1、工程硕士(GCT)数学-29 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)1.一批货物要进仓库,由甲、乙两队合运 9h 可运进全部货物的 50%,乙队单独运则要 30h 能运完,又知甲队每小时可运进 3t,则这批货物共有( )。A135t B140t C145t D150t(分数:4.00)A.B.C.D.2.已知 x1,x 2是关于 x 的方程 x2-kx+5(k-5)=0 的两个正实数根,且满足 2x1+x2=7,则实数 k 的值为( )。A5 B6 C7 D8(分数:4.00)A.B.C.D.3.方程 (分数:4.00)A.B.C.D.4.复平面上一等腰直角三角形的 3 个顶点
2、按逆时针方向依次为 O、Z 1和 Z2,Z 1OZ2= ,若 Z1对应的复数 ,则 Z2对应的复数 Z2=( )。(分数:4.00)A.B.C.D.5.已知 ,那么 s 的范同是( )。(分数:4.00)A.B.C.D.6. (分数:4.00)A.B.C.D.7.用 5 种不同的颜色涂在下图中的 4 个区域里,每一区域涂 1 种颜色,且相邻区域颜色不同,则共有( )种涂法。(分数:4.00)A.B.C.D.8.把函数 的图像适当变换就可以得到 y=sin(-3x)的图像,这种变换可以是( )。A沿 x 轴方向向右平移 B沿 x 轴方向向左平移C沿 x 轴方向向右平移 D沿 x 轴方向向左平移
3、(分数:4.00)A.B.C.D.9.下列不等式中成立的是( )。Asin1sin4 Bcos1cos4 Ctan1tan4 Dcot1cot4(分数:4.00)A.B.C.D.10.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 A C 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.11.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 m 和 n,则( )。(分数:4.00)A.B.C.D.12.设 (分数:4.00)A.B.C.D.13.当 x0 时, 是 x 的( )阶无穷小量。(分数:4
4、.00)A.B.C.D.14.g(x)=1+x,当 x0 时, (分数:4.00)A.B.C.D.15.与曲线 相切并与直线 x+y=4 垂直的切线方程为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.16.设 ,则 I 的值为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.17.函数 (分数:4.00)A.B.C.D.18.设 f(x)为连续函数,且 (分数:4.00)A.B.C.D.19.设商品销售量 x 对价格 P 的函数为 x=a-bp,a,b 正常数,若涨价可以增加收入,则应有( )。(分数:4.00)A.B.C.D.20.设 (分数:4.00)A.B.C.D.21.设 A、B、C 均为 n,阶
5、矩阵,则(1)若 AB,则|A|B|(2)若 AB=AC,且 A0,则 B=C(3)若 A2=E,且 AE,则 A=-E(4)若 A 可逆,且 A-1B=CA-1,B=C则上述命题中,正确命题的个数是( )。A0 B1 C2 D3(分数:4.00)A.B.C.D.22.已知 a1=(1,1,-1) T,a 2=(1,1,2) T,满足 a1、a 2、a 3线性相关的向量 a3=( )。A(1,1,0) T B(3,=3,5) T C(-1,0,0) TD(0,0,3) T(分数:4.00)A.B.C.D.23.设 a1、a 2、a 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且秩 r(A
6、)=3,a 1=(1,2,3,4,)T,a 2+a3=(0,1,2,3) T,c 表示任意常数,则线性方程组 Ax=b 的通解为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.24.n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是( )。AA 有 n 个不全相同的特征值 BA T有 n 个不全相同的特征值CA 有 n 个不相同的特征向量 DA 有 n 个线性无关的特征向量(分数:4.00)A.B.C.D.25.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值,则 (分数:4.00)A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-29 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)1.一批货物要进仓库,由甲、乙两队
7、合运 9h 可运进全部货物的 50%,乙队单独运则要 30h 能运完,又知甲队每小时可运进 3t,则这批货物共有( )。A135t B140t C145t D150t(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 设这批货物共有 xt,则有2.已知 x1,x 2是关于 x 的方程 x2-kx+5(k-5)=0 的两个正实数根,且满足 2x1+x2=7,则实数 k 的值为( )。A5 B6 C7 D8(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由韦达定理,得 x1+x2=k,x 1x1=5(k-5)。因为 2x1+x2=7,故 x1=7-k,x 2=2k-7。故(7-k)(2k-7)=5(k
8、-5),即 k2-8k+12=0 得 k=2 或 k=6。又因为=k 2-20(k-5)=(k-10)20,但 k=2 时,x 1x2-150,故 k=2 不合题意,舍去。所以 k 的值为 6,故正确答案为 B。3.方程 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 设 ,则原方程可化为 y2-3y+2=0,解得 y1=1,y 2=2。当 y1=1 时,有 ,即 X2-X+1=0 此方程无实根;当 y2=2 时,有4.复平面上一等腰直角三角形的 3 个顶点按逆时针方向依次为 O、Z 1和 Z2,Z 1OZ2= ,若 Z1对应的复数 ,则 Z2对应的复数 Z2=( )。(分数:4.00)A.B
9、.C.D. 解析:解析 OZ 1绕 O 旋转 角得5.已知 ,那么 s 的范同是( )。(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 6. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因 ,故有Tr+1=7.用 5 种不同的颜色涂在下图中的 4 个区域里,每一区域涂 1 种颜色,且相邻区域颜色不同,则共有( )种涂法。(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 从 A 开始涂,有 5 种颜色可选;然后涂 B,可选 4 种颜色;再涂 C,可选 3 种颜色;再涂D,可选 B,C 之外的颜色,共 3 种。故涂法为 543 X 3=180 种,选 D。8.把函数 的图像适当变换就可以得到 y
