1、工程硕士(GCT)数学-29 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.一批货物要进仓库，由甲、乙两队合运 9h 可运进全部货物的 50%，乙队单独运则要 30h 能运完，又知甲队每小时可运进 3t，则这批货物共有( )。A135t B140t C145t D150t（分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 x1，x 2是关于 x 的方程 x2-kx+5(k-5)=0 的两个正实数根，且满足 2x1+x2=7，则实数 k 的值为( )。A5 B6 C7 D8（分数：4.00）A.B.C.D.3.方程 （分数：4.00）A.B.C.D.4.复平面上一等腰直角三角形的 3 个顶点
2、按逆时针方向依次为 O、Z 1和 Z2，Z 1OZ2= ，若 Z1对应的复数 ，则 Z2对应的复数 Z2=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 ，那么 s 的范同是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7.用 5 种不同的颜色涂在下图中的 4 个区域里，每一区域涂 1 种颜色，且相邻区域颜色不同，则共有( )种涂法。（分数：4.00）A.B.C.D.8.把函数 的图像适当变换就可以得到 y=sin(-3x)的图像，这种变换可以是( )。A沿 x 轴方向向右平移 B沿 x 轴方向向左平移C沿 x 轴方向向右平移 D沿 x 轴方向向左平移
3、（分数：4.00）A.B.C.D.9.下列不等式中成立的是( )。Asin1sin4 Bcos1cos4 Ctan1tan4 Dcot1cot4（分数：4.00）A.B.C.D.10.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 A C 折起，使得 BD=a，则三棱锥 D-ABC 的体积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 m 和 n，则( )。（分数：4.00）A.B.C.D.12.设 （分数：4.00）A.B.C.D.13.当 x0 时， 是 x 的( )阶无穷小量。（分数：4
4、.00）A.B.C.D.14.g(x)=1+x，当 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D.15.与曲线 相切并与直线 x+y=4 垂直的切线方程为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.16.设 ，则 I 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.17.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.18.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.19.设商品销售量 x 对价格 P 的函数为 x=a-bp，a，b 正常数，若涨价可以增加收入，则应有( )。（分数：4.00）A.B.C.D.20.设 （分数：4.00）A.B.C.D.21.设 A、B、C 均为 n,阶
5、矩阵，则(1)若 AB，则|A|B|(2)若 AB=AC，且 A0，则 B=C(3)若 A2=E，且 AE，则 A=-E(4)若 A 可逆，且 A-1B=CA-1，B=C则上述命题中，正确命题的个数是( )。A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C.D.22.已知 a1=(1，1，-1) T，a 2=(1，1，2) T，满足 a1、a 2、a 3线性相关的向量 a3=( )。A(1，1，0) T B(3，=3，5) T C(-1，0，0) TD(0，0，3) T（分数：4.00）A.B.C.D.23.设 a1、a 2、a 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A
6、)=3，a 1=(1，2，3，4，)T，a 2+a3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.24.n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是( )。AA 有 n 个不全相同的特征值 BA T有 n 个不全相同的特征值CA 有 n 个不相同的特征向量 DA 有 n 个线性无关的特征向量（分数：4.00）A.B.C.D.25.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-29 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.一批货物要进仓库，由甲、乙两队
7、合运 9h 可运进全部货物的 50%，乙队单独运则要 30h 能运完，又知甲队每小时可运进 3t，则这批货物共有( )。A135t B140t C145t D150t（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设这批货物共有 xt，则有2.已知 x1，x 2是关于 x 的方程 x2-kx+5(k-5)=0 的两个正实数根，且满足 2x1+x2=7，则实数 k 的值为( )。A5 B6 C7 D8（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由韦达定理，得 x1+x2=k，x 1x1=5(k-5)。因为 2x1+x2=7，故 x1=7-k，x 2=2k-7。故(7-k)(2k-7)=5(k
8、-5)，即 k2-8k+12=0 得 k=2 或 k=6。又因为=k 2-20(k-5)=(k-10)20，但 k=2 时，x 1x2-150，故 k=2 不合题意，舍去。所以 k 的值为 6，故正确答案为 B。3.方程 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 ，则原方程可化为 y2-3y+2=0，解得 y1=1，y 2=2。当 y1=1 时，有 ，即 X2-X+1=0 此方程无实根；当 y2=2 时，有4.复平面上一等腰直角三角形的 3 个顶点按逆时针方向依次为 O、Z 1和 Z2，Z 1OZ2= ，若 Z1对应的复数 ，则 Z2对应的复数 Z2=( )。（分数：4.00）A.B
