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【考研类试卷】矩阵及答案解析.doc

1、矩阵及答案解析(总分:124.00,做题时间:90 分钟)1.A,B 均是 n 阶对称矩阵,且 AB=BA则 AB 是( )(A)对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 数量阵(分数:4.00)A.B.C.D.2.A=E- T,B=E+2 T,设 n 维行向量 = (分数:4.00)A.B.C.D.3.设 3 阶矩阵 A=( 1, 2, 3),已知|A|=5,|2 1+ 2- 3,- 1+2 2, 2+ 3|为( )(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40(分数:4.00)A.B.C.D.4.A 是 3 阶矩阵, 是 3 维列向量,使得 P=(,A,A 2)是可逆矩

2、阵,并且 A3=3A-2A 2,设 3 阶矩阵 B,使得 A=PBP-1,则|A+E|=( )(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2(分数:4.00)A.B.C.D.5.四阶矩阵 A,B 满足 ABA-1=BA-1+3E,并且 ,则 B=( )(分数:4.00)A.B.C.D.6.设 1=(5,1,-5) T, 2=(1,-3,2) T, 3=(1,-2,1) T,A 1=(4,3) T,A 2=(7,-8) T,A 3=(5,-5)则A=( )(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A,B,C,D 是扎阶矩阵,A 可逆 H= (分数:4.00)A.B.C.D.8.设 (分数:4

3、.00)A.B.C.D.9.下列命题错误的有( )个(1)若 A2=0,则 A=0; (2)若 A2=A,则 A=0 或 A=E;(3)若 AX=AY,且 A0,则 X=Y(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(分数:4.00)A.B.C.D.10.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 为对称矩阵,则 BTAB 为( )(A) 对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 上三角阵(分数:4.00)A.B.C.D.11.设 A= (分数:4.00)_12.计算下列乘积:(分数:4.00)_13.求下列矩阵的逆矩阵:(分数:4.00)_14.解下列矩阵方程:(分数:4.00)_15

4、.利用逆矩阵解下列线性方程组:(分数:4.00)_16.设方阵 A 满足 A2-A-2E=0,证明 A 及 A+2E 都可逆,并求 A-1及(A+2E) -1.(分数:4.00)_17.设 (分数:4.00)_18.设 P-1AP=A,其中 P= (分数:4.00)_19.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*,证明:(1)若|A|=0,则|A *|=0; (2)|A *|=|A|n-1(分数:4.00)_20.取 A=B=-C=D= ,验证 (分数:4.00)_21.设 A= (分数:4.00)_22.已知 A= ,则 An=( )(分数:4.00)A.B.C.D.23.已知 B= (分数:

5、4.00)A.B.C.D.24.设 A,B 是 n 阶矩阵,则 C= 的伴随矩阵是( )(分数:4.00)A.B.C.D.25.A 是 n 阶可逆矩阵,(A *)*=( )(A) |A|A (B) |A|n-1A (C) |A|n-2A (D) |A|n-3A(分数:4.00)A.B.C.D.26.设 =(1,0,1) T,=(0,1,1) T,P= (分数:4.00)_27.已知 3 阶行列式|,|=3,求|3-+2,-+,2+5-7|(分数:4.00)_28.已知 B= (分数:4.00)_29.已知 A= (分数:4.00)_30.设 A= (分数:4.00)_31.设 A,B 是两个

6、3 阶矩阵,|A -1|=2,|B -1|=3,求|A *B-1-A-1B*|(分数:4.00)_矩阵答案解析(总分:124.00,做题时间:90 分钟)1.A,B 均是 n 阶对称矩阵,且 AB=BA则 AB 是( )(A)对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 数量阵(分数:4.00)A. B.C.D.解析:(AB) T=AB,即 BTAT=BA=AB,选(A)2.A=E- T,B=E+2 T,设 n 维行向量 = (分数:4.00)A.B.C. D.解析:AB=(E- T)(E+2 T)=E+ T-2 T T=E+a T- T=E,选(C)3.设 3 阶矩阵 A=( 1,

