1、2014 年四川省内江市中考 真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ) 1.(3 分 ) 的相反数是 ( ) A.- B. C. - D. 解 析 : 的相反数是 - , 答案: A. 2.(3 分 )一种微粒的半径是 0.00004 米,这个数据用科学记数法表示为 ( ) A.410 6 B. 410 -6 C. 410 -5 D. 410 5 解 析 : 0.00004=410 -5, 答案: C. 3.(3 分 )下列调查中, 调查本班同学的视力; 调查一批节能灯管的使用寿命; 为保证“ 神舟 9
2、号 ” 的成功发射,对其零部件进行检查; 对乘坐某班次客车的乘客进行安检 .其中适合采用抽样调查的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 : 适合普查,故 不适合抽样调查; 调查具有破坏性,适合抽样调查,故 符合题意; 调查要求准确性,适合普查,故 不适合抽样调查; 安检适合普查,故 不适合抽样调查; 答案: B. 4.(3 分 )如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的正视图应是 ( ) A. B. C. D. 解 析 :从正面看是一个上底在下的梯形 . 答案: D. 5.(3 分 )在函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x -2 且 x1 B. x2 且 x1 C. x1
3、 D. x -2 解 析 :由题意得, x+20 且 x-10 , 解得 x -2 且 x1. 答案: A. 6.(3 分 )某班数学兴趣小组 10 名同学的年龄情况如下表: 则这 10 名同学年龄的平均数和中位数分别是 ( ) A. 13.5, 13.5 B. 13.5, 13 C. 13, 13.5 D. 13, 14 解 析 :将各位同学的成绩从小到大排列为: 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 中位数是 =13.5,平均数是 =13.5. 答案: A. 7.(3 分 )如图, O 是 ABC 的外接圆, AOB=60 , AB=AC=2,则弦
4、 BC 的长为 ( ) A. B. 3 C. 2 D. 4 解 析 :如图,设 AO 与 BC 交于点 D. AOB=60 , , C= AOB=30 , 又 AB=AC , = ADBC , BD=CD , 在直角 ACD 中, CD=AC cos30=2 = , BC=2CD=2 . 答案: C. 8.(3 分 )按如图所示的程序计算,若开始输入的 n 值为 ,则最后输出的结果是 ( ) A. 14 B. 16 C. 8+5 D. 14+ 解 析 :当 n= 时, n(n+1)= ( +1)=2+ 15; 当 n=2+ 时, n(n+1)=(2+ )(3+ )=6+5 +2=8+5 15,
5、 则输出结果为 8+5 . 答案: C. 9.(3分 )若关于 x的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0有不相等实数根,则 k的取值范围是 ( ) A. k B. k C. k 且 k1 D. k 且 k1 解 析 : 关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相等实数根, =2 2-4(k-1) (-2) 0, 解得 k ;且 k-10 ,即 k1. 答案: C. 10.(3 分 )如图, RtABC 中, ACB=90 , AC=4, BC=6,以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别与 AC、 BC 相切于点 D、 E,则 AD 为 ( ) A. 2.5
6、B. 1.6 C. 1.5 D. 1 解 析 :连接 OD、 OE, 设 AD=x, 半圆分别与 AC、 BC 相切, CDO=CEO=90 , C=90 , 四边形 ODCE 是矩形, OD=CE , OE=CD, 又 OD=OE , CD=CE=4 -x, BE=6-(4-x)=x+2, AOD+A=90 , AOD+BOE=90 , A=BOE , AODOBE , = , = , 解得 x=1.6, 答案: B. 11.(3 分 )关于 x 的方程 m(x+h)2+k=0(m, h, k 均为常数, m0 )的解是 x1=-3, x2=2,则方程m(x+h-3)2+k=0 的解是 (
7、) A. x1=-6, x2=-1 B. x1=0, x2=5 C. x1=-3, x2=5 D. x1=-6, x2=2 解 析 :解方程 m(x+h)2+k=0(m, h, k 均为常数, m0 )得 x=-h , 而关于 x 的方程 m(x+h)2+k=0(m, h, k 均为常数, m0 )的解是 x1=-3, x2=2, 所以 -h- =-3, -h+ =2, 方程 m(x+h-3)2+k=0 的解为 x=3-h , 所以 x1=3-3=0, x2=3+2=5. 答案: B. 12.(3 分 )如图,已知 A1、 A2、 A3、 、 An、 An+1是 x 轴上的点,且 OA1=A1
