1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 11 及答案与解析单项选择题1 若 D= =d0，则 D1= =( )（A）d（B） 2d（C） 4d（D）8d2 若 n 阶行列式 Dn= 0，则 n 为( )（A）任意正整数（B）奇数（C）偶数（D）4k1 或 4k2，k=1，2，3 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2 ，|A 1 B|=2，则|AB 1 |=( )（A）3（B） 2（C） 2（D）34 设 j 与 j 分别是 n 阶矩阵 A 的第 j 行元素构成的行向量和第 j 列元素构成的列向量，e j 是 n 阶单位矩阵 E 的第 j 列元素构成的列向量，则
2、( ) （A）Ae i=j（B） eja=j（C） Aej=j（D）e jA=j5 设 A 为 n 阶矩阵，且满足 4(AE) 2=(A+2E)2，则矩阵 A，A E，A2E，A 3E中必定可逆的矩阵个数为( )（A）4（B） 3（C） 2（D）16 E2017(1，2) E2018(2，3)=( )7 设 1， 2， 3 为同维向量，则下列结论不正确的是( )（A） 1， 2， 3 中任何一个向量均可被向量组 1， 2， 3 线性表示（B）若存在一组数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0，则 1， 2， 3 必线性相关（C）若 1=22，则 1， 2， 3 必线性相关（D
3、）若 1， 2， 3 中有一个零向量，则 1， 2， 3 必线性相关8 设 1=(1，2 ，1，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T，若 1， 2， 3 的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则 a=( )（A）2（B） 3（C） 6（D）89 设 1， 2， 3， 均为 4 维向量，则下列结论正确的是( )（A）若 不能被向量组 1， 2， 3 线性表示，则 1， 2， 3， 必线性无关（B）若向量组 1， 2， 3， 线性相关，则 可以被向量组 1， 2， 3 线性表示（C） 可以被向量组 1， 2， 3 的部分向量组线性表示，则可以被 1， 2， 3 线性
4、表示（D） 可以被向量组 1， 2， 3 线性表示，则 可以被其任何一个部分向量组线性表示10 设四元齐次线性方程组 若该方程组仅有零解，则 ( )（A）1（B） 1（C） 1（D）可取任意实数11 设 A 为 n(n2) 阶矩阵， A*为 A 的伴随矩阵，若 r(A*)=1，则方程组 Ax=0 的基础解系含无关解的个数是( )（A）n（B） n1（C） 1（D）012 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若使齐次方程组 ABx=0 必有非零解，则( )（A）nm（B） nm（C） n=m（D）m，n 大小关系不确定13 设方程组() () 3x 1+3x25x 3=0，若两个方程组有
5、公共非零解，则 a=( )（A）2（B） 1（C） 1（D）2计算题14 计算行列式 Dn=15 设 n 维向量 =(12，0，0，12)，矩阵 A=E T，C=E+2 T，计算|AC|16 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足方程 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，求|B|17 设 T= ，=(3 ，2，1)，A= T，计算 Am(m 为正整数，且 m3)18 已知矩阵 A= ，且矩阵 X 满足 AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位矩阵，求 X19 设 A=BTCB求 A20019 设向量组 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，问：20
6、 1 能否被 2， 3 线性表示，证明你的结论；21 4 能否被 1， 2， 3 线性表示，证明你的结论22 求向量组 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T， 3=(0，1，1) T 的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示23 1= ，讨论 a 为何值时，(1) 不能被1， 2， 3 线性表示；(2) 可以被 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一；(3) 可以被 1， 2， 3 线性表示，且表达式不唯一24 设 A= ，求解线性方程组 Ax=b25 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3
7、=(0，1，2，3) T，试求线性方程组 Ax=b 的通解26 已知二次三项式 f(x)满足 f(1)=1，f( 1)=8，f(2)=3，求此二次三项式 f(x)经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 11 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 在已知 D=|aij|=d 的条件下，通过行列式性质将 D1 还原为原行列式，即有 D1 故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由行列式定义，该行列式非零项为副对角线元素的乘积，即有 Dn=(1) (n(n1)321) =(1) n(n1)2 ，若 Dn0，则应有12n(n1) 为奇数，即 n=
