1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 12 及答案与解析单项选择题1 下列行列式中等于零的是( )2 若 4 阶行列式 0，则( )（A）t1（B） 1t 1（C） t1 且为偶数（D）t 为任意实数3 A 为 mn 的矩阵， B 为 nm 的矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有行列式|AB|0（B）当 mn 时，必有行列式|AB|=0（C）当 mn 时，必有行列式|AB|0（D）当 mn 时，必有行列式|AB|=04 设 A= ，则 A20=( )（A）6 19A（B） 319A（C） 319A（D）6 19A5 设 A 为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A2=
2、O，则( )（A）E A，E+A 均不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA，E+A 均可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆6 设 3 阶矩阵 A= ，若 A 的秩为 2，则有( )（A）a=1 或 a=2（B） a=1（C） a=2（D）a1 且 a27 向量 1， 2， 3 互不相等是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件8 设 1= ，若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，则 t 必为( )（A）2（B） 5（C） 14（D）任意实数9 设两个列向量组 1， 2， 3； 1， 2，
3、 3 有以下关系式： ( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q， 其中 Q 是 33 的转换矩阵，则( )（A）向量组 1， 2， 3 可以被 1， 2， 3 线性表示（B）向量组 1， 2， 3 可以被 1， 2， 3 线性表示（C）向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 可以互相线性表示（D）两个向量组之间不存在线性关系10 设 1， 2， ， r 为齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，若同维向量组1， 2， s 也是该齐次方程组的一个基础解系，则应满足的条件是( )（A） 1， 2， s 与 1， 2， r 等价（B） r(1， 2， s)=r(1， 2， r)（C） 1， 2，
4、 s 与 1， 2， r 等价且 r(1， 2， s)=r(1， 2， r)（D） 1， 2， s 与 1， 2， r 等价且 s=r11 设 1=(a1，a 2，a 3)T， 2=(b1，b 2，b 3)T， 3=(c1， c2，c 3)T， 4=(d1，d 2，d 3)T，则三平面 a 1x+b1y+c1z=d1， a 2x+b2y+c2z=d2， a 3x+b3y+c3z=d3 相交于一条直线的充分必要条件是( ) （A）r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)（B） r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)=2（C） r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)=
5、3（D）r( 1， 2， 3)=2，且 1， 2， 3， 4 线性相关12 已知方程组 无解，则 a=( )（A）1（B） 1（C） 3（D）3计算题13 计算行列式 D2n=14 设 A，B 为 3 阶矩阵，满足方程 A2BAB=E，A= ，求|B| 15 设 1， 2， 3 为 3 维列向量，A=( 1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)，|A|=1 ，求|B| 16 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，E 为 n 阶单位矩阵，并设A=E T，B=E T，若 A 与 B 互逆，求满足条件的常数 a 的取值17 设 A= ， E 为 4 阶单位矩
6、阵，且 B=(E+A)1 (EA)，求矩阵(E+B)1 18 设 A 为 3 阶可逆矩阵，将 A 的第 1 行乘 2 加到第 2 行，然后再交换第 2，3 行位置，得到 B，求 AB1 19 设向量组 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T， 3=(0，1，1) T； 1=21+2+3， 2= 1+3， 3=1+2 3 若记 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，求|B|20 求 1=(2， 0，1，1) ， 2=(1，1，1，1)， 3=(1，1，0，0)，4=(0， 2， 1，1) 的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组表示20 设 1=(1， 1，0，0)
7、 T， 2=(0，1，1，0) T， 3=(0，0，1，1)T， 4=(1，0，0，0) T21 判断 1， 2， 3， 4 是否能构成所有 4 维向量组成的向量组的一个最大无关组；22 试求向量 =(1，2，0，1)T 在 1， 2， 3， 4 下的线性表达式23 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 和 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，3)T， 3=(3，4，a) T，若向量组 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，求 a 的值24 设 A= ，已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，求，a 25 已知方程组 有两个解