8、A2=A2A3=A nAn+1=1,分别过点 A1、 A2、 A3、 、 An、 An+1作 x 轴的垂线交直线 y=2x 于点 B1、 B2、 B3、 、 Bn、 Bn+1,连接 A1B2、 B1A2、 A2B3、 B2A3、 、 AnBn+1、 BnAn+1,依次相交于点 P1、 P2、 P3、 、 Pn.A 1B1P1、A 2B2P2、 A nBnPn的面积依次记为 S1、 S2、 S3、 、 Sn,则 Sn为 ( ) A. B. C. D. 解 析 : A 1、 A2、 A3、 、 An、 An+1是 x 轴上的点,且 OA1=A1A2=A2A3=A nAn+1=1,分别过点 A1、A
9、2、 A3、 、 An、 An+1作 x 轴的垂线交直线 y=2x 于点 B1、 B2、 B3、 、 Bn、 Bn+1, 依题意得: B1(1, 2), B2(2, 4), B3(3, 6), , Bn(n, 2n) A 1B1A 2B2, A 1B1P1A 2B2P1, = , A 1B1P1与 A 2B2P1对应高的比为: 1: 2, A 1A2=1, A 1B1边上的高为: , = 2= , 同理可得: = , = , S n= . 答案: D. 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5分,共 20分 ) 13.(5 分 )a-4ab2分解因式结果是 . 解 析 :原式 =a(1-4
10、b2)=a(1-2b)(1+2b), 答案: a(1-2b)(1+2b). 14.(5 分 )如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC、 BD 交于点 O, ADBC ,请添加一个条件: ,使四边形 ABCD 为平行四边形 (不添加任何辅助线 ). 解 析: 当 ADBC , AD=BC 时,四边形 ABCD 为平行四边形 . 答案: AD=BC(答案不唯一 ). 15.(5 分 )有 6 张背面完全相同的卡片,每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆,现将其全部正面朝下搅匀,从中任取一张卡片,抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为 _ . 解 析 : 三角形、平行四边形、矩
11、形、正方形、梯形和圆这 6 种图形中,是中心对称图形的有平行四边形、矩形、正方形和圆,共 4 种图形, 从中任取一张卡片,抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为: = . 答案: . 16.(5 分 )如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第 2014 个图形是 . 解 析 :由图形看出去掉开头的两个三角形,剩下的由三个正方形,一个三角形,两个圆 6个图形为一组,不断循环出现, (2014-2)6=3352 所以第 2014 个图形与循环的第二个图形相同,是正方形 . 答案: . 三、解答题 (本大题共 5 小题,共 44 分,解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。 )
12、 17.(8 分 )计算: 2tan60 -| -2|- +( )-1. 解析: 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用立方根定义化简,最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果 . 答案: 原式 =2 -2+ -3 +3=1. 18.(9 分 )如图,点 M、 N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC、 CD 上的点,且 BM=CN, AM交 BN 于点 P. (1)求证: ABMBCN ; (2)求 APN 的度数 . 解析: (1)利用正五边形的性质得出 AB=BC, ABM=C ,再利用全等三角形的判定得出即可; (2)利用全等三角形的性质得出
13、 BAM+ABP=APN ,进而得出 CBN+ABP=APN=ABC 即可得出答案 . 答案: (1) 正五边形 ABCDE, AB=BC , ABM=C , 在 ABM 和 BCN 中 , ABMBCN (SAS); (2)ABMBCN , BAM=CBN , BAM+ABP=APN , CBN+ABP=APN=ABC= =108. 即 APN 的度数为 108. 19.(9 分 )为推广阳光体育 “ 大课间 ” 活动,我市某中学决定在学生中开设 A:实心球, B:立定跳远, C:跳绳, D:跑步四种活动项目 .为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成
