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【考研类试卷】经济类专业学位联考综合能力数学基础(线性代数)-试卷2及答案解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础(线性代数)-试卷 2及答案解析(总分:74.00,做题时间:90 分钟)一、逻辑推理(总题数:40,分数:74.00)1.单项选择题_2.设向量 可由向量组 1 , 2 , m 线性表出,但不能由向量组(1): 1 , 2 , m-1 线性表出,记向量组(2)为: 1 , 2 , m-1 ,则下列说法正确的是( )。(分数:2.00)A. m 不能由(1)线性表出,也不能由(2)线性表出B. m 不能由(1)线性表出,但可由(2)线性表出C. m 可由(1)线性表出,也可由(2)线性表出D. m 不能由(1)线性表出,也不能由(2)线性表出3.已知向量组 1

2、 , 2 , 3 , 4 线性无关,则下列结论中正确的是( )。(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 , 2 一 3 3 一 4 , 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 1 线性无关D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 一 4 , 4 一 1 线性无关4.设向量组 I: 1 , 2 , r 可由向量组 1 , 2 , s 线性表出,则( )。(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关B.当 rs 时,向量组必线性相关C.当 rs 时,向量组 I必线性相关D.当 rs

3、时,向量组 I必线性相关5.已知 (分数:2.00)A.a=b0B.ab,且 a+2b=0C.a+2b0D.ab,且 a+2b06.设向量 = 1 + 2 + s (s1),而 1 = 一 1 , 2 =- 2 , s = s ,则( )。(分数:2.00)A.r( 1 , 2 , s )=r( 1 , 2 , s )B.r( 1 , 2 , s )r( 1 , 2 , s )C.r( 1 , 2 , s )r( 1 , 2 , s )D.不能确定 r( 1 , 2 , s ),r( 1 , 2 , s )的大小关系7.设 1 , 2 , s 均为 n维向量,下列结论不正确的是( )。(分数:

4、2.00)A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0,则 1 , 2 , s 线性无关B.若 1 , 2 , s ,线性相关,则对于任意一组不全为 0的实数 k 1 ,k 2 ,k s ,有k 1 1 +k 2 2 +k s s =0C. 1 , 2 , s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 , 2 , a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关8.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 1B. 1 + 2 ,

5、 2 + 3 , 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ,2 2 +3 3 ,3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ,2 1 一 3 2 +22 3 ,3 1 +5 2 -5 39.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,向量 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,而向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示则对于任意常数 k,必有( )。(分数:2.00)A. 1 , 2 , 3 ,k 1 + 2 线性无关B. 1 , 2 , 3 ,k 1 + 2 线性相关C. 1 , 2 , 3 , 1 +k 2 线性无关D. 1 , 2 , 3 , 1 +k 2 线性相关10.设 n维列向量组

6、(1) 1 , 2 , m (mn)线性无关,则 n维列向量组(2): 1 , 2 , m 线性无关的充分必要条件为( )。(分数:2.00)A.向量组(1)可由向量组(2)线性表示B.向量组(2)可由向量组(1)线性表示C.向量组(1)与向量组(2)等价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价11.填空题_12.试完成下列向量的运算(1)(1,2,3,)+(2,3,一 2)= 1,(2)(10,2,6,)一(5,12,一 2)= 2。(3)3.(2,3,一 5,)= 3。(分数:2.00)填空项 1:_13.设 3阶矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_14.已知 1 =(2

7、,3,4,5) T , 2 =(3,4,5,6) T , 3 =(4,5,6,7) T , 4 =(5,6,7,8) T ,则 r( 1 , 2 , 3 , 4 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_15.若 =(1,2,t) T 可由 1 =(2,1,1) T , 2 =(一 1,2,7) T , 3 =(1,一 1,一 4) T 线性表出,则 t= 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.已知 =(3,5,7,9),=(一 1,5,2,0),x 满足 2+3x=,则 x= 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),

