1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 10 及答案与解析单项选择题1 设|A|为 4 阶行列式， i(i=1，2，3，4)为其列向量，则下列行列式与 2|A|等值的是( )（A）| 4， 3， 2， 1|+|3， 4， 1， 2|（B） |21， 2， 3， 3（C） |1， 2， 3， 4|+|1， 4， 3， 2|（D）| 1， 2， 3+1， 4|2 设 D= ，A ij 为 D 中元素 aij 的代数余子式，则 A13+2A23+3A33=( )3 已知 A 为 3 阶矩阵，且|A|=2，则|2(A *)1 +(A*)*|=( )（A）6（B） 6（C） 54（D）5
2、44 设 A 为 n 阶可逆方阵，k 为非零常数，则有( )（A）(kA) 1 =kA1（B） (kA)T=k(A)T（C） |kA|=k|A|（D）(kA) *=kA*5 若 n 阶矩阵 A 满足方程 A22A+E=O ，则下列结论不正确的是( )（A）A 非奇异（B） A2E 非奇异（C） A+E 非奇异（D）A=E6 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )7 设 A 为 4 阶方阵，且|A|=0，则( )（A）A 中至少有两个行(列)向量线性相关（B） A 中任意一行(列)向
3、量都可以表为其余向量的线性组合（C） A 必有一行(列)向量可以表为其余向量的线性组合（D）A 的行(列) 向量组不存在部分无关向量组8 设 1=(1，1 ，2) T， 2=(2，1，1) T， 3=(0，a，6) T，若向量组 1， 2， 3 的秩为 2，则 a=( )（A）2（B） 1（C） 1（D）29 设 1， 2， ， s 与 1， 2， t 是 n 维列向量组，秩分别为 r1，r 2，于是( )（A）若 1， 2， s 可以被 1， 2， t 线性表示，则 st（B）若 1， 2， s 可以被 1， 2， t 线性表示，则 st（C）若 1， 2， s 可以被 1， 2， t 线性
4、表示，则 r1r2（D）若 1， 2， s 可以被 1， 2， t 线性表示，则 r1r210 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=r，若齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则有( )（A）mn（B） mn（C） mr（D）rn11 设 A 为 n(n2) 阶矩阵， A*为 A 的伴随矩阵，则方程组 A*x=0 的基础解系含无关解的个数不可能是( ) （A）n（B） n1（C） 1（D）012 设 A= ， 是 2 维非零列向量，若 r =r(A)，则线性方程组( )（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C） =0 仅有零解（D） =0 必有非零解13 设 A 为 mn 矩阵
5、，r(A)n，P 为 m 阶可逆矩阵，则( )（A）PAx=0 与 Ax=0 的解之间没有关联（B） PAx=0 的解一定是 Ax=0 的解，但反之不然（C） Ax=0 的解一定是 PAx=0 的解，但反之不然（D）PAx=0 与 Ax=0 为同解方程组计算题14 计算行列式15 已知方程 =0 有二重根，求满足条件的常数 a 及方程的根16 设 A，B 为 n 阶矩阵，满足 ATA=BTB=E，且|A|+|B|=0，计算|A+B|17 已知 =(1，2，3) ，=(1，12，13)，A= TB，若 A 满足方程A32A 2A=O，求解 的取值18 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P
6、 的转置矩阵，且 PTAP= ，若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2 3， 3)，求 QTAQ19 设分块矩阵 X= ，其中 A1，A 2 为 nn 的可逆矩阵， 1， 2 为n1 的矩阵， 1， 2 为 1n 的矩阵，k 为实数，求 k 的值19 设 A=(1， 2， 3)， 1， 2， 3 为 A 的各列元素构成的子块20 求 B=ATA；21 若 r(B)=3，求 r(A)22 设向量组 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T， 3=(2，1，1) T， 4=(0，1，1) T，试求其中的一个部分向量组，使得该部分向量组与原向量组为等价向量组，且向量个数最少满足条件的