8、1=(2，13，23)T， 2=(13， 43，1) T，求解该方程组26 已知线性方程组 同解，求 a 的值经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 12 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，由 知选 C选项 A，【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 按第一行展开，有=1t 4从而知，当行列式大于零时，有1t1，故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AB 是 m 阶方阵，r(AB)minr(A)，r(B)minm，n可以判断，当 mn 时，r(AB)m，必有行列式|AB|=0 ，故选 B选项 A 错误
9、当 m n 时，r(AB)minr(A)，r(B)minm ，n=m，不能确定 AB 的秩是等于 m还是小于 m，因此，无法确定|AB|是否等于 0选项 C，D 错误【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 =143= 6，结合矩阵乘法的结合律，有故选 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由(EA)(E+A+A 2)=EA 2=E，知 EA ，E+A+A 2 互逆，即 EA可逆 又由(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E，知 E+A，EA+A 2 互逆，即 E+A 可逆 因此，E A，E+A 均可逆，故选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题
10、解析】 由 知若 A 的秩为 2，则a= 2，故选 C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 向量 1， 2， 3 互不相等，但仍然可以相互成比例，因此，未必线性无关反之，向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量 1， 2， 3 必须互不相等，所以向量 1， 2， 3 互不相等是向量组 1， 2， 3 线性无关的必要但非充分条件，故应选 B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 由于该向量组的个数已经大于维数，必线性相关，因此，与 t 的取值无关故选 D【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，若记 Q=(kij)33，则有 i=k11+
11、k22+k33(i=1，2，3)， 可知向量组 1， 2， 3 可以被 1， 2， 3 线性表示，故选 A 选项 B，C，若要向量组1， 2， 3 可以被 1， 2， 3 线性表示，则存在矩阵 P，使得 ( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)P， 这仅在 Q 可逆的条件下成立 选项 D，从以上讨论可知该结论显然不正确【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 依题设，r=nr(A) 判断一个向量组是否为方程组的基础解系，应具备三个条件：一是方程组的解，二是为线性无关向量组，三是个数为 nr(A) 选项 D 提供的条件中， 1， 2， s 与 1， 2， r 等价，说明1， 2，
12、 s 是方程组的解，且与 1， 2， r 的秩相等，s=r 又说明1， 2， s 是线性无关组，个数等于 nr(A)因此，可以确定1， 2， s 是该齐次方程组的一个基础解系，故选 D 选项A， 1， 2， s 与 1， 2， r 等价，即两向量组可以互相表示，说明1， 2， s 也是方程组的解，且两向量组秩相等，但向量组等价并不能说明1， 2， s 的线性无关性和向量个数 选项 B，仅由 r(1， 2， s)=r(1， 2， r)，并不能说明 1， 2， s 是方程组的解，也不能说明1， 2， s 的线性无关性 类似地，选项 C 不能确定 1， 2， s 的线性无关性和向量个数【知识模块】
13、线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，三平面相交于一条直线，等价于由三平面方程联立的方程组 有无穷多解，且通解表达式为空间直线方程 =0+C1，其中 0 为方程组的一个特解， 1 为导出组的一个基础解系，由此知r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)=2，故选 B选项 A，由 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)知 4 可以被 1， 2， 3 线性表示，即平面之间有交点，但不能具体确定交点集的特征选项 C，由 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)=3 知方程组有唯一解，即平面相交于一点选项 D，由 1， 2， 3， 4 线性相关及 r(1， 2，