7、2, 3),已知|A|=5,|2 1+ 2- 3,- 1+2 2, 2+ 3|为( )(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40(分数:4.00)A.B.C. D.解析:(2 1+ 2- 3,- 1+2 2, 2+ 3)=( 1, 2, 3)原式=| 1, 2, 3|4.A 是 3 阶矩阵, 是 3 维列向量,使得 P=(,A,A 2)是可逆矩阵,并且 A3=3A-2A 2,设 3 阶矩阵 B,使得 A=PBP-1,则|A+E|=( )(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2(分数:4.00)A.B. C.D.解析:因为 A=PBP-1所以 PB=AP=(A,A 2,A

8、3)=(A,A 2,3A-2A 2)=(,A,A 2)又 P 可逆,所以 B= ,|A+E|=|P(B+E)P -1|=|P|B+E|P-1|B+E|=5.四阶矩阵 A,B 满足 ABA-1=BA-1+3E,并且 ,则 B=( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:由 ABA-1=BA-1+3EAB=B+3AA *(AB)=A*(B+3A)|A|B=A *B+3|A|E|A*|=8,即|A| 4-1=|A|3=8,所以|A|=2,(2E-A *)B=6E 所以 B=6(2E-A*)-1,而(2E-A *)-1= 所以 B=6.设 1=(5,1,-5) T, 2=(1,-3,2) T, 3

9、=(1,-2,1) T,A 1=(4,3) T,A 2=(7,-8) T,A 3=(5,-5)则A=( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:A( 1, 2, 3)一(A 1,A 2,A 3)=7.设 A,B,C,D 是扎阶矩阵,A 可逆 H= (分数:4.00)A. B.C.D.解析:HG=8.设 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析: 则 所以 ABBA,(2)(A+B)2= 但 A2+2AB+B2= 故(A+B) 2A 2+2AB+B2(3)(A+B)(A-B)= 而 A2-B2=9.下列命题错误的有( )个(1)若 A2=0,则 A=0; (2)若 A2=A,则 A=0 或

10、A=E;(3)若 AX=AY,且 A0,则 X=Y(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:取 A= ,A 2=0,但 A0;(2)取 A= ,A 2=A,但 A0 且 AE;(3)取 A=10.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 为对称矩阵,则 BTAB 为( )(A) 对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 上三角阵(分数:4.00)A. B.C.D.解析:证 已知:A T=A则 (B TAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB从而有 BTAB 也是对称矩阵,选(A)11.设 A= (分数:4.00)_正确答案:(利用数学

11、归纳法证明:当 k=1 时,显然成立,假设 k 时成立,则 k+1 时,有由数学归纳法原理知: )解析:12.计算下列乘积:(分数:4.00)_正确答案:(A11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a233 a13x1+a23x2+a33x3) = )解析:13.求下列矩阵的逆矩阵:(分数:4.00)_正确答案:(A11=5,A 21=2(-1),A 12=2(-1),A 22=1故(2)|A|=2, 故 A-1存在而 A 11=-4 A21=2 A31=0A12=-13 A22=6 A32=-1A13=-32 A23=14 A33=-2故(3) |A|=24 A21=A31

12、=A41=A32=A42=A43=0A11=24 A22=12 A33=8 A44=6故(4)|A|=10 故 A-1存在而 A 11=1 A21=-2 A31=0 A41=0A12=-2 A22=5 A32=0 A41=0A13=0 A23=0 A33=2 A43=-3A14=0 A224=0 A34=-5 A44=8 从而(5) ,由对角矩阵的性质知 )解析:14.解下列矩阵方程:(分数:4.00)_正确答案:()解析:15.利用逆矩阵解下列线性方程组:(分数:4.00)_正确答案:(1)方程组可表示为 故 ,从而有(2)方程组可表示为 故从而有 )解析:16.设方阵 A 满足 A2-A-