8、4k1 或 4k2，k=1 ，2，故选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵与行列式的关系，有|A 1 B|=|A 1 (EAB)|=|A1 |EAB|=2，|E AB|=2|A|=6，从而有|A B 1 |=|ABE|B 1 |=(1)3|EAB|B 1|=6 =3故选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，依题设，A =(1， 2， n)，E=(e 1，e 2，e n)，于是有 A=AE=A(e1，e 2， ，e n)=(Ae1，Ae 2， Aen)，即有Aej=j(j=1，2，n) ，故选 C选项 A，由 Amn(ej)n1 知是
9、 n1 的矩阵，而 j是 1n 的矩阵，显然两者不相等选项 B，D，e j 是 n1 的矩阵，A 是 nn 的矩阵，两者不能相乘【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 将方程展开并整理为 A24A=O，从而有 A(A4E)=O，推得 |A|A 4E|=0 同理，有(AE)(A 3E)=3E ，推得|AE|A 3E|0； (A2E)2=4E，推得|A2E|0 可以确定|AE|0，|A2E|0，|A3E|0 ，即矩阵AE，A2E，A3E 必定可 逆，但无法判断矩阵 A 是否可逆，故选 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Em(i，j) 因此有故选 B【知
10、识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，根据向量组线性相关的概念，只有在 k1，k 2，k 3 不全为零的情况下，满足 k11+k22+k33=0，才能确定 1， 2， 3 线性相关，所以该选项不正确，故应选 B 选项 A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量 i(i=1，2，3)，不妨取 1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得 1=1 1+0 2+0 3 选项 C，由条件可知，存在一组不全为零的数 1，2，0，使得 12 2+0 3=0，因此 1， 2， 3 线性相关 选项 D，不妨取 1=0，于是存在一组不全为零的数 1，0，0，使得
11、1 1+0 2+0 3=0因此 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 根据题设，该向量组的秩为 2，于是解法 1 用初等变换即由 (1， 2， 3)T 知当 a=6 时，1， 2， 3 的最大无关组由两个线性无关的向量组成故选 C解法 2 用行列式由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个 3 阶子式为零，故故当 a=6 时， 1， 2， 3 的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C， 可以被向量组 1， 2， 3 的部分向量组线性表示，则必定可被整个向量组 1， 2， 3 线性表示，故
12、选 C 选项 A， 1， 2， 3 可能是线性相关向量组，因此， 1， 2， 3， 可能线性相关 选项 B，向量组1， 2， 3， 线性相关，则其中必定有向量可以被其余向量线性表示，但这个向量未必是 选项 D， 可以被向量组 1， 2， 3 线性表示，但未必可以被其任何一个部分向量组线性表示如向量 =(1，1，1，0)可以被 1=(1，0，0，0) ，2=(0，1，0，0)， 3=(0，0，1，0)线性表示，但不能被其中任意两个向量线性表示【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 方程组的系数矩阵为=1 4，又方程组仅有零解，从而知，1故选 C【知识模块】 线性代数11 【正确
13、答案】 C【试题解析】 根据 n 阶矩阵 A 的秩与其伴随矩阵 A*的秩的关系，当 r(A*)=1 时，r(A)=n1因此，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含无关解的个数为 nr(A)=1，故选 C【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，齐次方程组 ABx=0 必有非零解，即必须有 r(AB)m又由 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n ，知只有 nm，才能确保 r(AB)m 成立，故选 B 同时也否定了选项 D 的正确性选项 A，若 nm，则 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n=m，不能确保 r(AB)m 成立选项 C，类似地，n=m