14、如图 的统计图 .请结合图中的信息解答下列问题: (1)在这项调查中,共调查了多少名学生? (2)请计算本项调查中喜欢 “ 立定跳远 ” 的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整; (3)若调查到喜欢 “ 跳绳 ” 的 5 名学生中有 3 名男生, 2 名女生 .现从这 5 名学生中任意抽取2 名学生 .请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率 . 解析: (1)用 A 的人数除以所占的百分比,即可求出调查的学生数; (2)用抽查的总人数减去 A、 C、 D 的人数,求出喜欢 “ 立定跳远 ” 的学生人数,再除以被调查的学生数,求出所占的百分比,再画图即可; (3)用 A
15、表示男生, B 表示女生,画出树形图,再根据概率公式进行计算即可 . 答案: (1)根据题意得: 1510%=150 (名 ). 答;在这项调查中,共调查了 150 名学生; (2)本项调查中喜欢 “ 立定跳远 ” 的学生人数是; 150-15-60-30=45(人 ), 所占百分比是: 100%=30% , 画图如下: (3)用 A 表示男生, B 表示女生,画图如下: 共有 20 种情况,同性别学生的情况是 8 种, 则刚好抽到同性别学生的概率是 = . 20.(9 分 )“ 马航事件 ” 的发生引起了我国政府的高度重视,迅速派出了舰船和飞 机到相关海域进行搜寻 .如图,在一次空中搜寻中,
16、水平飞行的飞机观测得在点 A 俯角为 30 方向的F 点处有疑似飞机残骸的物体 (该物体视为静止 ).为了便于观察,飞机继续向前飞行了 800米到达 B 点,此时测得点 F 在点 B 俯角为 45 的方向上,请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点 C 时 (点 A、 B、 C 在同一直线上 ),竖直高度 CF 约为多少米? (结果保留整数,参考数值:1.7 ) 解析: 易得 BC=CF,那么利用 30 的正切值即可求得 CF 长 . 答案: BCF=90 , CBF=45 , BC=CF , CAF=30 , ta n30= = = = , 解得: CF=400 +400400 (1.7+1)=
17、1080(米 ). 答:竖直高度 CF 约为 1080 米 . 21.(9 分 )如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= (x 0)的图象交于点 P(n, 2),与 x 轴交于点 A(-4, 0),与 y 轴交于点 C, PBx 轴于点 B,且 AC=BC. (1)求一次函数、反比例函数的解析式; (2)反比例函数图象上是否存在点 D,使四边形 BCPD 为菱形?如果存在,求出点 D 的坐标;如果不存在,说明理由 . 解析: (1)由 AC=BC,且 OCAB ,利用三线合一得到 O 为 AB 中点,求出 OB的长,确定出 B坐标,从而得到 P 点坐标,将 P与 A 坐标代入一
18、次函数解析式求出 k 与 b 的值,确定出一次函数解析式,将 P 坐标代入反比例解析式求出 m 的值,即可确定出反比例解析式; (2)假设存在这样的 D 点,使四边形 BCPD 为菱形,如图所示,由一次函数解析式求出 C 坐标,得出直线 BC 斜率,求出过 P 且与 BC 平行的直线 PD解析式,与反比例解析式联立求出 D坐标,检验得到四边形 BCPD 为菱形,符合题意 . 答案: (1)AC=BC , COAB , A(-4, 0), O 为 AB 的中点,即 OA=OB=4, P (4, 2), B(4, 0), 将 A(-4, 0)与 P(4, 2)代入 y=kx+b 得: , 解得:
19、k= , b=1, 一次函数解析式为 y= x+1, 将 P(4, 2)代入反比例解析式得: m=8,即反比例解析式为 y= ; (2)假设存在这样的 D 点,使四边形 BCPD 为菱形,如图所示, 对于一次函数 y= x+1,令 x=0,得到 y=1,即 C(0, 1), 直线 BC 的斜率为 =- , 设过点 P,且与 BC 平行的直线解析式为 y-2=- (x-4),即 y= , 与反比例解析式联立得: , 消去 y 得: = , 整理得: x2-12x+32=0,即 (x-4)(x-8)=0, 解得: x=4(舍去 )或 x=8, 当 x=8 时, y=1, D (8, 1), 此时
