1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷 2及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：40，分数：74.00)1.单项选择题_2.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出，但不能由向量组(1)： 1 ， 2 ， m-1 线性表出，记向量组(2)为： 1 ， 2 ， m-1 ，则下列说法正确的是( )。（分数：2.00）A. m 不能由(1)线性表出，也不能由(2)线性表出B. m 不能由(1)线性表出，但可由(2)线性表出C. m 可由(1)线性表出，也可由(2)线性表出D. m 不能由(1)线性表出，也不能由(2)线性表出3.已知向量组 1
2、 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则下列结论中正确的是( )。（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关4.设向量组 I： 1 ， 2 ， r 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，则( )。（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组 I必线性相关D.当 rs
3、时，向量组 I必线性相关5.已知 （分数：2.00）A.a=b0B.ab，且 a+2b=0C.a+2b0D.ab，且 a+2b06.设向量 = 1 + 2 + s (s1)，而 1 = 一 1 ， 2 =- 2 ， s = s ，则( )。（分数：2.00）A.r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s )B.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )C.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )D.不能确定 r( 1 ， 2 ， s )，r( 1 ， 2 ， s )的大小关系7.设 1 ， 2 ， s 均为 n维向量，下列结论不正确的是( )。（分数：
4、2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s ，线性相关，则对于任意一组不全为 0的实数 k 1 ，k 2 ，k s ，有k 1 1 +k 2 2 +k s s =0C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关8.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )。（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 1B. 1 + 2 ，
5、 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 一 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 -5 39.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示则对于任意常数 k，必有( )。（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关10.设 n维列向量组
6、(1) 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n维列向量组(2)： 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为( )。（分数：2.00）A.向量组(1)可由向量组(2)线性表示B.向量组(2)可由向量组(1)线性表示C.向量组(1)与向量组(2)等价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价11.填空题_12.试完成下列向量的运算(1)(1，2，3，)+(2，3，一 2)= 1，(2)(10，2，6，)一(5，12，一 2)= 2。(3)3.(2，3，一 5，)= 3。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 3阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 1 =(2
7、，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.若 =(1，2，t) T 可由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(一 1，2，7) T ， 3 =(1，一 1，一 4) T 线性表出，则 t= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 =(3，5，7，9)，=(一 1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，
8、(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.计算题_19.设向量组(I)： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，-1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当 a为何值时，向量组(I)与向量组 ()等价?当 a为何值时，向量组(I)与向量组()不等价?（分数：2.00）_20.设 i =(a i1 ,a i2 ,，a in )T(i=1，2，r；rn)是 n维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 =(b 1 ，
9、b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_21.求向量组 1 =(1，1，4，2) T ， 2 =(1，一 1，一 2，4) T ， 3 =(一 3，2，3，一 11) T ， 4 =(1，3，10，0) T ，的个极大线性无关组。（分数：2.00）_22.设 A，B 都是 mn矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)。（分数：2.00）_23.已知向量组 1 =(一 2，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 线性无关，试求该向量组的规范正交向量组。（分数：2.00）_24.确定常数 a，使向量组 1 =(1，1，a)， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1
10、) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(一 2，a，4) T ， 3 =(一 2，a，a) T 线性表出，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 ，线性表示。（分数：2.00）_25.设 1 =(1，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，3，t)， (1)问 t为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关。 (2)问 t为何值时，向量组 1 , 2 线性无关。 (3)当线性相关时，将 3 表示为 2 ， 3 的线性组合。（分数：2.00）_26.设 i =(a i1 ,a i2 ,，a in ) T (i=1，2，r；rn)是 n维实向量，
11、且 1 ， 2 ， r 线性无关。已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_27.设 4维向量组 1 =(1+a，1，1，1) T , 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+) T ，问 为何值时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。（分数：2.00）_28.已知向量组(I) 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，如果各向量组的秩
