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2014年山东省威海市中考真题数学.docx

1、2014 年山东省威海市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题,每小题 3 分,共 36分 ) 1.(3 分 )若 a3=8,则 a 的绝对值是 ( ) A. 2 B. -2 C. D. - 解析 : a 3=8, a=2 . 答案: A. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 2x2x 2=2x B. (- a2b)3=- a6b3 C. 3x2+2x2=5x2 D. (x-3)3=x3-9 解析 : A、 2x2x 2=2,选项错误; B、 (- a2b)3=- a6b3,选项错误; C、正确; D、 (x-3)3=x3-27-9x2+27x,选项错误 . 答案: C. 3.

2、(3 分 )将下列多项式分解因式,结果中不含因式 x-1 的是 ( ) A. x2-1 B. x(x-2)+(2-x) C. x2-2x+1 D. x2+2x+1 解析 : A、 x2-1=(x+1)(x-1),故此选项错误; B、 x(x-2)+(2-x)=(x-2)(x-1),故此选项错误; C、 x2-2x+1=(x-1)2,故此选项错误; D、 x2+2x+1=(x+1)2,故此选项符合题意 . 答案: D. 4.(3 分 )已知 x2-2=y,则 x(x-3y)+y(3x-1)-2 的值是 ( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 解析 : x 2-2=y,即 x2-y=2,

3、 原式 =x2-3xy+3xy-y-2=x2-y-2=2-2=0. 答案: B 5.(3 分 )在某中学举行的演讲比赛中,初一年级 5 名参赛选手的成绩如下表所示,请你根据表中提供的数据,计算出这 5 名选手成绩的方差 ( ) A.2 B.6.8 C.34 D.93 解析 : 观察表格知道 5 名选手的平均成绩为 91 分, 3 号选手的成绩为915 -90-95-89-88=93 分, 所以方差为: (90-91)2+(95-91)2+(93-91)2+(89-91)2+(88-91)2=6.8, 答案: B. 6.(3 分 )用四个相同的小立方体搭几何体,要求每个几何体的主视图、左视图、俯

4、视图中至少有两种视图的形状是相同的,下列四种摆放方式中不符合要求的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : A、此几何体的主视图和俯视图都是 “ ” 字形,故此选项不合题意; B、此几何体的主视图和左视图都是 ,故此选项不合题意; C、此几何体的主视图和左视图都是 ,故此选项不合题意; D、此几何体的主视图是 ,俯视图是 ,左视图是 ,故此选项符合题意, 答案: D. 7.(3 分 )已知点 P(3-m, m-1)在第二象限,则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 已知点 P(3-m, m-1)在第二象限, 3-m 0 且 m-1 0,解得 m 3

5、, m 1, 答案: A. 8.(3 分 )如图,在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A、 B、 O 都在格点上,则 AOB的正弦值是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 作 ACOB 于点 C.则 AC= , AB= = =2 , 则 sinAOB= = = . 答案: D. 9.(3 分 )如图,在 ABC 中, ABC=50 , ACB=60 ,点 E 在 BC 的延长线上, ABC 的平分线 BD 与 ACE 的平分线 CD 相交于点 D,连接 AD,下列结论中不正确的是 ( ) A. BAC=70 B. DOC=90 C. BDC=35 D. DAC=55 解析 : AB

6、C=50 , ACB=60 , BAC=180 -ABC -ACB=180 -50 -60=70 ,故 A 选项结论正确, BD 平分 ABC , ABO= ABC= 50=25 , 在 ABO 中, AOB=180 -BAC -ABO=180 -70 -25=85 , DOC=AOB=85 ,故 B 选项结论错误; CD 平分 ACE , ACD= (180 -60 )=60 , BDC=180 -85 -60=35 ,故 C选项结论正确; BD 、 CD 分别是 ABC 和 ACE 的平分线, AD 是 ABC 的外角平分线, DAC=(180 -70 )=55 ,故 D 选项结论正确 .