8、(4,3,2,1)线性相关,且 a1,则 a= 1。(分数:2.00)填空项 1:_18.计算题_19.设向量组(I): 1 =(1,0,2) T , 2 =(1,1,3) T , 3 =(1,-1,a+2) T 和向量组(): 1 =(1,2,a+3) T , 2 =(2,1,a+6) T , 3 =(2,1,a+4) T 试问:当 a为何值时,向量组(I)与向量组 ()等价?当 a为何值时,向量组(I)与向量组()不等价?(分数:2.00)_20.设 i =(a i1 ,a i2 ,,a in )T(i=1,2,r;rn)是 n维实向量,且 1 , 2 , r 线性无关已知 =(b 1 ,

9、b 2 ,b n ) T 是线性方程组 (分数:2.00)_21.求向量组 1 =(1,1,4,2) T , 2 =(1,一 1,一 2,4) T , 3 =(一 3,2,3,一 11) T , 4 =(1,3,10,0) T ,的个极大线性无关组。(分数:2.00)_22.设 A,B 都是 mn矩阵,则 r(A+B)r(A)+r(B)。(分数:2.00)_23.已知向量组 1 =(一 2,1,0) T , 2 =(2,0,1) T 线性无关,试求该向量组的规范正交向量组。(分数:2.00)_24.确定常数 a,使向量组 1 =(1,1,a), 2 =(1,a,1) T , 3 =(a,1,1

10、) T 可由向量组 1 =(1,1,a) T , 2 =(一 2,a,4) T , 3 =(一 2,a,a) T 线性表出,但向量组 1 , 2 , 3 不能由向量组 1 , 2 , 3 ,线性表示。(分数:2.00)_25.设 1 =(1,1,1), 2 =(1,2,3), 3 =(1,3,t), (1)问 t为何值时,向量组 1 , 2 , 3 线性相关。 (2)问 t为何值时,向量组 1 , 2 线性无关。 (3)当线性相关时,将 3 表示为 2 , 3 的线性组合。(分数:2.00)_26.设 i =(a i1 ,a i2 ,,a in ) T (i=1,2,r;rn)是 n维实向量,

11、且 1 , 2 , r 线性无关。已知 =(b 1 ,b 2 ,b n ) T 是线性方程组 (分数:2.00)_27.设 4维向量组 1 =(1+a,1,1,1) T , 2 =(2,2+a,2,2) T , 3 =(3,3,3+a,3) T , 4 =(4,4,4,4+) T ,问 为何值时, 1 , 2 , 3 , 4 线性相关?当 1 , 2 , 3 , 4 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。(分数:2.00)_28.已知向量组(I) 1 , 2 , 3 ;() 1 , 2 , 3 , 4 ;() 1 , 2 , 3 , 5 ,如果各向量组的秩

12、分别为 r(I)=r()=3,r()=4证明:向量组 1 , 2 , 3 , 5 一 4 的秩为 4。(分数:2.00)_29.设 A是 n阶矩阵,A 2 =E,证明:r(A+E)+r(AE)=n。(分数:2.00)_30.已知 1 =(1,一 1,1) T , 2 =(1,t,一 1) T , 3 =(t,1,2) T ,=(4,t 2 ,-4) T ,若 可由 1 , 2 , 3 线性表出且表达式不唯一,求 t及 的表达式。(分数:2.00)_31.设 1 =(1,1,1) T ,求 2 , 3 ,使 1 , 2 , 3 相互正交。(分数:2.00)_32.已知 1 =(1,1,0,2)

13、T , 2 =(一 1,1,2,4) T , 3 =(2,3,a,7) T , 4 =(一 1,5,一 3,a+6) T ,=(1,0,2,b) T ,问 a,b 取何值时,(1) 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表(分数:2.00)_33.已知有两个向量组:(I): 1 =(0,1,一 1) T , 2 =(a,2,1) T , 3 =(b,1,0) T ; (): 1 =(1,2,一 3) T , 2 =(3,0,1) T , 3 =(9,6,一 7) T 已知(I)与()有相同的秩,(分数:2.00)_34.设 3阶行列式 A与 3维向量 x,使得向量组 x,Ax,A 2 x线性