9、.C.D. 解析：解析 OZ 1绕 O 旋转 角得5.已知 ，那么 s 的范同是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 6. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 ，故有Tr+1=7.用 5 种不同的颜色涂在下图中的 4 个区域里，每一区域涂 1 种颜色，且相邻区域颜色不同，则共有( )种涂法。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 从 A 开始涂，有 5 种颜色可选；然后涂 B，可选 4 种颜色；再涂 C，可选 3 种颜色；再涂D，可选 B，C 之外的颜色，共 3 种。故涂法为 543 X 3=180 种，选 D。8.把函数 的图像适当变换就可以得到 y
10、=sin(-3x)的图像，这种变换可以是( )。A沿 x 轴方向向右平移 B沿 x 轴方向向左平移C沿 x 轴方向向右平移 D沿 x 轴方向向左平移 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 把它的图像向左平移9.下列不等式中成立的是( )。Asin1sin4 Bcos1cos4 Ctan1tan4 Dcot1cot4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 ，而10.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 A C 折起，使得 BD=a，则三棱锥 D-ABC 的体积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 。得11.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作
11、一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 m 和 n，则( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 ，则有12.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 当 x1 时， 连续；当 x1 时，f(x)=a(x+1)连续。又因为 =2，则有13.当 x0 时， 是 x 的( )阶无穷小量。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 比较无穷小量的阶时，要找最低阶数。由于 当 x0 时是。的14.g(x)=1+x，当 x0 时， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 将等式 两边对 x 求导，得又因 g(x)=1，所以 。令 x+1=
12、t，则15.与曲线 相切并与直线 x+y=4 垂直的切线方程为( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知条件知切线斜率为 1，方程两边对 x 求导得令 ，联立曲线方程得切点坐标为故切线方程为即为16.设 ，则 I 的值为( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 17.函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 f(x)=(2-x 2)e-x22x，令 f(x)=0，则得 ，x(0，+)。又当 为最大值。18.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 19.设商品销售量 x 对价格 P 的函数为 x=a-bp，a，b
13、正常数，若涨价可以增加收入，则应有( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 收入 y=xp=(a-6p)p=ap=bp2，则得20.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 构造一个新的行列式 ，虽然 D 与 D。不同，但这两个行列式的代数余子式A21、A 22、A23 是一样的。要计算行列式 D 的代数余子式 A21、A 22、A 23的和可以通过行列式 D1来实现。一方面，对行列式 D，按第 2 行展开有D1=A21+3A22+2A23另一方面，对 D。计算，有21.设 A、B、C 均为 n,阶矩阵，则(1)若 AB，则|A|B|(2)若 AB=AC，且 A0，则
14、B=C(3)若 A2=E，且 AE，则 A=-E(4)若 A 可逆，且 A-1B=CA-1，B=C则上述命题中，正确命题的个数是( )。A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 (1)当矩阵 A曰时，行列式|A|与|B|有可能相等，也可能不相等。例如 虽 AB，但|A|=|B|，故(1)不正确。虽 AD，AB=AC，但曰C，故(2)不正确。(3)设22.已知 a1=(1，1，-1) T，a 2=(1，1，2) T，满足 a1、a 2、a 3线性相关的向量 a3=( )。A(1，1，0) T B(3，=3，5) T C(-1，0，0) TD(0，0，3) T（分数：4
15、.00）A.B.C.D. 解析：解析 3 个三维列向量 a1，a 2，a 3线性相关的充要条件是|a 1，a 2，a 3|=0。由于23.设 a1、a 2、a 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3，a 1=(1，2，3，4，)T，a 2+a3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 r(A)=3，故线性方程组 Ax=0 解空间的维数为 4-r(A)=1。又由 Aa1=b，Aa 2=b，Aa 3=b，知 ，于是24.n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是( )。AA 有 n 个不全相同的特征值 BA T有 n 个不全相同的特征值CA 有 n 个不相同的特征向量 DA 有 n 个线性无关的特征向量（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 D 为正确答案，注意 A、B 中“不全相同”与“全不相同”的差别。C 中有 n 个不相同的特征向量，不是充分条件，因这 n 个不相同的特征向量可以线性相关。25.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用定义法来求矩阵的特征值。由 ，故