14、 3)=2，不能说明 4 可以被 1， 2， 3 线性表示，即方程组不一定有解，也即平面未必有公共交点【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵，有选项 A，当a= 1 时，r(A)=2，r(A b)=3，方程组无解故选 A选项 B，D，当 a=1 或3时，r(A)=r(A b)=3，方程组有唯一解选项 C，当 a=3 时，r(A)=r(A b)=2，方程组有无穷多解【知识模块】 线性代数计算题13 【正确答案】 记 按第一行展开，进而得递推公式=a2D2n2 +(1) 2n+1+2nb2D2n2 =(a2b 2)D2n2 ，逐次递推，因此
15、得 D2n=(a2b 2)2D2n4 =(a2b 2)n【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 将 A2BAB=E 因式分解，即由(A 2E)B(A+E)=O，得(A+E)(A E)B=A+E(*)由|A+E|= 0，知 A+E 可逆，(*)式两边左乘(A+E) 1 ，得(A E)B=E，两边取行列式得|A E|B|=|E|=1 又由 |AE|= =2，从而有|B|=1|AE|=12【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)=(1， 2， 3)从而有 两边取行列式，得|B|=|A| =(32)(31)(21)=2【知识模块】 线性代数
16、16 【正确答案】 依题意，有 AB=E，且 T=2a2，即有 AB=(E T)(E T)=E T T+ TT=E T T+ (T)T=E T T+2aT=E+(1 +2a)T=E可知(1 +2a)T=O，因为TO，所以有1 +2a=0，解得 a=12 或 a=1，由于 a0，故 a=12【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 等式两边左乘 E+A，整理得 B+AB=EA，再整理为 A(E+B)=2E(E+B)，从而得(A+E)(E+B)=2E两边同时求逆，得(E+B) 1 (A+E)1 =1 2E，因此得(E+B) 1 =12(A+E)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 依题设，有
17、B=E(2，3)E(21(2)A，从而有 B1 =A1 E1 (21(2)E1 (2，3)=A 1 E(21(2)E(2，3)，因此，有 AB1 =AA1 E(21(2)E(2，3)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设可知 B=(1， 2， 3) 因此得=2(3)=6【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 解法 1 向量组按行向量排成矩阵，施以初等行变换由容易看到，r(1， 2， 3， 4)=2， 1， 3 是该向量组的一个最大无关组，并有2= 1+3， 4= 1+23同样可以验证， 2， 3 或 3， 4 也是该向量组的一个最大无关组解法 2 向量组按列向量排成矩阵，施以初等行
18、变换设方程组x11T+x22T+x33T+x44T=0，对系数矩阵 A 施以初等行变换由知 r(A)=2，同解方程组为解得一个基础解系 1=(1，1，1，0) T， 2=(1，0，2，1) T，因此有 2= 1+3， 4= 1+23，且 1， 3 是该向量组的一个最大无关组【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 1， 2， 3， 4 为列向量构成 4 阶方阵 A，且由知 1， 2， 3， 4 线性无关，若在向量组1， 2， 3， 4 中再任意添加一个向量，由于向量组所含向量个数已超过其维数，则必线性相关，因此 1， 2， 3， 4 是所有 4 维向量构成的向量组的一
19、个最大无关组【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=，即 Ax=，解得 x=A1 因此，=3 1 2 3+44【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)解法 1 由|A|= =10，知 r(1， 2， 3)=3，于是若要向量组 1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示，则必有 r(1， 2， 3)3，即|B|= =a5=0解得 a=5解法 2 对矩阵(B A)施以初等行变换： 由于1， 2， 3 不能被 1， 2， 3 线性表示，所以 r(B)r(B A)，故 r(B)3，所以a=5【知识模
20、块】 线性代数24 【正确答案】 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，即方程组有无穷多解，所以系数行列式|A|= =(1) 2(+1)=0，得 =1 或 =1当 =1 时，方程组的增广矩阵 知 r(A b)r(A)，方程组Ax=b 无解当 =1 时，方程组的增广矩阵由于已知方程组有解，知a=2综上讨论，=1，a= 2【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 记原方程组为 Ax=b，由题设，方程组 Ax=b 有两个解，知方程组必有无穷多解，则 r(A) 3又由 2 阶子式 0，知 r(A)2，从而知 r(A)=2，且导出组 Ax=0 的基础解系含一个无关解 1 2又 1 为原方程组的一个特解，因此方程组 Ax=b 的通解为 x=C1(1 2)+1=C(1， 1，1) T+(2，13，23) T，C 为任意常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 依题设，方程组()必为方程组()的解，容易解出方程组()的解：x 1=1+c，x 2=22c，x 3=c，代入()，得 对任意常数 c 成立，解得 a=3反之，当 a=3 时，对由两方程组的增广矩阵组成的分块矩阵施以初等行变换， 结果表明，在消元过程中行向量消为零，即方程组()的解也都是方程组()的解，因此，当 a=3 时，两方程组同解【知识模块】 线性代数