14、无关,且满足: A 3 x=3Ax一 2A 2 x (1)记 P=(x,Ax,A 2 x),求 3阶矩阵 B,使 A=PBP -1 ; (2)计算行列式|A+E|。(分数:2.00)_35.设 A是 n阶矩阵, 1 , 2 , 3 是 n维列向量,如果 A 1 = 1 0,A 2 = 1 + 2 ,A 3 = 2 + 3 ,证明向量组 1 , 2 , 3 线性无关。(分数:2.00)_36.设向量组 1 = (1,1,1,3) T , 2 = (一 1,一 3,5,1) T , 3 = (3,2,一 1,p+2) T , 4 =(一 2,一 6,10,p) T 。 (1)p 为何值时,该向量组

15、线性无关?并在此时将向量=(4,1,6,10) 10 用 1 , 2(分数:2.00)_37.求解齐次线性方程组 (分数:2.00)_38.已知非齐次线性方程组 (分数:2.00)_39.当 k为何值时,线性方程组 (分数:2.00)_40.设线性方程组为 (分数:2.00)_经济类专业学位联考综合能力数学基础(线性代数)-试卷 2答案解析(总分:74.00,做题时间:90 分钟)一、逻辑推理(总题数:40,分数:74.00)1.单项选择题_解析:2.设向量 可由向量组 1 , 2 , m 线性表出,但不能由向量组(1): 1 , 2 , m-1 线性表出,记向量组(2)为: 1 , 2 ,

16、m-1 ,则下列说法正确的是( )。(分数:2.00)A. m 不能由(1)线性表出,也不能由(2)线性表出B. m 不能由(1)线性表出,但可由(2)线性表出 C. m 可由(1)线性表出,也可由(2)线性表出D. m 不能由(1)线性表出,也不能由(2)线性表出解析:3.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则下列结论中正确的是( )。(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 , 2 一 3 3 一 4 , 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 1 线性无关 D. 1 +

17、 2 , 2 + 3 , 3 一 4 , 4 一 1 线性无关解析:4.设向量组 I: 1 , 2 , r 可由向量组 1 , 2 , s 线性表出,则( )。(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关B.当 rs 时,向量组必线性相关C.当 rs 时,向量组 I必线性相关D.当 rs 时,向量组 I必线性相关 解析:5.已知 (分数:2.00)A.a=b0B.ab,且 a+2b=0 C.a+2b0D.ab,且 a+2b0解析:6.设向量 = 1 + 2 + s (s1),而 1 = 一 1 , 2 =- 2 , s = s ,则( )。(分数:2.00)A.r( 1 , 2 , s

18、 )=r( 1 , 2 , s ) B.r( 1 , 2 , s )r( 1 , 2 , s )C.r( 1 , 2 , s )r( 1 , 2 , s )D.不能确定 r( 1 , 2 , s ),r( 1 , 2 , s )的大小关系解析:7.设 1 , 2 , s 均为 n维向量,下列结论不正确的是( )。(分数:2.00)A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0,则 1 , 2 , s 线性无关B.若 1 , 2 , s ,线性相关,则对于任意一组不全为 0的实数 k 1 ,k 2 ,k s ,有k 1 1 +k 2

19、 2 +k s s =0 C. 1 , 2 , s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 , 2 , a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析:8.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 1B. 1 + 2 , 2 + 3 , 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ,2 2 +3 3 ,3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ,2 1 一 3 2 +22 3 ,3 1 +5 2 -5 3解析:9.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,向量 1 可由 1 , 2 , 3

20、线性表示,而向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示则对于任意常数 k,必有( )。(分数:2.00)A. 1 , 2 , 3 ,k 1 + 2 线性无关 B. 1 , 2 , 3 ,k 1 + 2 线性相关C. 1 , 2 , 3 , 1 +k 2 线性无关D. 1 , 2 , 3 , 1 +k 2 线性相关解析:10.设 n维列向量组(1) 1 , 2 , m (mn)线性无关,则 n维列向量组(2): 1 , 2 , m 线性无关的充分必要条件为( )。(分数:2.00)A.向量组(1)可由向量组(2)线性表示B.向量组(2)可由向量组(1)线性表示C.向量组(1)与向量组(2)等

