1、2014 年四川省内江市中考 真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(3 分 ) 的相反数是 ( ) A.- B. C. - D. 解 析 ： 的相反数是 - ， 答案： A. 2.(3 分 )一种微粒的半径是 0.00004 米，这个数据用科学记数法表示为 ( ) A.410 6 B. 410 -6 C. 410 -5 D. 410 5 解 析 ： 0.00004=410 -5， 答案： C. 3.(3 分 )下列调查中， 调查本班同学的视力； 调查一批节能灯管的使用寿命； 为保证“ 神舟 9
2、号 ” 的成功发射，对其零部件进行检查； 对乘坐某班次客车的乘客进行安检 .其中适合采用抽样调查的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 适合普查，故 不适合抽样调查； 调查具有破坏性，适合抽样调查，故 符合题意； 调查要求准确性，适合普查，故 不适合抽样调查； 安检适合普查，故 不适合抽样调查； 答案： B. 4.(3 分 )如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从正面看是一个上底在下的梯形 . 答案： D. 5.(3 分 )在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x -2 且 x1 B. x2 且 x1 C. x1
3、 D. x -2 解 析 ：由题意得， x+20 且 x-10 ， 解得 x -2 且 x1. 答案： A. 6.(3 分 )某班数学兴趣小组 10 名同学的年龄情况如下表： 则这 10 名同学年龄的平均数和中位数分别是 ( ) A. 13.5， 13.5 B. 13.5， 13 C. 13， 13.5 D. 13， 14 解 析 ：将各位同学的成绩从小到大排列为： 12， 13， 13， 13， 13， 14， 14， 14， 14， 15， 中位数是 =13.5，平均数是 =13.5. 答案： A. 7.(3 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆， AOB=60 ， AB=AC=2，则弦
4、 BC 的长为 ( ) A. B. 3 C. 2 D. 4 解 析 ：如图，设 AO 与 BC 交于点 D. AOB=60 ， ， C= AOB=30 ， 又 AB=AC ， = ADBC ， BD=CD ， 在直角 ACD 中， CD=AC cos30=2 = ， BC=2CD=2 . 答案： C. 8.(3 分 )按如图所示的程序计算，若开始输入的 n 值为 ，则最后输出的结果是 ( ) A. 14 B. 16 C. 8+5 D. 14+ 解 析 ：当 n= 时， n(n+1)= ( +1)=2+ 15； 当 n=2+ 时， n(n+1)=(2+ )(3+ )=6+5 +2=8+5 15，
5、 则输出结果为 8+5 . 答案： C. 9.(3分 )若关于 x的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0有不相等实数根，则 k的取值范围是 ( ) A. k B. k C. k 且 k1 D. k 且 k1 解 析 ： 关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相等实数根， =2 2-4(k-1) (-2) 0， 解得 k ；且 k-10 ，即 k1. 答案： C. 10.(3 分 )如图， RtABC 中， ACB=90 ， AC=4， BC=6，以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别与 AC、 BC 相切于点 D、 E，则 AD 为 ( ) A. 2.5
6、B. 1.6 C. 1.5 D. 1 解 析 ：连接 OD、 OE， 设 AD=x， 半圆分别与 AC、 BC 相切， CDO=CEO=90 ， C=90 ， 四边形 ODCE 是矩形， OD=CE ， OE=CD， 又 OD=OE ， CD=CE=4 -x， BE=6-(4-x)=x+2， AOD+A=90 ， AOD+BOE=90 ， A=BOE ， AODOBE ， = ， = ， 解得 x=1.6， 答案： B. 11.(3 分 )关于 x 的方程 m(x+h)2+k=0(m， h， k 均为常数， m0 )的解是 x1=-3， x2=2，则方程m(x+h-3)2+k=0 的解是 (
7、) A. x1=-6， x2=-1 B. x1=0， x2=5 C. x1=-3， x2=5 D. x1=-6， x2=2 解 析 ：解方程 m(x+h)2+k=0(m， h， k 均为常数， m0 )得 x=-h ， 而关于 x 的方程 m(x+h)2+k=0(m， h， k 均为常数， m0 )的解是 x1=-3， x2=2， 所以 -h- =-3， -h+ =2， 方程 m(x+h-3)2+k=0 的解为 x=3-h ， 所以 x1=3-3=0， x2=3+2=5. 答案： B. 12.(3 分 )如图，已知 A1、 A2、 A3、 、 An、 An+1是 x 轴上的点，且 OA1=A1
8、A2=A2A3=A nAn+1=1，分别过点 A1、 A2、 A3、 、 An、 An+1作 x 轴的垂线交直线 y=2x 于点 B1、 B2、 B3、 、 Bn、 Bn+1，连接 A1B2、 B1A2、 A2B3、 B2A3、 、 AnBn+1、 BnAn+1，依次相交于点 P1、 P2、 P3、 、 Pn.A 1B1P1、A 2B2P2、 A nBnPn的面积依次记为 S1、 S2、 S3、 、 Sn，则 Sn为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A 1、 A2、 A3、 、 An、 An+1是 x 轴上的点，且 OA1=A1A2=A2A3=A nAn+1=1，分别过点 A1、A
