1、第五章 矩阵,5.1 矩阵的运算,5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式,5.3 矩阵的分块,宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不用数学。 华罗庚,5.1 矩阵的运算,一、内容分布,5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置,二、教学目的,掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。 掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。,三、重点、难点,矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。,5.1.1 认识矩阵,
2、矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩阵, 矩阵的应用非常广泛.,设F是数域, 用F的元素 排成的m行n列的数表,5.1.2 矩阵的运算,定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为,A和B加法定义为:,A和B的乘法定义为,注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果的形状?,5.1.3 矩阵的运算性质,矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）,(1) 加法交换律,(2) 加法结合律,(3) 零矩阵,(4) 负矩阵,(5) 数乘结合律,(6)
3、数乘分配律,(7) 乘法结合律,(8) 乘法分配律,注意: 矩阵的乘法不满足交换律,5.1.4 方阵的多项式,方阵A的方幂:,规定:,设多项式,那么,在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.,5.1.5 矩阵的转置,设,转置有下面的性质:,(9),(10),(11),5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式,一、内容分布521 可逆矩阵的定义522 可逆矩阵的性质523 初等矩阵的定义、性质524 矩阵可逆的判别525 逆矩阵的求法526 矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。3 了解
4、初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别,5.2.1 可逆矩阵的定义,定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.,例：,A与B互为逆矩阵.,注1 有零行或零列的矩阵不可逆.,5.2.2 可逆矩阵的性质, A可逆，则A的逆矩阵唯一。,证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =（BA）C = IC = C,证 注意到 即得.,证 注意到 即得., A可逆，则, A，B可逆，则AB也可逆，且 .,5.2.3 初等矩阵的定义、性质
5、,定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.,n = 4,定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如,1、交换A的i ，j 行相当于用 .,如,2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .,定理2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且,引理1 ，则 . （初等变换不改变可逆性）.,定理3 任一mn矩阵A总可以通过初等变换化为,证 由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为,对（*）作第三种列变换即可化为,5.2.4 矩阵可逆的判别,n 阶矩阵A可逆,则 可逆， 无零行，即 . 反之，若AI，由I可逆知A可逆., AI
6、，即IA即存在初等矩阵 使,注 A可逆,则A可经初等行变换化为I., 由 AI，,5.2.5 逆矩阵的求法, 行初等变换法,A可逆，由 ，即存在初等矩阵 ，使,即,例1, 公式法,设,则由行列式的依行依列展开公式,，有,即,若A可逆，则|A|0，从而,即,例3：求矩阵 的逆矩阵.,解法一 利用公式,因为,计算每个元素 的代数余子式,所以,解法二 行初等变换法.,所以,例4 解矩阵方程 其中,解 显然A是可逆的.先求出,再在原方程两边左乘 得,所以,5.2.6 矩阵乘积的行列式,引理5.2.6：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵, 若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A
7、的左上角的元素不为零.,继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，且,定理：设A，B为n 阶矩阵，则|AB| = |A| |B|,证, 若A为对角矩阵,从而,推广,相当于对 作第三种行初等变换. 故,定理 A，B为mn及np阶矩阵，则秩（AB）秩A，秩（AB）秩B. 特别当A可逆时，秩（AB）= 秩B.,推论：,例5 A可逆，则存在 n 阶可逆矩阵P，Q，使PAQ = I,证：A可逆，则,一、内容分布5.3.1 分块矩阵的概念5.3.2 分块矩阵的运算5.3.3 特殊的分块矩阵 二、教学目的 1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算 2 掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分块矩阵
8、及相关公式 三、重点、难点 利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用分块矩阵解题,5.3 分块矩阵,在行列式 中任意取定了 行.由这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 .,复习:拉普拉斯(Laplace)定理,一、分块矩阵的概念,定义,将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。,1. 线性运算,（加法与数乘）,二. 分块矩阵的运算,2. 乘法运算,符合乘法的要求,例1 设,为了求乘积AB，我们可以对A，B如下地分块,这里I 是二阶单位矩阵，O 是二阶零矩阵.,按照分块矩阵的乘法，我们有,这里,3. 转置
9、运算,1. 准对角阵,则,三. 特殊的分块阵,求A的行列式及逆。,解 将矩阵分块,例2,2. 分块三角阵,证明:,解：将矩阵分块,例3,解：将矩阵分块,例3,3. 分块次对角阵,小结: 一.分块矩阵的概念将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。 注意：分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且 子块也是矩阵。 作用：简化高阶矩阵运算简化运算的表达形式,二.分块矩阵的运算: 1. 线性运算 2. 乘法运算 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求 相应的子块间也应符合运算的要求 3. 转置运算. 注意：大块小块一起转,三. 特殊的分块矩阵 准对角, 分块三角阵 分块次对角 一些重要公式,课外作业: P215. 习题1, 习题2,习题4.,
