0，求得1=0， 2=2， 3=-2，当且仅当21，即 时，Jacobi 格式收敛 GaussSeidel 迭代格式迭代矩阵的特征方程为 即 3422=0，求得 1,2=0， 3=48 【正确答案】 方法 1：由于 p(x1)=0，P“(x 1)=0，可设 p(x)=A(xx1)2，两边积分得 p(x)= (xx0)3+B由 p(x0)=f(
6、x0)得 (x0-x1)3+B=f(x0)，由 p(x2)=f(x9 【正确答案】 设 0(x)=1， 1(x)=x，则( 0,0)=011dx,(0,1)=01xdx= ，( 1,1)=01x2dx= ,(0,f)=10 【正确答案】 1)由代数精度定义有 求得当 f(x)=x3 时，有 当 f(x)=x4 时，有 故该公式有 3 次代数精度 2)以 H(-a)=f(-a)，H(0)=f(0)，H(a)=f(a) ，H(0)=f(0)为插值条件作 3 次插值多项式 H(x)，则有 f(x)-H(x)=(x+a)(x-a)x2，而 =A0H(-a)+A1H(0)+A2H(a)= ,且11 【正
7、确答案】 1)局部截断误差 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)-hf(xi，y(x i)+(1-)f(xi+1，y(x i+1)=y(xi)+hy(xi)+ y“(xi)+ y“(xi)+O(h4)-y(xi)*12 【正确答案】 1)在节点(x i，t k)处考虑微分方程 由Taylor 展开得 xi-1 ix i+1将上面两式代入方程得略去截断误差并令 uiku(xi，t k)得2)取 要求的即为第一层的近似值由差分格式整理得(1+2-)u ik13 【正确答案】 因 B 是奇异阵，A 非奇异，则 A-1B 奇异，故必存在 xRn 且 x0使 A-1Bx=0因此(I-A -1B)x=x两边取范数得x=(IA -1B)x(IA-1B)x因为x0 ，所以 I-A-1B)1，从而有 1IA-1B)=A-1(AB)(AB).A-
