1、矩阵及答案解析(总分：124.00，做题时间：90 分钟)1.A，B 均是 n 阶对称矩阵，且 AB=BA则 AB 是( )(A)对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 数量阵（分数：4.00）A.B.C.D.2.A=E- T，B=E+2 T，设 n 维行向量 = （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 3 阶矩阵 A=( 1， 2， 3)，已知|A|=5，|2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3|为( )(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40（分数：4.00）A.B.C.D.4.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A，A 2)是可逆矩
2、阵，并且 A3=3A-2A 2，设 3 阶矩阵 B，使得 A=PBP-1，则|A+E|=( )(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2（分数：4.00）A.B.C.D.5.四阶矩阵 A，B 满足 ABA-1=BA-1+3E，并且 ，则 B=( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1=(5，1，-5) T， 2=(1，-3，2) T， 3=(1，-2，1) T，A 1=(4，3) T，A 2=(7，-8) T，A 3=(5，-5)则A=( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B，C，D 是扎阶矩阵，A 可逆 H= （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4
3、.00）A.B.C.D.9.下列命题错误的有( )个(1)若 A2=0，则 A=0； (2)若 A2=A，则 A=0 或 A=E；(3)若 AX=AY，且 A0，则 X=Y(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3（分数：4.00）A.B.C.D.10.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，则 BTAB 为( )(A) 对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 上三角阵（分数：4.00）A.B.C.D.11.设 A= （分数：4.00）_12.计算下列乘积：（分数：4.00）_13.求下列矩阵的逆矩阵：（分数：4.00）_14.解下列矩阵方程：（分数：4.00）_15
4、.利用逆矩阵解下列线性方程组：（分数：4.00）_16.设方阵 A 满足 A2-A-2E=0，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A-1及(A+2E) -1.（分数：4.00）_17.设 （分数：4.00）_18.设 P-1AP=A，其中 P= （分数：4.00）_19.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明：(1)若|A|=0，则|A *|=0； (2)|A *|=|A|n-1（分数：4.00）_20.取 A=B=-C=D= ，验证 （分数：4.00）_21.设 A= （分数：4.00）_22.已知 A= ，则 An=( )（分数：4.00）A.B.C.D.23.已知 B= （分数：
5、4.00）A.B.C.D.24.设 A，B 是 n 阶矩阵，则 C= 的伴随矩阵是( )（分数：4.00）A.B.C.D.25.A 是 n 阶可逆矩阵，(A *)*=( )(A) |A|A (B) |A|n-1A (C) |A|n-2A (D) |A|n-3A（分数：4.00）A.B.C.D.26.设 =(1，0，1) T，=(0，1，1) T，P= （分数：4.00）_27.已知 3 阶行列式|，|=3，求|3-+2，-+，2+5-7|（分数：4.00）_28.已知 B= （分数：4.00）_29.已知 A= （分数：4.00）_30.设 A= （分数：4.00）_31.设 A，B 是两个
6、3 阶矩阵，|A -1|=2，|B -1|=3，求|A *B-1-A-1B*|（分数：4.00）_矩阵答案解析(总分：124.00，做题时间：90 分钟)1.A，B 均是 n 阶对称矩阵，且 AB=BA则 AB 是( )(A)对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 数量阵（分数：4.00）A. B.C.D.解析：(AB) T=AB，即 BTAT=BA=AB，选(A)2.A=E- T，B=E+2 T，设 n 维行向量 = （分数：4.00）A.B.C. D.解析：AB=(E- T)(E+2 T)=E+ T-2 T T=E+a T- T=E，选(C)3.设 3 阶矩阵 A=( 1，
7、2， 3)，已知|A|=5，|2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3|为( )(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40（分数：4.00）A.B.C. D.解析：(2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3)=( 1， 2， 3)原式=| 1， 2， 3|4.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A，A 2)是可逆矩阵，并且 A3=3A-2A 2，设 3 阶矩阵 B，使得 A=PBP-1，则|A+E|=( )(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：因为 A=PBP-1所以 PB=AP=(A，A 2，A
8、3)=(A，A 2，3A-2A 2)=(，A，A 2)又 P 可逆，所以 B= ，|A+E|=|P(B+E)P -1|=|P|B+E|P-1|B+E|=5.四阶矩阵 A，B 满足 ABA-1=BA-1+3E，并且 ，则 B=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由 ABA-1=BA-1+3EAB=B+3AA *(AB)=A*(B+3A)|A|B=A *B+3|A|E|A*|=8，即|A| 4-1=|A|3=8，所以|A|=2，(2E-A *)B=6E 所以 B=6(2E-A*)-1，而(2E-A *)-1= 所以 B=6.设 1=(5，1，-5) T， 2=(1，-3，2) T， 3
9、=(1，-2，1) T，A 1=(4，3) T，A 2=(7，-8) T，A 3=(5，-5)则A=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：A( 1， 2， 3)一(A 1，A 2，A 3)=7.设 A，B，C，D 是扎阶矩阵，A 可逆 H= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：HG=8.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析： 则 所以 ABBA，(2)(A+B)2= 但 A2+2AB+B2= 故(A+B) 2A 2+2AB+B2(3)(A+B)(A-B)= 而 A2-B2=9.下列命题错误的有( )个(1)若 A2=0，则 A=0； (2)若 A2=A，则 A=0 或