20、PD= = , BC= = ,即PD=BC, PDBC , 四边形 BCPD 为平行四边形, PC= = ,即 PC=BC, 四边形 BCPD 为菱形,满足题意, 则反比例函数图象上存在点 D,使四边形 BCPD 为菱形,此时 D 坐标为 (8, 1). 四、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 6分,满分 24 分 ) 22.(6 分 )已知 + =3,则代数式 的值为 . 解 析 : + =3, a+2b=6ab , ab= (a+2b), 把 ab 代入原式 = = = =- , 答案: - . 23.(6 分 )如图, AOB=30 , OP 平分 AOB , PCOB 于点 C.若
21、OC=2,则 PC 的长是 . 解 析 :延长 CP,与 OA 交于点 Q,过 P 作 PDOA , OP 平分 AOB , PDOA , PCOB , PD=PC , 在 RtQOC 中, AOB=30 , OC=2, QC=OCtan30=2 = , APD=30 , 在 RtQPD 中, cos30= = ,即 PQ= DP= PC, QC=PQ+PC ,即 PC+PC= , 解得: PC=4-2 . 答案: 4-2 24.(6分 )已知实数 x、 y满足 2x-3y=4,并且 x -1, y 2,现有 k=x-y,则 k的取值范围是 . 解 析 : 2x -3y=4, y= (2x-4
22、), y 2, (2x-4) 2,解得 x 5, 又 x -1, -1x 5, k=x - (2x-4)= x+ , 当 x=-1 时, k= (-1)+ =1; 当 x=5 时, k= 5+ =3, 1k 3. 答案: 1k 3. 25.(6 分 )通过对课本中硬币滚动中的数学的学习,我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程 (如图 ).在图 中,有 2014个半径为 r的圆紧密排列成一条直线,半径为 r 的动圆 C 从图示位置绕这 2014 个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位,则动圆 C 自身转动的周数为 . 解 析 :弧长 = =1344r , 又因为是来回所以总路程为:
23、 13442=2688 , 所以动圆 C 自身转动的周数为: 2688r2r=1344 , 答案: 1344. 五、解答题 (本大题共 3 小题,每小题 12分,共 36 分 ) 26.(12 分 )如图,在 ABC 中, D 是 BC 边上的点 (不与点 B、 C 重合 ),连结 AD. 问题引入: (1)如图 ,当点 D 是 BC 边上的中点时, SABD : SABC = ;当点 D是 BC 边上任意一点时,SABD : SABC = (用图中已有线段表示 ). 探索研究: (2)如图 ,在 ABC 中, O 点是线段 AD 上一点 (不与点 A、 D 重合 ),连结 BO、 CO,试猜
24、想 SBOC与 SABC 之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由 . 拓展应用: (3)如图 , O 是线段 AD 上一点 (不与点 A、 D 重合 ),连结 BO 并延长交 AC 于点 F,连结 CO并延长交 AB 于点 E,试猜想 + + 的值,并说明理由 . 解析: (1)根据三角形的面积公式,两三角形等高时,可得两三角形底与面积的关系,可得答案; (2)根据三角形的面积公式,两三角形等底时,可得两三角形的高与面积的关系,可得答案; (3)根据三角形的面积公式,两三角形等底时,可得两三角形的高与面积的关系,再根据分式的加减,可得答案 . 答案: (1)如图 ,当点 D是 BC 边上的
25、中点时, SABD : SABC =1: 2;当点 D是 BC 边上任意一点时, SABD : SABC =BD: BC, 故答案为: 1: 2, BD: BC; (2)SBOC : SABC =OD: AD, 如图 作 OEBC 与 E,作 AFBC 与 F, OEAF , OEDAFD , . , ; (3) + + =1,理由如下: 由 (2)得 , , . + + = + + = = =1. 27.(12 分 )某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降 .今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元,如果卖出相同数量的 A 款汽车,去年销
26、售额为 100 万元,今年销售额只有 90 万元 . (1)今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车,已知 A 款汽车每辆进价为7.5 万元, B 款汽车每辆进价为 6 万元,公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆,有几种进货方案? (3)如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元,为打开 B 款汽车的销路,公司决定每售出一辆 B款汽车,返还顾客现金 a 万元,要使 (2)中所有的方案获利相同, a 值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利? 解析: (1)求单价,总价明显,应根据数量来列等