14、不能确保 r(AB)m 成立【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 两个方程组有公共非零解，即两个方程组的联立方程组有非零解，于是有 解得a= 2，故选 D【知识模块】 线性代数计算题14 【正确答案】 构造 n+1 阶加边行列式，有【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由题设， T解法 1 由 AC=(E T)(E+2T)=E+T2 T(T)=E，所以，|AC|=|E|=1解法 2 将行列式|A|按第一行展开，得|A|=|E T| 类似地，有|C|=|E+2 T| 因此得|AC|=|A|C|=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 在方程两边右乘 A，得 ABA*A
15、=2BA*A+A，由 A*A=|A|E 及|A|=3，方程简化为 3AB=6B+A，因式分解化为(3A6E)B=A，再两边取行列式，有|3A6E|B|=|A|=3 ，于是由 |3A6E|= =27，得|B|=3 |3A6E|=19【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A= T于是，由矩阵乘法的结合律，有 Am =3m1 T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 将方程整理，有 AX(AB)=BX(AB)+E，得(A B)X(AB)=E由于|AE|= =10，可知 AB 可逆，因此 X=(AB) 1 (AB)1 ，其中，由 得(AB) 1故 X=(AB) 1 (AB) 1【知识模块】 线性
16、代数19 【正确答案】 注意到 B，C 均为初等矩阵，且 B=E(2，3)，C=E(13( 2) ，故有BT=B 1=B，B 2=E，C m=E(13(2m) ，因此 A200【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1 可以被 2， 3 线性表示证明如下： 因为 2， 3， 4 线性无关，其部分组 2， 3 也线性无关，又 1， 2， 3 线性相关，于是，1 可以被 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 4 不能被 1， 2， 3 线性表示证明如下： 用反证法假设 4可以被 1， 2， 3 线性表示，即存在数 k1，k 2，k 3，使得 4=k11
17、+k22+k33， 由(1)， 1 可以被 2， 3 线性表示，知 4 可以被 2， 3 线性表示，即 2， 3， 4 线性相关，与 已知条件矛盾故 4 不能被 1， 2， 3 线性表示【试题解析】 讨论向量组的线性关系，要准确把握线性相关概念的含义如 4 可以被 1， 2， 3 线性表示，即可写出 1， 2， 3 线性表达式，在 1 可以被 2， 3线性表示的条件下，可推得 4 可以被 2， 3 线性表示，即 2， 3， 4 线性相关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 解法 1 由( 1， 2， 3)T知 1， 2 为其一个最大无关组，且3=1 2解法 2 设存在常数 k1，k 2，k
18、 3，使得 k11+k22+k33=0，于是，由(1， 2， 3) 知 1， 2 为其一个最大无关组，解得 3=1 2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设一组数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=，则有下面用两种解法求解解法 1 先求系数行列式，即(1)当 a=0 时，对增广矩阵施以初等行变换， 方程组无解，即 不能被 1， 2， 3 线性表示(2) 当 a0且 a1时，方程组有唯一解，即 可以被 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一(3)当 a=1 时，方程组有无穷多解，即可以被 1， 2， 3 线性表示，且表达式不唯一解法 2 直接由初等变换讨论，即(1)当 a
19、=0 时，方程组无解，即 不能被 1， 2， 3 线性表示(2)当 a0且 a1时，方程组有唯一解，即 可以被 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一(3)当 a=1 时， 方程组有无穷多解，即 可以被 1， 2， 3 线性表示，且表达式不唯一【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方程组的系数矩阵 A 对应的行列式是由元素 1，2，3，1 构造的范德蒙德行列式，则 =(11)(12)( 1+3)(3 1)(32)(2 1)=2400，故方程组有唯一解，由类似地，D 3=D4=0，因此，根据克拉默法则解得 x1=D1D=2 ，x 2=x3=x4=D4D=0故 x=(2，0，0，0) T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 依题设，r(A)=3，知方程组导出组的基础解系由一个无关解构成，即为原方程组两个特解的差，可利用线性方程组解的性质表示为 21( 2+3)=(2，3，4，5) T又 1=(1，2，3，4) T 为原方程组的一个特解，因此，Ax=b 的通解为 x=C(2 ， 3，4，5) T+(1，2，3，4) T，C 为任意常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设该二次三项式 f(x)=ax2+bx+c，从而有该方程组的系数行列式 知方程组有解且有唯一解由 解得a=16，b=72，c=143，因此，【知识模块】 线性代数
