1、第三章 矩 阵,3.1 几种特殊矩阵 3.2 矩阵的运算3.3 可逆矩阵 3.4 分块矩阵 3.5 初等矩阵 3.6 分块矩阵的初等变换,第一章 行列式,第二章 线性方程组,第一节 几种特殊矩阵,（2）只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量),（4）同型矩阵与矩阵相等的概念:,1. 行数相等且列数相等的两个矩阵,称为同型矩阵.,2. 若两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称矩阵 相等,记作,例1 设,解,(5)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶,方阵.也可记作,称为对角矩阵(或对角阵）.,（6）,记作,（7）方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,记作,线性变换,间的关系式为,线性变换.,
2、系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,若线性变换为,称之为恒等变换.,单位阵.,第二节 矩阵的运算,本次课的教学要求,1、掌握矩阵的运算：加、减、数乘、乘法、转置.,、定义1,两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,一、矩阵的加法,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.,例1,2、 矩阵加法的运算规律,1、定义2,二、数与矩阵相乘,例2,解,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,、定义3,三、矩阵与矩阵的乘积,矩阵乘法是出于研究线性方程组以及线性变换的 乘法的需要建立起来的。,设,例3 已知,、矩阵乘法的
3、运算规律,（其中 为数）;,注意 矩阵一般不满足交换律,1. 例如 设,则,2. 课本P46例4；P48例5、例6,但也有例外，比如设,则有,若AB=BA, 则称A与B可交换.,例4 计算下列乘积：,解,定义4 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例如,、矩阵的转置、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,第i行换成第i列,转置矩阵的运算性质,证明,例5 已知,解法1,解法2,例5 已知,2、对称矩阵与反称矩阵,定义5,设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称矩阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,例6 设列矩阵 满足,证明,(1),例7 证明任一
4、 阶矩阵都可表示成对称阵与 反称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵，,所以B为反对称矩阵,证毕.,所以C/2也是对称矩阵.,所以B/2也是反对称矩阵.,3、方阵的行列式,定义6 由 阶方阵 的元素按原次序所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,证明,奇异矩阵与非奇异矩阵,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵,称为矩阵 的伴随矩阵.,逆,4. 伴随矩阵,矩 阵 运 算,1、加法、减法,2、数与矩阵的乘法,3、矩阵与矩阵的乘积,4、转置,6、对称阵与伴随矩阵,5、方阵的行列式,五、小结,线性运算,(1) AB有意义，要求 A的列数 = B的行数.,注意:,则矩阵
5、 称为 的逆矩阵,A称为可逆矩阵.,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵 ，,如果存在一个矩阵 ,使得,第三节 可 逆 矩 阵,一、概念的引入,例 设,二、逆矩阵的概念和性质,定义7,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,例 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,考查：,所以,定义8,行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵,性质,称为矩阵 的伴随矩阵.,AA-1=E，则|A|A-1|=1，知|A|
6、0； 若|A|0， 能否推出AA-1=E？,故,同理可得,证明,定理1 n 阶方阵 可逆的充要条件是 ，且,证明,若 可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕,推论1,证明,证明,逆矩阵的运算性质,证明,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,故,解,例2,例3 设,解,于是,例4,例5,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,给方程两端左乘矩阵,得,给方程两端右乘矩阵,解,例6,解,例7,四、小结,逆矩阵的概念及运算性质.,逆矩阵的计算方法,逆矩阵 存在,在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是简化矩阵运算。 每一小块叫做矩阵地子块（子矩阵），并且把
7、每个子块在运算中直接看作是矩阵地元素一样。 这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。 通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清晰，意义更加明确。,第四节 分块矩阵,一、分块矩阵的运算规则,例1,2 3,4 5,作A+B运算，要求对A和B的行、列的分法相同.,作A运算，对A的分法无要求.,作AB运算，要求对A的列的分法与B的行的分法相同.,分块对角矩阵的具有下述性质:,例2 设,解,例3 设,解:,解:,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,三、小结,定义9 由单位矩阵 经过一次初等变换而得到的方阵称为初等矩阵.,
8、三种初等变换对应着三种初等矩阵.,第五节 初 等 矩 阵,一、初等矩阵的概念,例1,解,例1,解,二、初等矩阵的应用,定理2,由定理1，可知：,初等矩阵均是可逆矩阵，且其逆矩阵还是初等矩阵.,具体地,有：,定理3,定理4 n阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积,证,初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.,因初等矩阵均是可逆矩阵，又可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵,故A可逆 证毕！,推论1 mn阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使PAQB,推论2 若A与B均为可逆矩阵，则,即AC可经初等变换变成C，故R（AC）R（C） 另两式同理可证,由定理4，得出利用初等行变换求逆阵的方法：,解,例,例,解,(a),(b),解,例3,利用初等变换求逆矩阵的步骤是:,三、小结,返回,