27、量关系 .等量关系为:今年的销售数量 =去年的销售数量 . (2)关系式为: 99A 款汽车总价 +B 款汽车总价 105. (3)方案获利相同,说明与所设的未知数无关,让未知数 x 的系数为 0 即可;多进 B 款汽车对公司更有利,因为 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元, B 款汽车每辆进价为 6 万元,所以要多进 B 款 . 答案: (1)设今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 m 万元 .则: , 解得: m=9. 经检验, m=9 是原方程的根且符合题意 . 答:今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 9 万元; (2)设购进 A 款汽车 x 辆 .则: 997.5x+6 (15-x)10
28、5. 解得: 6x10. x 的正整数解为 6, 7, 8, 9, 10, 共有 5 种进货方案; (3)设总获利为 W 元,购进 A 款汽车 x 辆,则: W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)x+30-15a. 当 a=0.5 时, (2)中所有方案获利相同 . 此时,购买 A 款汽车 6 辆, B 款汽车 9 辆时对公司更有利 . 28.(12 分 )如图,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-3, 0)、 C(0, 4),点 B 在抛物线上, CBx 轴,且 AB 平分 CAO . (1)求抛物线的解析式; (2)线段 AB 上有一动点 P,过点 P作 y
29、 轴的平行线,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的最大值; (3)抛物线的对称轴上是否存在点 M,使 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形?如果存在,求出点 M 的坐标;如果不存在,说明理由 . 解析: (1)如图 1,易证 BC=AC,从而得到点 B 的坐标,然后运用待定系数法求出二次函数的解析式 . (2)如图 2,运用待定系数法求出直线 AB 的解析式 .设点 P 的横坐标为 t,从而可以用 t 的代数式表示出 PQ 的长,然后利用二次函数的最值性质就可解决问题 . (3)由于 AB 为直角边,分别以 BAM=90 (如图 3)和 ABM=90 (如图 4)进行讨论,通过三角形相似建立
30、等量关系,就可以求出点 M 的坐标 . 答案: (1)如图 1 A (-3, 0), C(0, 4), OA=3 , OC=4. AOC=90 , AC=5. BCAO , AB 平分 CAO , CBA=BAO=CAB. BC=AC. BC=5. BCAO , BC=5, OC=4, 点 B 的坐标为 (5, 4). A (-3, 0)、 C(0, 4)、 B(5, 4)在抛物线 y=ax2+bx+c 上, 解得: 抛物线的解析式为 y=- x2+ x+4. (2)如图 2 设直线 AB 的解析式为 y=mx+n, A (-3, 0)、 B(5, 4)在直线 AB 上, 解得: 直线 AB
31、的解析式为 y= x+ . 设点 P 的横坐标为 t(-3t5 ),则点 Q 的横坐标也为 t. y P= t+ , yQ=- t2+ t+4. PQ=y Q-yP=- t2+ t+4-( t+ ) =- t2+ t+4- t- =- t2+ + =- (t2-2t-15) =- (t-1)2-16 =- (t-1)2+ . - 0, -3t5 , 当 t=1 时, PQ 取到最大值,最大值为 . 线段 PQ 的最大值为 . (3) 当 BAM=90 时,如图 3 所示 . 抛物线的对称轴为 x=- =- = . x H=xG=xM= . y G= + = . GH= . GHA=GAM=90 , MAH=90 -GAH=AGM. AHG=MHA=90 , MAH=AGM , AHGMHA. . = . 解得: MH=11. 点 M 的坐标为 ( , -11). 当 ABM=90 时,如图 4 所示 . BDG=90 , BD=5- = , DG=4- = , BG= = = . 同理: AG= . AGH=MGB , AHG=MBG=90 , AGHMGB. = . = . 解得: MG= . MH=MG+GH = + =9. 点 M 的坐标为 ( , 9). 综上所述:符合要求的点 M 的坐标为 ( , 9)和 ( , -11).
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