7、 答案: B. 10.(3 分 )方程 x2-(m+6)+m2=0 有两个相等的实数根,且满足 x1+x2=x1x2,则 m的值是 ( ) A. -2 或 3 B. 3 C. -2 D. -3 或 2 解析 : x 1+x2=m+6, x1x2=m2, x1+x2=x1x2, m+6=m 2, 解得 m=3 或 m=-2, 方程 x2-(m+6)+m2=0 有两个相等的实数根, =b 2-4ac=(m+6)2-4m2=-3m2+12m+36=0 解得 m=6 或 m=-2m= -2. 答案: C. 11.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图,则下列说法: c=0

8、; 该抛物线的对称轴是直线 x=-1; 当 x=1 时, y=2a; am 2+bm+a 0(m -1). 其中正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 : 抛物线与 y 轴交于原点, c=0,故 正确; 该抛物线的对称轴是: ,直线 x=-1,故 正确; 当 x=1 时, y=2a+b+c, 对称轴是直线 x=-1, , b=2a, 又 c=0 , y=4a ,故 错误; x=m 对应的函数值为 y=am2+bm+c, x=-1 对应的函数值为 y=a-b+c,又 x=-1 时函数取得最小值, a -b+c am2+bm+c,即 a-b am2+bm, b=2a ,

9、 am 2+bm+a 0(m -1).故 正确 . 答案: C. 12.(3 分 )如图,在平面直角坐标系 xOy 中, RtOA 1C1, RtOA 2C2, RtOA 3C3, RtOA 4C4的斜边都在坐标轴上, A 1OC1=A 2OC2=A 3OC3=A 4OC4=30 .若点 A1的坐标为 (3, 0),OA1=OC2, OA2=OC3, OA3=OC4 ,则依此规律,点 A2014的纵坐标为 ( ) A. 0 B. -3 ( )2013 C. (2 )2014 D. 3 ( )2013 解析 : A 2OC2=30 , OA1=OC2=3, OA 2= OC2=3 ; OA 2=

10、OC3=3 , OA 3= OC3=3 ( )2; OA 3=OC4=3 ( )2, OA 4= OC4=3 ( )3, OA 2014=3 ( )2013, 而 2014=4503+2 , 点 A2014在 y 轴的正半轴上, 点 A2014的纵坐标为 3 ( )2013. 答案: D. 二、填空题 (共 6 小题,每小题 3 分,共 18分 ) 13.(3 分 )据威海市旅游局统计,今年 “ 五一 ” 小长假期间,我市各旅游景点门票收入约 2300万元,数据 “2300 万 “ 用科学记数法表示为 . 解析 : 将 2300 万用科学记数法表示为: 2.310 7. 答案: 2.310 7

11、. 14.(3 分 )计算: - = . 解析 : 原式 =3 - =3 -2 = . 答案: . 15.(3 分 )直线 l1l 2,一块含 45 角的直角三角板如图放置, 1=85 ,则 2= . 解析 : l 1l 2, 3=1=85 , 4=3 -45=85 -45=40 , 2=4=40 . 故答案为: 40 . 16.(3 分 )一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图,则 kx+b x+a 的解集是 x -2 . 解析 : 把 x=-2 代入 y1=kx+b 得, y1=-2k+b, 把 x=-2 代入 y2=x+a 得, y2=-2+a, 由 y1=y2 得 ,

12、-2k+b=-2+a,解得 =2, 解 kx+b x+a 得, (k-1)x a-b, 因为 k 0,所以 k-1 0,解集为: x ,所以 x -2. 17.(3 分 )如图,有一直角三角形纸片 ABC,边 BC=6, AB=10, ACB=90 ,将该直角三角形纸片沿 DE 折叠,使点 A 与点 C 重合,则四边形 DBCE的周长为 . 解析 : 沿 DE 折叠,使点 A 与点 C 重合, AE=CE , AD=CD, DCE=A , BCD=90 -DCE , 又 B=90 -A , B=BCD , BD=CD=AD= =5, DE 为 ABC 的中位线, DE=3, BC=6 , AB

13、=10, ACB=90 , , 四边形 DBCE 的周长为: BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18. 答案: 18. 18.(3 分 )如图, A 与 B 外切于 O 的圆心 O, O 的半径为 1,则阴影部分的面积是 . 解析 : 如图,连接 DF、 DB、 FB、 OB, O 的半径为 1, OB=BD=BF=1 , DF= , S 弓形 ODF=S 扇形 BDF-SBDF = - = - , S 阴影部分 =SO -4S 弓形 ODF= -4 ( - )= - . 答案: 三、解答题 (共 7 小题,共 66 分 ) 19.(7 分 )解方程组: . 解析 : 方程组利用加减消元

14、法求出解即可 . 答案 :方程组整理得: , - 得: 3y=3,即 y=1, 将 y=1 代入 得: x= ,则方程组的解为 . 20.(8 分 )某学校为了解学生体能情况,规定参加测试的每名学生从 “ 立定跳远 ” , “ 耐久跑 ” , “ 掷实心球 ” , “ 引体向上 ” 四个项目中随机抽取两项作为测试项目 . (1)小明同学恰好抽到 “ 立定跳远 ” , “ 耐久跑 ” 两项的概率是多少? (2)据统计,初二三班共 12 名男生参加了 “ 立定跳远 ” 的测试,他们的成绩如下: 95 100 90 82 90 65 89 74 75 93 92 85 这组数据的众数是 ,中位数是