9、2、 A3、 、 An、 An+1作 x 轴的垂线交直线 y=2x 于点 B1、 B2、 B3、 、 Bn、 Bn+1， 依题意得： B1(1， 2)， B2(2， 4)， B3(3， 6)， ， Bn(n， 2n) A 1B1A 2B2， A 1B1P1A 2B2P1， = ， A 1B1P1与 A 2B2P1对应高的比为： 1： 2， A 1A2=1， A 1B1边上的高为： ， = 2= ， 同理可得： = ， = ， S n= . 答案： D. 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 ) 13.(5 分 )a-4ab2分解因式结果是 . 解 析 ：原式 =a(1-4
10、b2)=a(1-2b)(1+2b)， 答案： a(1-2b)(1+2b). 14.(5 分 )如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O， ADBC ，请添加一个条件： ，使四边形 ABCD 为平行四边形 (不添加任何辅助线 ). 解 析： 当 ADBC ， AD=BC 时，四边形 ABCD 为平行四边形 . 答案： AD=BC(答案不唯一 ). 15.(5 分 )有 6 张背面完全相同的卡片，每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆，现将其全部正面朝下搅匀，从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为 _ . 解 析 ： 三角形、平行四边形、矩
11、形、正方形、梯形和圆这 6 种图形中，是中心对称图形的有平行四边形、矩形、正方形和圆，共 4 种图形， 从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为： = . 答案： . 16.(5 分 )如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 2014 个图形是 . 解 析 ：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆 6个图形为一组，不断循环出现， (2014-2)6=3352 所以第 2014 个图形与循环的第二个图形相同，是正方形 . 答案： . 三、解答题 (本大题共 5 小题，共 44 分，解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。 )
12、 17.(8 分 )计算： 2tan60 -| -2|- +( )-1. 解析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用立方根定义化简，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果 . 答案： 原式 =2 -2+ -3 +3=1. 18.(9 分 )如图，点 M、 N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC、 CD 上的点，且 BM=CN， AM交 BN 于点 P. (1)求证： ABMBCN ； (2)求 APN 的度数 . 解析： (1)利用正五边形的性质得出 AB=BC， ABM=C ，再利用全等三角形的判定得出即可； (2)利用全等三角形的性质得出
13、 BAM+ABP=APN ，进而得出 CBN+ABP=APN=ABC 即可得出答案 . 答案： (1) 正五边形 ABCDE， AB=BC ， ABM=C ， 在 ABM 和 BCN 中 ， ABMBCN (SAS)； (2)ABMBCN ， BAM=CBN ， BAM+ABP=APN ， CBN+ABP=APN=ABC= =108. 即 APN 的度数为 108. 19.(9 分 )为推广阳光体育 “ 大课间 ” 活动，我市某中学决定在学生中开设 A：实心球， B：立定跳远， C：跳绳， D：跑步四种活动项目 .为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成
14、如图 的统计图 .请结合图中的信息解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了多少名学生？ (2)请计算本项调查中喜欢 “ 立定跳远 ” 的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； (3)若调查到喜欢 “ 跳绳 ” 的 5 名学生中有 3 名男生， 2 名女生 .现从这 5 名学生中任意抽取2 名学生 .请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率 . 解析： (1)用 A 的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数； (2)用抽查的总人数减去 A、 C、 D 的人数，求出喜欢 “ 立定跳远 ” 的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可； (3)用 A
15、表示男生， B 表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可 . 答案： (1)根据题意得： 1510%=150 (名 ). 答；在这项调查中，共调查了 150 名学生； (2)本项调查中喜欢 “ 立定跳远 ” 的学生人数是； 150-15-60-30=45(人 )， 所占百分比是： 100%=30% ， 画图如下： (3)用 A 表示男生， B 表示女生，画图如下： 共有 20 种情况，同性别学生的情况是 8 种， 则刚好抽到同性别学生的概率是 = . 20.(9 分 )“ 马航事件 ” 的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞 机到相关海域进行搜寻 .如图，在一次空中搜寻中，
16、水平飞行的飞机观测得在点 A 俯角为 30 方向的F 点处有疑似飞机残骸的物体 (该物体视为静止 ).为了便于观察，飞机继续向前飞行了 800米到达 B 点，此时测得点 F 在点 B 俯角为 45 的方向上，请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点 C 时 (点 A、 B、 C 在同一直线上 )，竖直高度 CF 约为多少米？ (结果保留整数，参考数值：1.7 ) 解析： 易得 BC=CF，那么利用 30 的正切值即可求得 CF 长 . 答案： BCF=90 ， CBF=45 ， BC=CF ， CAF=30 ， ta n30= = = = ， 解得： CF=400 +400400 (1.7+1)=