7、向量组是否唯一?23 设向量组 1=(，1，1) T， 2=(1， ，1) T， 3=(1，1，) T，=(1，1，1) T，则 为何值时向量 可以被向量组 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一，并给出线性表达式24 设向量组 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，判断向量组 ， 1， 2， 3 的线性相关性25 求线性方程组 的一个基础解系，并用基础解系表示方程组的通解26 设矩阵 若 3 阶矩阵 BO，满足 AB=O，求满足条件的常数 t及 B经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 10 答案与解析单项选择题1 【正
8、确答案】 A【试题解析】 通过两列之间对换，将选项中行列式各列排列的顺序恢复到原行列式的结构形式选项 A，| 4， 3， 2， 1|需要对换的次数等于其列标排列的逆序数，即 (4321)=6(次) ，因此，由行列式对换行(列)位置，行列式变号的性质，有 |4， 3， 2， 1|=(1) (4321)|A|=|A|， 类似地，| 3， 4， 1， 2|=(1) (3412)|A|=|A|，| 4， 3， 2， 1|+|3， 4， 1， 2|=2|A|，故选 A 选项 B，式中有两列相同，故|2 1， 2， 3， 3|=0 选项C，| 1， 2， 3， 4|+|1， 4， 3， 2|=|1， 2，
9、 3， 4|+(1) (1432)|1， 2， 3， 4|=|A|A|=0 选项D，| 1， 2， 3+1， 4|=|1， 2， 3， 4|+|1， 2， 1， 4|=|1， 2， 3， 4|=|A|【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，本题计算的是行列式中第三列代数余子式的代数和，其值等于将组合系数 1，2，3 分别置换行列式中的第三列元素 a13，a 23，a 33 得到的行列式，即 A13+2A23+3A33 故选 C类似地，选项A， =A31+2A32+3A33 =A312A 32+3A33=A132A 23+3A33求行列式某行(列 )的代数余子式的代数和
10、的定值问题是常见题型，一般地，一个 n 阶行列式的第 k 行(列)的代数余子式的代数和a1Ak1+a2Ak2+anAkn(b1A1k+b2A2k+bnAnk)等于将线性组合系数a1，a 2，a 2(b1，b 2，b n)置换第 k 行(列)对应位置上的元素后得到的行列式【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由|A|=2 知 A 可逆，且 A*|A|A1 =2A 1 ，从而有 (A *)1 =(2A 1 )1 =12A，(A *)*=|A*|(A*)1 =|A|31 (12A)=2A ， 因此得 |2(1 2A)+(2A)|3A|=(3) 3(2)=54， 故选 C【知识模块】
11、 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，由 kA=(kaij)，(kA) T=(kaij)T=(kaji)=k(aji)=kAT，正确，故选B 选项 A，由 kA1 kA=k2A1 =k2E，知(kA) 1 kA1 正确的结论是(kA)1 =k1 A1 选项 C，由|kA|=I(ka ij)I=kn|A|，知|kA|k|A| 选项 D，由伴随矩阵的性质，应有 kA(kA)*=|kA|E=kn|A|E，但若(kA) *=kA*成立，则有 kA(kA)*=kAkA*=k2AA*=k2|A|E，显然不等于 kn|A|E，正确的结论是 (kA)*=kn1 A*【知识模块】 线性代数5 【
12、正确答案】 D【试题解析】 将矩阵方程整理为 A(2EA)=E，两边取行列式 |A|2EA|=|E|=10， 从而有|A|0，2EA0，知 A，A 2E 非奇异类似地，将矩阵方程整理为 (A+E)(A3E)=4E， 两边取行列式 |A+E|A3E|=| 4E|=(4) n0， 从而有|A+E|0， |A3E|0，知 A+E，A 3E 非奇异 综上，知选项 A，B，C 均正确由排除法，故选 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 依题设，AE(1，2)=B，BE(23(1)=C，即有 AE(1，2)E(23(1)=C，记 Q=E(1，2)E(23(1) 由于初等矩阵可逆，因此，