21、价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价 解析:11.填空题_解析:12.试完成下列向量的运算(1)(1,2,3,)+(2,3,一 2)= 1,(2)(10,2,6,)一(5,12,一 2)= 2。(3)3.(2,3,一 5,)= 3。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(1)(1,2,3,)+(2,3,一 2)=(1+2,2+3,32)=(3,5,1) (2)(10,2,6,)一(5,12,一 2)=(10一 5,2 一 12,6 一(一 2)=(5,一 10,8) (3)3.(2,3,一 5,)=(32,33,3(一 5)=(6,9,一 15))解析:13.

22、设 3阶矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a 一 1)解析:14.已知 1 =(2,3,4,5) T , 2 =(3,4,5,6) T , 3 =(4,5,6,7) T , 4 =(5,6,7,8) T ,则 r( 1 , 2 , 3 , 4 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:15.若 =(1,2,t) T 可由 1 =(2,1,1) T , 2 =(一 1,2,7) T , 3 =(1,一 1,一 4) T 线性表出,则 t= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:t=5)解析:16.已知 =(

23、3,5,7,9),=(一 1,5,2,0),x 满足 2+3x=,则 x= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:17.设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,且 a1,则 a= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:18.计算题_解析:19.设向量组(I): 1 =(1,0,2) T , 2 =(1,1,3) T , 3 =(1,-1,a+2) T 和向量组(): 1 =(1,2,a+3) T , 2 =(2,1,a+6) T , 3 =(2,1,a+4) T 试问:当

24、a为何值时,向量组(I)与向量组 ()等价?当 a为何值时,向量组(I)与向量组()不等价?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对( 1 , 2 , 3 : 1 , 2 , 3 )作初等行变换,有 (1)当a一 1时,行列式| 1 , 2 , 3 |=a+10, 由克莱姆法则,知三个线性方程组 x 1 1 + 2 x 2 +x 3 3 = i (i=1,2,3)均有唯一解,所以 1 , 2 , 3 可由向量组(I)线性表出。 由于行列式 由克莱姆法则,知三个线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = i (j=1,2,3)均有唯一解,即 a一 1时,向量组(I)与向量组()等

25、价。 (2)当 a=一 1时,有 )解析:20.设 i =(a i1 ,a i2 ,,a in )T(i=1,2,r;rn)是 n维实向量,且 1 , 2 , r 线性无关已知 =(b 1 ,b 2 ,b n ) T 是线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设存在一组数 k 1 ,k 2 ,k r ,l 使得向量组 1 , 2 , r , 满足 k 1 1 +k 2 2 +k r r +l=0 因为 为方程组的非零解,所以有 )解析:21.求向量组 1 =(1,1,4,2) T , 2 =(1,一 1,一 2,4) T , 3 =(一 3,2,3,一 11) T , 4 =(1

26、,3,10,0) T ,的个极大线性无关组。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把行向量组成矩阵,用初等行变换化成阶梯形,有 )解析:22.设 A,B 都是 mn矩阵,则 r(A+B)r(A)+r(B)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A的列向量中 i1 , i2 , ir 是其一个极大线性无关组, j1 , j2 , jt 是 B的列向量的一个极大线性无关组那么,A 的每一个列向量均可以由 i1 , i2 , ir ,线性表出,B 的每一个列向量均能用 j1 , j2 , jt 线性表出于是 A+B的每一个列向量 k + k 都能用 i1 , i2 , ir , j1 ,

27、 j2 ,, jt 线性表出因此,A+B 列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组 i1 , i2 , ij j1 , j2 , jt 中向量个数,即 r(A+B)r+t=r(A)+r(B)。)解析:23.已知向量组 1 =(一 2,1,0) T , 2 =(2,0,1) T 线性无关,试求该向量组的规范正交向量组。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先将其正交化,有 1 = 1 =(一 2,1,0) T 再单位化,有: )解析:24.确定常数 a,使向量组 1 =(1,1,a), 2 =(1,a,1) T , 3 =(a,1,1) T 可由向量组 1 =(1,1,a) T ,