17、1080(米 ). 答：竖直高度 CF 约为 1080 米 . 21.(9 分 )如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= (x 0)的图象交于点 P(n， 2)，与 x 轴交于点 A(-4， 0)，与 y 轴交于点 C， PBx 轴于点 B，且 AC=BC. (1)求一次函数、反比例函数的解析式； (2)反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由 . 解析： (1)由 AC=BC，且 OCAB ，利用三线合一得到 O 为 AB 中点，求出 OB的长，确定出 B坐标，从而得到 P 点坐标，将 P与 A 坐标代入一
18、次函数解析式求出 k 与 b 的值，确定出一次函数解析式，将 P 坐标代入反比例解析式求出 m 的值，即可确定出反比例解析式； (2)假设存在这样的 D 点，使四边形 BCPD 为菱形，如图所示，由一次函数解析式求出 C 坐标，得出直线 BC 斜率，求出过 P 且与 BC 平行的直线 PD解析式，与反比例解析式联立求出 D坐标，检验得到四边形 BCPD 为菱形，符合题意 . 答案： (1)AC=BC ， COAB ， A(-4， 0)， O 为 AB 的中点，即 OA=OB=4， P (4， 2)， B(4， 0)， 将 A(-4， 0)与 P(4， 2)代入 y=kx+b 得： ， 解得：
19、k= ， b=1， 一次函数解析式为 y= x+1， 将 P(4， 2)代入反比例解析式得： m=8，即反比例解析式为 y= ； (2)假设存在这样的 D 点，使四边形 BCPD 为菱形，如图所示， 对于一次函数 y= x+1，令 x=0，得到 y=1，即 C(0， 1)， 直线 BC 的斜率为 =- ， 设过点 P，且与 BC 平行的直线解析式为 y-2=- (x-4)，即 y= ， 与反比例解析式联立得： ， 消去 y 得： = ， 整理得： x2-12x+32=0，即 (x-4)(x-8)=0， 解得： x=4(舍去 )或 x=8， 当 x=8 时， y=1， D (8， 1)， 此时
20、PD= = ， BC= = ，即PD=BC， PDBC ， 四边形 BCPD 为平行四边形， PC= = ，即 PC=BC， 四边形 BCPD 为菱形，满足题意， 则反比例函数图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时 D 坐标为 (8， 1). 四、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 6分，满分 24 分 ) 22.(6 分 )已知 + =3，则代数式 的值为 . 解 析 ： + =3， a+2b=6ab ， ab= (a+2b)， 把 ab 代入原式 = = = =- ， 答案： - . 23.(6 分 )如图， AOB=30 ， OP 平分 AOB ， PCOB 于点 C.若
21、OC=2，则 PC 的长是 . 解 析 ：延长 CP，与 OA 交于点 Q，过 P 作 PDOA ， OP 平分 AOB ， PDOA ， PCOB ， PD=PC ， 在 RtQOC 中， AOB=30 ， OC=2， QC=OCtan30=2 = ， APD=30 ， 在 RtQPD 中， cos30= = ，即 PQ= DP= PC， QC=PQ+PC ，即 PC+PC= ， 解得： PC=4-2 . 答案： 4-2 24.(6分 )已知实数 x、 y满足 2x-3y=4，并且 x -1， y 2，现有 k=x-y，则 k的取值范围是 . 解 析 ： 2x -3y=4， y= (2x-4
22、)， y 2， (2x-4) 2，解得 x 5， 又 x -1， -1x 5， k=x - (2x-4)= x+ ， 当 x=-1 时， k= (-1)+ =1； 当 x=5 时， k= 5+ =3， 1k 3. 答案： 1k 3. 25.(6 分 )通过对课本中硬币滚动中的数学的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程 (如图 ).在图 中，有 2014个半径为 r的圆紧密排列成一条直线，半径为 r 的动圆 C 从图示位置绕这 2014 个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆 C 自身转动的周数为 . 解 析 ：弧长 = =1344r ， 又因为是来回所以总路程为：
23、 13442=2688 ， 所以动圆 C 自身转动的周数为： 2688r2r=1344 ， 答案： 1344. 五、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 12分，共 36 分 ) 26.(12 分 )如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上的点 (不与点 B、 C 重合 )，连结 AD. 问题引入： (1)如图 ，当点 D 是 BC 边上的中点时， SABD ： SABC = ；当点 D是 BC 边上任意一点时，SABD ： SABC = (用图中已有线段表示 ). 探索研究： (2)如图 ，在 ABC 中， O 点是线段 AD 上一点 (不与点 A、 D 重合 )，连结 BO、 CO，试猜
24、想 SBOC与 SABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由 . 拓展应用： (3)如图 ， O 是线段 AD 上一点 (不与点 A、 D 重合 )，连结 BO 并延长交 AC 于点 F，连结 CO并延长交 AB 于点 E，试猜想 + + 的值，并说明理由 . 解析： (1)根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案； (2)根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案； (3)根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案 . 答案： (1)如图 ，当点 D是 BC 边上的