10、A=E；(3)若 AX=AY，且 A0，则 X=Y(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：取 A= ，A 2=0，但 A0；(2)取 A= ，A 2=A，但 A0 且 AE；(3)取 A=10.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，则 BTAB 为( )(A) 对称矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 对角阵 (D) 上三角阵（分数：4.00）A. B.C.D.解析：证 已知：A T=A则 (B TAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB从而有 BTAB 也是对称矩阵，选(A)11.设 A= （分数：4.00）_正确答案：(利用数学
11、归纳法证明：当 k=1 时，显然成立，假设 k 时成立，则 k+1 时，有由数学归纳法原理知： )解析：12.计算下列乘积：（分数：4.00）_正确答案：(A11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a233 a13x1+a23x2+a33x3) = )解析：13.求下列矩阵的逆矩阵：（分数：4.00）_正确答案：(A11=5，A 21=2(-1)，A 12=2(-1)，A 22=1故(2)|A|=2， 故 A-1存在而 A 11=-4 A21=2 A31=0A12=-13 A22=6 A32=-1A13=-32 A23=14 A33=-2故(3) |A|=24 A21=A31
12、=A41=A32=A42=A43=0A11=24 A22=12 A33=8 A44=6故(4)|A|=10 故 A-1存在而 A 11=1 A21=-2 A31=0 A41=0A12=-2 A22=5 A32=0 A41=0A13=0 A23=0 A33=2 A43=-3A14=0 A224=0 A34=-5 A44=8 从而(5) ，由对角矩阵的性质知 )解析：14.解下列矩阵方程：（分数：4.00）_正确答案：()解析：15.利用逆矩阵解下列线性方程组：（分数：4.00）_正确答案：(1)方程组可表示为 故 ，从而有(2)方程组可表示为 故从而有 )解析：16.设方阵 A 满足 A2-A-
13、2E=0，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A-1及(A+2E) -1.（分数：4.00）_正确答案：(证 由 A2-A-2E=0 得 A2-A=2E，两端同时取行列式：|A 2-A|=2即|A|A-E|=2，故|A|0，所以 A 可逆，而 A+2E=A2，|A+2E|=|A2|=|A|20，故 A+2E 也可逆由 A2-A-2E=0 A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E A-1= (A-E)又由 A2-A-2E=0 (A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4E所以(A+2E) -1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1故(A+2E) -1
14、= )解析：17.设 （分数：4.00）_正确答案：(由 AB=A+2B 可得(A-2E)B=A故 B=(A-2E) -1A= )解析：18.设 P-1AP=A，其中 P= （分数：4.00）_正确答案：(p -1AP=A 故 A=PAP-1所以 A11=PA11p-1而故 )解析：19.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明：(1)若|A|=0，则|A *|=0； (2)|A *|=|A|n-1（分数：4.00）_正确答案：(1)证 用反证法证明假设|A *|0 则有 A*(A*)-1=E由此得 A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0 所以，A *=0这与|A *|0 矛盾，
15、故当|A|=0 时，有|A *|=0(2)由于 A-1= )解析：20.取 A=B=-C=D= ，验证 （分数：4.00）_正确答案：(取 A=B=-C=D= ，验证 检验： 而 故 )解析：21.设 A= （分数：4.00）_正确答案：(则 故 所以 )解析：22.已知 A= ，则 An=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：A=E+J，其中 J= 所以，23.已知 B= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：|P|0 所以 P 可逆24.设 A，B 是 n 阶矩阵，则 C= 的伴随矩阵是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于 CC*=|C|E=|A|B|E25.
16、A 是 n 阶可逆矩阵，(A *)*=( )(A) |A|A (B) |A|n-1A (C) |A|n-2A (D) |A|n-3A（分数：4.00）A.B.C. D.解析：A *(A*)*=|A*|E， 又|A *|=|A|n-1，因为|A|0，所以 A*可逆，又(A *)n-1. 所以(A *)*=|A*|(A*)-1=26.设 =(1，0，1) T，=(0，1，1) T，P= （分数：4.00）_正确答案：(A=P -1 TP，A 2=P-1 TPP-1 TP=P-1 TP=P-1( T)2P，A3=p-1( T)3P，所以 A2009=P-1( T)P，但 T= B33(33 型矩阵)
17、，不易计算而 T=10+01+11=0，这是入手点因此，A 2009=P-1( T) 1008 TP=P-11 2008 TP=P-1 TP=A。(E|P-1)，因此 P-1=所以 A2008=A=P-1 TP= )解析：27.已知 3 阶行列式|，|=3，求|3-+2，-+，2+5-7|（分数：4.00）_正确答案：(矩阵(3-+2，-+，2+5-7)=(，)行列式|3-+2，-+，2+5-7|= )解析：28.已知 B= （分数：4.00）_正确答案：(由(A-E)B=A，得 AB-EB=A AB-A=B A(B-E)=B A=B(B-E)-1因此，A=B(B-E) -1= )解析：29.
18、已知 A= （分数：4.00）_正确答案：(A *X=A-1+2X，得 AA*X=AA-1+2AX，|A|X=E+2AX (|A|E-2A)X=E X=(|A|E-2A)-1，又有|A|= =4，所以有|A|E-2A=4E-2A=利用求逆公式(M|E)(E|M -1)可求得 X=(|A|E-2A)-1= )解析：30.设 A= （分数：4.00）_正确答案：(利用公式(A *)-1= 求得所以(A *)-1= )解析：31.设 A，B 是两个 3 阶矩阵，|A -1|=2，|B -1|=3，求|A *B-1-A-1B*|（分数：4.00）_正确答案：(利用 A*=|A|A-1进行化简|A*B-1-A-1B*|=|A|A-1-A-1|B|B-1=|(|A|-|B|)A-1B-1=(|A|-|B|)2|A-1|B-1|(1)再根据|AA -1|=|A|A-1|=|E|=1 可得 ，代入(1)可得原式= )解析：