10、=sin(-3x)的图像,这种变换可以是( )。A沿 x 轴方向向右平移 B沿 x 轴方向向左平移C沿 x 轴方向向右平移 D沿 x 轴方向向左平移 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 把它的图像向左平移9.下列不等式中成立的是( )。Asin1sin4 Bcos1cos4 Ctan1tan4 Dcot1cot4(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于 ,而10.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 A C 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为( )。(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由 。得11.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作
11、一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 m 和 n,则( )。(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设 ,则有12.设 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 当 x1 时, 连续;当 x1 时,f(x)=a(x+1)连续。又因为 =2,则有13.当 x0 时, 是 x 的( )阶无穷小量。(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 比较无穷小量的阶时,要找最低阶数。由于 当 x0 时是。的14.g(x)=1+x,当 x0 时, (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 将等式 两边对 x 求导,得又因 g(x)=1,所以 。令 x+1=
12、t,则15.与曲线 相切并与直线 x+y=4 垂直的切线方程为( )。(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由已知条件知切线斜率为 1,方程两边对 x 求导得令 ,联立曲线方程得切点坐标为故切线方程为即为16.设 ,则 I 的值为( )。(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 17.函数 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 f(x)=(2-x 2)e-x22x,令 f(x)=0,则得 ,x(0,+)。又当 为最大值。18.设 f(x)为连续函数,且 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 19.设商品销售量 x 对价格 P 的函数为 x=a-bp,a,b
13、正常数,若涨价可以增加收入,则应有( )。(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 收入 y=xp=(a-6p)p=ap=bp2,则得20.设 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 构造一个新的行列式 ,虽然 D 与 D。不同,但这两个行列式的代数余子式A21、A 22、A23 是一样的。要计算行列式 D 的代数余子式 A21、A 22、A 23的和可以通过行列式 D1来实现。一方面,对行列式 D,按第 2 行展开有D1=A21+3A22+2A23另一方面,对 D。计算,有21.设 A、B、C 均为 n,阶矩阵,则(1)若 AB,则|A|B|(2)若 AB=AC,且 A0,则
14、B=C(3)若 A2=E,且 AE,则 A=-E(4)若 A 可逆,且 A-1B=CA-1,B=C则上述命题中,正确命题的个数是( )。A0 B1 C2 D3(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 (1)当矩阵 A曰时,行列式|A|与|B|有可能相等,也可能不相等。例如 虽 AB,但|A|=|B|,故(1)不正确。虽 AD,AB=AC,但曰C,故(2)不正确。(3)设22.已知 a1=(1,1,-1) T,a 2=(1,1,2) T,满足 a1、a 2、a 3线性相关的向量 a3=( )。A(1,1,0) T B(3,=3,5) T C(-1,0,0) TD(0,0,3) T(分数:4
15、.00)A.B.C.D. 解析:解析 3 个三维列向量 a1,a 2,a 3线性相关的充要条件是|a 1,a 2,a 3|=0。由于23.设 a1、a 2、a 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且秩 r(A)=3,a 1=(1,2,3,4,)T,a 2+a3=(0,1,2,3) T,c 表示任意常数,则线性方程组 Ax=b 的通解为( )。(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由于 r(A)=3,故线性方程组 Ax=0 解空间的维数为 4-r(A)=1。又由 Aa1=b,Aa 2=b,Aa 3=b,知 ,于是24.n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是( )。AA 有 n 个不全相同的特征值 BA T有 n 个不全相同的特征值CA 有 n 个不相同的特征向量 DA 有 n 个线性无关的特征向量(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 显然 D 为正确答案,注意 A、B 中“不全相同”与“全不相同”的差别。C 中有 n 个不相同的特征向量,不是充分条件,因这 n 个不相同的特征向量可以线性相关。25.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值,则 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 用定义法来求矩阵的特征值。由 ,故
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