25、中点时， SABD ： SABC =1： 2；当点 D是 BC 边上任意一点时， SABD ： SABC =BD： BC， 故答案为： 1： 2， BD： BC； (2)SBOC ： SABC =OD： AD， 如图 作 OEBC 与 E，作 AFBC 与 F， OEAF ， OEDAFD ， . ， ； (3) + + =1，理由如下： 由 (2)得 ， ， . + + = + + = = =1. 27.(12 分 )某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降 .今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销
26、售额为 100 万元，今年销售额只有 90 万元 . (1)今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为7.5 万元， B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货方案？ (3)如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使 (2)中所有的方案获利相同， a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 解析： (1)求单价，总价明显，应根据数量来列等
27、量关系 .等量关系为：今年的销售数量 =去年的销售数量 . (2)关系式为： 99A 款汽车总价 +B 款汽车总价 105. (3)方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数 x 的系数为 0 即可；多进 B 款汽车对公司更有利，因为 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元， B 款汽车每辆进价为 6 万元，所以要多进 B 款 . 答案： (1)设今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 m 万元 .则： ， 解得： m=9. 经检验， m=9 是原方程的根且符合题意 . 答：今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 9 万元； (2)设购进 A 款汽车 x 辆 .则： 997.5x+6 (15-x)10
28、5. 解得： 6x10. x 的正整数解为 6， 7， 8， 9， 10， 共有 5 种进货方案； (3)设总获利为 W 元，购进 A 款汽车 x 辆，则： W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)x+30-15a. 当 a=0.5 时， (2)中所有方案获利相同 . 此时，购买 A 款汽车 6 辆， B 款汽车 9 辆时对公司更有利 . 28.(12 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-3， 0)、 C(0， 4)，点 B 在抛物线上， CBx 轴，且 AB 平分 CAO . (1)求抛物线的解析式； (2)线段 AB 上有一动点 P，过点 P作 y
29、 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的最大值； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 M，使 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由 . 解析： (1)如图 1，易证 BC=AC，从而得到点 B 的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式 . (2)如图 2，运用待定系数法求出直线 AB 的解析式 .设点 P 的横坐标为 t，从而可以用 t 的代数式表示出 PQ 的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题 . (3)由于 AB 为直角边，分别以 BAM=90 (如图 3)和 ABM=90 (如图 4)进行讨论，通过三角形相似建立
30、等量关系，就可以求出点 M 的坐标 . 答案： (1)如图 1 A (-3， 0)， C(0， 4)， OA=3 ， OC=4. AOC=90 ， AC=5. BCAO ， AB 平分 CAO ， CBA=BAO=CAB. BC=AC. BC=5. BCAO ， BC=5， OC=4， 点 B 的坐标为 (5， 4). A (-3， 0)、 C(0， 4)、 B(5， 4)在抛物线 y=ax2+bx+c 上， 解得： 抛物线的解析式为 y=- x2+ x+4. (2)如图 2 设直线 AB 的解析式为 y=mx+n， A (-3， 0)、 B(5， 4)在直线 AB 上， 解得： 直线 AB
31、的解析式为 y= x+ . 设点 P 的横坐标为 t(-3t5 )，则点 Q 的横坐标也为 t. y P= t+ ， yQ=- t2+ t+4. PQ=y Q-yP=- t2+ t+4-( t+ ) =- t2+ t+4- t- =- t2+ + =- (t2-2t-15) =- (t-1)2-16 =- (t-1)2+ . - 0， -3t5 ， 当 t=1 时， PQ 取到最大值，最大值为 . 线段 PQ 的最大值为 . (3) 当 BAM=90 时，如图 3 所示 . 抛物线的对称轴为 x=- =- = . x H=xG=xM= . y G= + = . GH= . GHA=GAM=90 ， MAH=90 -GAH=AGM. AHG=MHA=90 ， MAH=AGM ， AHGMHA. . = . 解得： MH=11. 点 M 的坐标为 ( ， -11). 当 ABM=90 时，如图 4 所示 . BDG=90 ， BD=5- = ， DG=4- = ， BG= = = . 同理： AG= . AGH=MGB ， AHG=MBG=90 ， AGHMGB. = . = . 解得： MG= . MH=MG+GH = + =9. 点 M 的坐标为 ( ， 9). 综上所述：符合要求的点 M 的坐标为 ( ， 9)和 ( ， -11).