28、2 =(一 2,a,4) T , 3 =(一 2,a,a) T 线性表出,但向量组 1 , 2 , 3 不能由向量组 1 , 2 , 3 ,线性表示。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 1 , 2 , 3 可由 1 , 2 , 3 线性表出,而向量组 1 , 2 , 3 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性 表出,故必有 r( 1 , 2 , 3 )r( 1 , 2 , 3 )于是 r( 1 , 2 , 3 )3,故| 1 , 2 , 3 |= =-(a一 1) 2 (a+2)=0解出 a=1或 a=一 2。 而( 1 , 2 , 3 )= )解析:25.设 1 =(1,1,1)

29、, 2 =(1,2,3), 3 =(1,3,t), (1)问 t为何值时,向量组 1 , 2 , 3 线性相关。 (2)问 t为何值时,向量组 1 , 2 线性无关。 (3)当线性相关时,将 3 表示为 2 , 3 的线性组合。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设有一组数 k 1 ,k 2 ,k 3 ,使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0,则可以得到方程组 此其次方程组的系数行列式 (1)当 t=5时,方程组有非零解,此时 1 , 2 , 3 线性相关。 (2)当 t5 时,方程组仅有零解,此时 1 , 2 , 3 线性无关。 (3)当 t=5时,则 3 =(1,3,5)

30、设 3 =x 1 1 +x 2 2 。 则解方程 )解析:26.设 i =(a i1 ,a i2 ,,a in ) T (i=1,2,r;rn)是 n维实向量,且 1 , 2 , r 线性无关。已知 =(b 1 ,b 2 ,b n ) T 是线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 k 1 1 +k 2 2 +k r r +l=0(*) 因为 为方程组的非 0解,有 )解析:27.设 4维向量组 1 =(1+a,1,1,1) T , 2 =(2,2+a,2,2) T , 3 =(3,3,3+a,3) T , 4 =(4,4,4,4+) T ,问 为何值时, 1 , 2 , 3

31、, 4 线性相关?当 1 , 2 , 3 , 4 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对( 1 , 2 , 3 , 4 )作初等行变换,有 若 a=0,则秩 r( 1 , 2 , 3 , 4 )=1, 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,极大线性无关组为 1 ,且 2 =2 1 , 3 =3 1 , 4 =4 1 。 若 a0,则有 )解析:28.已知向量组(I) 1 , 2 , 3 ;() 1 , 2 , 3 , 4 ;() 1 , 2 , 3 , 5 ,如果各向量组的秩分别为 r(I)=r()=3,r()=

32、4证明:向量组 1 , 2 , 3 , 5 一 4 的秩为 4。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:要证 1 , 2 , 3 , 5 一 4 的秩为 4,只要证明 1 , 2 , 3 , 5 一 4 线性无关即可。 因为 r(I)=r()=3,所以 1 , 2 , 3 线性无关,而 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,故存在数 1 , 2 , 3 ,使 4 = 1 1 + 2 2 + 3 3 设存在一组数 k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 ,使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 ( 5 一 4 )=0 将 4 = 1 1 + 2 2 + 3 3 代入上式有:(k

33、1 1 k 4 ) 1 +(k 2 - 2 k 4 ) 2 +(k 3 - 3 k 4 ) 3 +k 4 5 =0 由 r()=4,可知 )解析:29.设 A是 n阶矩阵,A 2 =E,证明:r(A+E)+r(AE)=n。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 =E,得到 A 2 一 E=0,即(AE)(A+E)=0。故 r(A+E)+r(AE)n 又因为r(A+E)+r(AE)=r(A+E)+r(E-A) r(A+E)+(E-A)=r(2E)=r(E)=n 综上,r(A+E)+r(A-E)=n。)解析:30.已知 1 =(1,一 1,1) T , 2 =(1,t,一 1) T , 3 =(t,1,2) T ,=(4,t 2 ,-4) T ,若 可由 1 , 2 , 3 线性表出且表达式不唯一,求 t及 的表达式。(分数:2.00)_正确答案:(正

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