12、分别为 r(I)=r()=3，r()=4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 一 4 的秩为 4。（分数：2.00）_29.设 A是 n阶矩阵，A 2 =E，证明：r(A+E)+r(AE)=n。（分数：2.00）_30.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，-4) T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出且表达式不唯一，求 t及 的表达式。（分数：2.00）_31.设 1 =(1，1，1) T ，求 2 ， 3 ，使 1 ， 2 ， 3 相互正交。（分数：2.00）_32.已知 1 =(1，1，0，2)
13、T ， 2 =(一 1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(一 1，5，一 3，a+6) T ，=(1，0，2，b) T ，问 a，b 取何值时，(1) 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表（分数：2.00）_33.已知有两个向量组：(I)： 1 =(0，1，一 1) T ， 2 =(a，2，1) T ， 3 =(b，1，0) T ； ()： 1 =(1，2，一 3) T ， 2 =(3，0，1) T ， 3 =(9，6，一 7) T 已知(I)与()有相同的秩，（分数：2.00）_34.设 3阶行列式 A与 3维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2 x线性
14、无关，且满足： A 3 x=3Ax一 2A 2 x (1)记 P=(x，Ax，A 2 x)，求 3阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ； (2)计算行列式|A+E|。（分数：2.00）_35.设 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 n维列向量，如果 A 1 = 1 0，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关。（分数：2.00）_36.设向量组 1 = (1，1，1，3) T ， 2 = (一 1，一 3，5，1) T ， 3 = (3，2，一 1，p+2) T ， 4 =(一 2，一 6，10，p) T 。 (1)p 为何值时，该向量组
15、线性无关?并在此时将向量=(4，1，6，10) 10 用 1 ， 2（分数：2.00）_37.求解齐次线性方程组 （分数：2.00）_38.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_39.当 k为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_40.设线性方程组为 （分数：2.00）_经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷 2答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：40，分数：74.00)1.单项选择题_解析：2.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出，但不能由向量组(1)： 1 ， 2 ， m-1 线性表出，记向量组(2)为： 1 ， 2 ，
16、m-1 ，则下列说法正确的是( )。（分数：2.00）A. m 不能由(1)线性表出，也不能由(2)线性表出B. m 不能由(1)线性表出，但可由(2)线性表出 C. m 可由(1)线性表出，也可由(2)线性表出D. m 不能由(1)线性表出，也不能由(2)线性表出解析：3.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则下列结论中正确的是( )。（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无关 D. 1 +
17、 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关解析：4.设向量组 I： 1 ， 2 ， r 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，则( )。（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组 I必线性相关D.当 rs 时，向量组 I必线性相关 解析：5.已知 （分数：2.00）A.a=b0B.ab，且 a+2b=0 C.a+2b0D.ab，且 a+2b0解析：6.设向量 = 1 + 2 + s (s1)，而 1 = 一 1 ， 2 =- 2 ， s = s ，则( )。（分数：2.00）A.r( 1 ， 2 ， s
18、 )=r( 1 ， 2 ， s ) B.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )C.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )D.不能确定 r( 1 ， 2 ， s )，r( 1 ， 2 ， s )的大小关系解析：7.设 1 ， 2 ， s 均为 n维向量，下列结论不正确的是( )。（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s ，线性相关，则对于任意一组不全为 0的实数 k 1 ，k 2 ，k s ，有k 1 1 +k 2
19、 2 +k s s =0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：8.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )。（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 一 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 -5 3解析：9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3
20、线性表示，而向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示则对于任意常数 k，必有( )。（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关解析：10.设 n维列向量组(1) 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n维列向量组(2)： 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为( )。（分数：2.00）A.向量组(1)可由向量组(2)线性表示B.向量组(2)可由向量组(1)线性表示C.向量组(1)与向量组(2)等
21、价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价 解析：11.填空题_解析：12.试完成下列向量的运算(1)(1，2，3，)+(2，3，一 2)= 1，(2)(10，2，6，)一(5，12，一 2)= 2。(3)3.(2，3，一 5，)= 3。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1)(1，2，3，)+(2，3，一 2)=(1+2，2+3，32)=(3，5，1) (2)(10，2，6，)一(5，12，一 2)=(10一 5，2 一 12，6 一(一 2)=(5，一 10，8) (3)3.(2，3，一 5，)=(32，33，3(一 5)=(6，9，一 15)）解析：13.