13、Q 可逆，且 AQ=C，故选 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，|A|=0，表示其行(列)向量组线性相关，其充分必要条件是必有一行(列)向量可以表为其余向量的线性组合，故选 C 选项 A 和 D，4 阶矩阵中所有向量两两线性无关仍然可能整个向量组线性相关，如取列向量组 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，1，1，0)T， 4=(0，0， 1，1) T， 它们两两线性无关，但 1， 2， 3， 4 线性相关，且|1， 2， 3， 4|=0 选项 B，A 中任意一行(列)向量都可以表为其余向量的线性组合是其向量组线性相关的充分而非
14、必要条件【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 若向量组 1， 2， 3 的秩为 2，则| 1， 2， 3|=3a6=0，解得 a=2故选 A【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 选项 C，D，不妨设 1， 2， ； 1， 2， 分别为1， 2， s 与 1， 2， t 的最大无关组，若 1， 2， s 可以被1， 2， t 线性表示，也即 1， 2， 可以被 1， 2， 线性表示，则 r1r2，若不然，个数多的向量组 1， 2， 可被个数少的向量组1， 2， 线性表示，必线性相关，与 1， 2， 是最大无关组矛盾，C不正确故选 D选项 A，B， 1， 2，
15、s 与 1， 2， t 之间能否线性表示与向量个数无关【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是 r(A)n，故选 D选项 A，m n，表示方程组 Ax=0 的方程个数大于未知量的个数，与该方程组解的状态没有直接关系选项 B，mn 表示方程组 Ax=0 的方程个数小于未知量的个数，必定含有自由未知量，因此，该方程组必有非零解但该方程组有非零解未必方程个数小于未知量的个数选项 C，mr ，表示方程组 Ax=0 含有多余方程，在消元过程中必定会被消去，与该方程组解的状态没有直接关系【知识模块】 线性代数11 【正确答案】
16、C【试题解析】 对于 n 阶矩阵 A，当 r(A)=n 时，r(A *)=n；当 r(A)=n1 时，r(A *)=1；当 r(A)n1 时，r(A *)=0即 r(A*)所有可能取值为 0，1，n，故齐次线性方程组 A*x=0 的基础解系所含无关解的个数为 0，n1 和 n故选 C【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，依题设，r =r(A)3，知方程组 =0 必有非零解，故选 D同时知选项 C 不正确选项 A，B，依题设，r =r(A)，又 A和(A ， )分别是 (A，)和 的子块，于是有 r(A)r(A，)r =r(A)，即有 r(A，)=r(A)因此，非齐
17、次方程组 Ax= 有解，但不能确定 Ax=0 是否有非零解，故无法确定 Ax= 解的个数，所以选项 A，B 不正确【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 关键在于两方程组非零解之间的关系，若 是方程组 Ax=0 的非零解，即有 A=0，也必有 PA=0，因此， 也必定是方程组 PAx=0 的解反之，若 是方程组 PAx=0 的非零解，即有 PA=0，因为 P 为可逆矩阵，也必有A=0，因此， 也必定是方程组 Ax=0 的解从而知 PAx=0 与 Ax=0 为同解方程组，综上，知选项 A，B，C 均不正确，故选 D【知识模块】 线性代数计算题14 【正确答案】 解法 1=x2y
18、2解法 2=x(y 2+xy2)，所以原行列式=x 2y2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 =(2)(26+5+a 2)=0，知方程至少有一实根 =2于是，若 =2 为二重根，则将 =2 代入 26+5+a 2=0 应有 a2=3，得 a= 此时另一根为 =4若不然，则26+5+a 2=0 有两个相等实根，由 =0 有 a2=4，得 a=2此时，方程有二重根=3，单重根 =2综上，当 a= 时，方程有二重根 =2，单重根 =4；当 a=2时，方程有二重根 =3，单重根 =2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由于 ATA=BTB=E，也有 AAT=E，|A TA|=|A|2=1，
19、得|A|=1，同理，有|B|=1 又因|A|+|B|=0，知|A| ，|B| 异号，不妨设 |A|=1，|B|= 1，从而有 |A+B|=|ABTB+AATB|=|A|BT+AT|B| =|(A+B) T|=|A+B|， 即有等式 2|A+B|=0，因此得 |A+B|=0 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 对于非零行向量 =(1，2，3)，=(1，12，13)，根据矩阵乘法定义，A= T 而 T=3，于是，利用矩阵乘法的结合律，对于正整数 k，有 Ak =(T)k1 T=3k1 A，从而有 A3=32A，A 2=3A，因此得方程 9A6A 2A=(96 2)A=O，由于 AO，因此，必