13、2E=0,证明 A 及 A+2E 都可逆,并求 A-1及(A+2E) -1.(分数:4.00)_正确答案:(证 由 A2-A-2E=0 得 A2-A=2E,两端同时取行列式:|A 2-A|=2即|A|A-E|=2,故|A|0,所以 A 可逆,而 A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|20,故 A+2E 也可逆由 A2-A-2E=0 A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E A-1= (A-E)又由 A2-A-2E=0 (A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4E所以(A+2E) -1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1故(A+2E) -1

14、= )解析:17.设 (分数:4.00)_正确答案:(由 AB=A+2B 可得(A-2E)B=A故 B=(A-2E) -1A= )解析:18.设 P-1AP=A,其中 P= (分数:4.00)_正确答案:(p -1AP=A 故 A=PAP-1所以 A11=PA11p-1而故 )解析:19.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*,证明:(1)若|A|=0,则|A *|=0; (2)|A *|=|A|n-1(分数:4.00)_正确答案:(1)证 用反证法证明假设|A *|0 则有 A*(A*)-1=E由此得 A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0 所以,A *=0这与|A *|0 矛盾,

15、故当|A|=0 时,有|A *|=0(2)由于 A-1= )解析:20.取 A=B=-C=D= ,验证 (分数:4.00)_正确答案:(取 A=B=-C=D= ,验证 检验: 而 故 )解析:21.设 A= (分数:4.00)_正确答案:(则 故 所以 )解析:22.已知 A= ,则 An=( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:A=E+J,其中 J= 所以,23.已知 B= (分数:4.00)A.B. C.D.解析:|P|0 所以 P 可逆24.设 A,B 是 n 阶矩阵,则 C= 的伴随矩阵是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:由于 CC*=|C|E=|A|B|E25.

16、A 是 n 阶可逆矩阵,(A *)*=( )(A) |A|A (B) |A|n-1A (C) |A|n-2A (D) |A|n-3A(分数:4.00)A.B.C. D.解析:A *(A*)*=|A*|E, 又|A *|=|A|n-1,因为|A|0,所以 A*可逆,又(A *)n-1. 所以(A *)*=|A*|(A*)-1=26.设 =(1,0,1) T,=(0,1,1) T,P= (分数:4.00)_正确答案:(A=P -1 TP,A 2=P-1 TPP-1 TP=P-1 TP=P-1( T)2P,A3=p-1( T)3P,所以 A2009=P-1( T)P,但 T= B33(33 型矩阵)

17、,不易计算而 T=10+01+11=0,这是入手点因此,A 2009=P-1( T) 1008 TP=P-11 2008 TP=P-1 TP=A。(E|P-1),因此 P-1=所以 A2008=A=P-1 TP= )解析:27.已知 3 阶行列式|,|=3,求|3-+2,-+,2+5-7|(分数:4.00)_正确答案:(矩阵(3-+2,-+,2+5-7)=(,)行列式|3-+2,-+,2+5-7|= )解析:28.已知 B= (分数:4.00)_正确答案:(由(A-E)B=A,得 AB-EB=A AB-A=B A(B-E)=B A=B(B-E)-1因此,A=B(B-E) -1= )解析:29.

18、已知 A= (分数:4.00)_正确答案:(A *X=A-1+2X,得 AA*X=AA-1+2AX,|A|X=E+2AX (|A|E-2A)X=E X=(|A|E-2A)-1,又有|A|= =4,所以有|A|E-2A=4E-2A=利用求逆公式(M|E)(E|M -1)可求得 X=(|A|E-2A)-1= )解析:30.设 A= (分数:4.00)_正确答案:(利用公式(A *)-1= 求得所以(A *)-1= )解析:31.设 A,B 是两个 3 阶矩阵,|A -1|=2,|B -1|=3,求|A *B-1-A-1B*|(分数:4.00)_正确答案:(利用 A*=|A|A-1进行化简|A*B-1-A-1B*|=|A|A-1-A-1|B|B-1=|(|A|-|B|)A-1B-1=(|A|-|B|)2|A-1|B-1|(1)再根据|AA -1|=|A|A-1|=|E|=1 可得 ,代入(1)可得原式= )解析:

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