22、设 3阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 一 1）解析：14.已知 1 =(2，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：15.若 =(1，2，t) T 可由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(一 1，2，7) T ， 3 =(1，一 1，一 4) T 线性表出，则 t= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t=5）解析：16.已知 =(
23、3，5，7，9)，=(一 1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：17.设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：18.计算题_解析：19.设向量组(I)： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，-1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当
24、a为何值时，向量组(I)与向量组 ()等价?当 a为何值时，向量组(I)与向量组()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对( 1 ， 2 ， 3 : 1 ， 2 ， 3 )作初等行变换，有 (1)当a一 1时，行列式| 1 ， 2 ， 3 |=a+10， 由克莱姆法则，知三个线性方程组 x 1 1 + 2 x 2 +x 3 3 = i (i=1，2，3)均有唯一解，所以 1 ， 2 ， 3 可由向量组(I)线性表出。 由于行列式 由克莱姆法则，知三个线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = i (j=1，2，3)均有唯一解，即 a一 1时，向量组(I)与向量组()等
25、价。 (2)当 a=一 1时，有 )解析：20.设 i =(a i1 ,a i2 ,，a in )T(i=1，2，r；rn)是 n维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在一组数 k 1 ，k 2 ，k r ，l 使得向量组 1 ， 2 ， r ， 满足 k 1 1 +k 2 2 +k r r +l=0 因为 为方程组的非零解，所以有 )解析：21.求向量组 1 =(1，1，4，2) T ， 2 =(1，一 1，一 2，4) T ， 3 =(一 3，2，3，一 11) T ， 4 =(1
26、，3，10，0) T ，的个极大线性无关组。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有 )解析：22.设 A，B 都是 mn矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的列向量中 i1 , i2 ， ir 是其一个极大线性无关组， j1 ， j2 ， jt 是 B的列向量的一个极大线性无关组那么，A 的每一个列向量均可以由 i1 , i2 ， ir ，线性表出，B 的每一个列向量均能用 j1 ， j2 ， jt 线性表出于是 A+B的每一个列向量 k + k 都能用 i1 , i2 ， ir ， j1 ，
27、 j2 ,， jt 线性表出因此，A+B 列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组 i1 , i2 ， ij j1 ， j2 ， jt 中向量个数，即 r(A+B)r+t=r(A)+r(B)。)解析：23.已知向量组 1 =(一 2，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 线性无关，试求该向量组的规范正交向量组。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先将其正交化，有 1 = 1 =(一 2，1，0) T 再单位化，有： )解析：24.确定常数 a，使向量组 1 =(1，1，a)， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ，
28、2 =(一 2，a，4) T ， 3 =(一 2，a，a) T 线性表出，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 ，线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，而向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性 表出，故必有 r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )于是 r( 1 ， 2 ， 3 )3，故| 1 ， 2 ， 3 |= =-(a一 1) 2 (a+2)=0解出 a=1或 a=一 2。 而( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：25.设 1 =(1，1，1)
29、， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，3，t)， (1)问 t为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关。 (2)问 t为何值时，向量组 1 , 2 线性无关。 (3)当线性相关时，将 3 表示为 2 ， 3 的线性组合。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0，则可以得到方程组 此其次方程组的系数行列式 (1)当 t=5时，方程组有非零解，此时 1 ， 2 ， 3 线性相关。 (2)当 t5 时，方程组仅有零解，此时 1 ， 2 ， 3 线性无关。 (3)当 t=5时，则 3 =(1，3，5)
30、设 3 =x 1 1 +x 2 2 。 则解方程 )解析：26.设 i =(a i1 ,a i2 ,，a in ) T (i=1，2，r；rn)是 n维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关。已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k 1 1 +k 2 2 +k r r +l=0(*) 因为 为方程组的非 0解，有 )解析：27.设 4维向量组 1 =(1+a，1，1，1) T , 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+) T ，问 为何值时， 1 ， 2 ， 3
31、， 4 线性相关?当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，有 若 a=0，则秩 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=1， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关,极大线性无关组为 1 ，且 2 =2 1 ， 3 =3 1 ， 4 =4 1 。 若 a0，则有 )解析：28.已知向量组(I) 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，如果各向量组的秩分别为 r(I)=r()=3，r()=
32、4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 一 4 的秩为 4。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 1 ， 2 ， 3 , 5 一 4 的秩为 4，只要证明 1 ， 2 ， 3 ， 5 一 4 线性无关即可。 因为 r(I)=r()=3，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，故存在数 1 ， 2 ， 3 ，使 4 = 1 1 + 2 2 + 3 3 设存在一组数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 ( 5 一 4 )=0 将 4 = 1 1 + 2 2 + 3 3 代入上式有：(k
33、1 1 k 4 ) 1 +(k 2 - 2 k 4 ) 2 +(k 3 - 3 k 4 ) 3 +k 4 5 =0 由 r()=4，可知 )解析：29.设 A是 n阶矩阵，A 2 =E，证明：r(A+E)+r(AE)=n。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =E，得到 A 2 一 E=0，即(AE)(A+E)=0。故 r(A+E)+r(AE)n 又因为r(A+E)+r(AE)=r(A+E)+r(E-A) r(A+E)+(E-A)=r(2E)=r(E)=n 综上，r(A+E)+r(A-E)=n。)解析：30.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，-4) T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出且表达式不唯一，求 t及 的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正