20、有 96 2=0，解得 =33 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 Q=(1+2， 2 3， 3) 于是有 QTAQ【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 依题设知，XX 1 =E，即由得 k=1 12，由得 2=kA 11 1，所以 k=1+k1A11 1，从而得k=1(1 1A11 1)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 B=A TA【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 若 r(B)=3，则 B 为满秩矩阵，即有 |B|=|A TA|=|AT|A|=|A|20， 从而知|A|0，因此 r(A)=3【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 解法 1
21、 从一个无关部分组出发，逐步添加向量显然，向量1， 2 不成比例，为无关部分组，于是，从 1， 2 出发，逐个添加向量，由|1， 2， 3|= =0， |1， 2， 4|= =0。知向量组 1， 2， 3 和1， 2， 4 线性相关，即该无关部分组不能再扩展，而且可以将向量组1， 2， 3， 4 线性表示，即 1， 2 为满足条件的部分向量组容易验证，原向量组的任意两个向量组成的部分组均满足条件，从而知，满足条件的部分向量组不唯一它们共同的特点是都是无关部分组，均与原向量组等价，故相互等价，而且向量个数相同解法 2 用初等变换由( 1， 2， 3， 4)知 r(1， 2， 3， 4)=2，因此
22、，满足条件的部分无关组即最大无关组，由其中任意两个无关向量构成，也即向量组 1， 2，或1， 3，或 1， 4，或 2， 3，或 2， 4，或 3， 4，不唯一【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由题设，知 1， 2， 3 线性无关，即D=|1， 2， 3|= =(1) 2(+2)O，即 1 且 2求解向量方程k11+k22+k33= 对应线性方程组，因=(1)2，由克拉默法则得 k1=k2=k3= ，因此，= (1+倪 2+3)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设一组数 k0，k 1，k 2，k 3，使得 k 0+k11+k22+k33=0， 左乘系数矩阵 A，由于 i(i=1
23、，2，3)为方程组 Ax=0 的解，有 Ai=0(i=1，2，3)， 不是方程组 Ax=0 的解，有 A0，于是有 k 0A+k1A1+k2A2+k3A3=k0A=0， 得 k0=0，从而有 k 11+k22+k33=0， 又因为 1， 2， 3 为 Ax=0 的基础解系，必线性无关，必有 k1=k2=k3=0 综上讨论，向量组 ， 1， 2， 3 线性无关【试题解析】 此题线性相关性的讨论涉及方程组解的性质一般而言，如果1， 2， nr 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系， 是非齐次方程组 Ax=b的一个特解，则利用本题方法可以证明向量组 ， +1，+ 2，+ nr 必线性无关结果表明，
24、若 n 元非齐次方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r(n) ，则方程组Ax=b 共有 nr+1 个无关解向量【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换化简为阶梯形矩阵：得原方程组的同解方程组自由未知量为 x2，x 5，分别取 x2=1，x 5=0 和 x2=0，x 5=1，得一个基础解系： 1=(1，1，0，0，0) T， 2=(1，0，1，0，1) T，所以方程组的通解为 x=C1(1，1，0，0，0) T+C2(1，0，1，0，1) T，C 1，C 2 为任意常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 B=(1， 2， 3)，由 AB=O，即有 Aj=0(j=1，2，3)，知 B 的列向量组由方程组 Ax=0 的解构成由于 BO，因此，Ax=0 有非零解，从而得一个基础解系(2， 1，1) T，因此，矩阵 B 可表为 其中 a，b，c 为任意不全为零的常数【知识模块】 线性代数