15、; 若将不低于 90 分的成绩评为优秀,请你估计初二年级 180 名男生中 “ 立定跳远 ” 成绩为优秀的学生约为多少人 . 解析 : (1)列表得出所有等可能的情况数,找出恰好抽到 “ 立定跳远 ” , “ 耐久跑 ” 两项的情况数,即可求出所求的概率; (2) 根据已知数据确定出众数与中位数即可; 求出成绩不低于 90 分占的百分比,乘以 180 即可得到结果 . 答案 : (1)列表如下: 1 表示 “ 立定跳远 ” , 2 表示 “ 耐久跑 ” , 3 表示 “ 掷实心球 ” , 4 表示 “ 引体向上 ” 所有等可能的情况数为 12 种,其中恰好抽到 “ 立定跳远 ” , “ 耐久跑

16、 ” 两项的情况有 2 种, 则 P= = ; (2) 根据数据得:众数为 90;中位数为 89.5; 12 名男生中达到优秀的共有 6 人,根据题意得: 180=90 (人 ), 则估计初二年级 180 名男生中 “ 立定跳远 ” 成绩为优秀的学生约为 90 人 . 21.(9 分 )端午节期间,某食堂根据职工食用习惯,用 700 元购进甲、乙两种粽子 260 个,其中甲粽子比乙种粽子少用 100 元, 已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高 20%,乙种粽子的单价是多少元?甲、乙两种粽子各购买了多少个? 解析 : 设乙种粽子的单价是 x 元,则甲种粽子的单价为 (1+20%)x 元,根据甲粽子比

17、乙种粽子少用 100 元,可得甲粽子用了 300 元,乙粽子 400 元,根据共购进甲、乙两种粽子 260个,列方程求解 . 答案: 设乙种粽子的单价是 x 元,则甲种粽子的单价为 (1+20%)x 元, 由题意得, + =260,解得: x=2.5, 经检验: x=2.5 是原分式方程的解, (1+20%)x=3, 则买甲粽子为: =100 个,乙粽子为: =160 个 . 答:乙种粽子的单价是 2.5 元,甲、乙两种粽子各购买 100 个、 160 个 . 22.(9 分 )已知反比例函数 y= (m 为常数 )的图象在一、三象限 . (1)求 m 的取值范围; (2)如图,若该反比例函数

18、的图象经过 ABOD 的顶点 D,点 A、 B 的坐标分别为 (0, 3), (-2,0). 求出函数解析式; 设点 P 是该反比例函数图象上的一点,若 OD=OP,则 P 点的坐标为 ;若以 D、 O、 P 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点 P 的个数为 个 . 解析 : (1)根据反比例函数的性质得 1-2m 0,然后解不等式得到 m 的取值范围; (2) 根据平行四边形的性质得 ADOB , AD=OB=2,易得 D 点坐标为 (2, 3),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得 1-2m=6,则反比例函数解析式为 y= ; 根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点 D 关于

19、原点的对称点 P 满足 OP=OD,则此时 P 点坐标为 (-2, -3);再根据反比例函数 y= 的图象关于直线 y=x 对称,可得点 D(2, 3)关于直线 y=x 对称点 P 满足 OP=OD,此时 P 点坐标为 (3, 2),易得点 (3, 2)关于原点的对称点 P 也满足 OP=OD,此时 P 点坐标为 (-3, -2);由于以 D、 O、 P 为顶点的三角形是等腰三角形,所以以 D 点为顶点可画出点 P1, P2;以 O 点顶点可画出点 P3, P4,如图 . 答案: (1)根据题意得 1-2m 0,解得 m ; (2) 四边形 ABOC 为平行四边形, ADOB , AD=OB=

20、2, 而 A 点坐标为 (0, 3), D 点坐标为 (2, 3), 1 -2m=23=6 , 反比例函数解析式为 y= ; 反比例函数 y= 的图象关于原点中心对称, 当点 P 与点 D 关于原点对称,则 OD=OP,此时 P 点坐标为 (-2, -3), 反比例函数 y= 的图象关于直线 y=x 对称, 点 P 与点 D(2, 3)关于直线 y=x 对称时满足 OP=OD,此时 P点坐标为 (3, 2), 点 (3, 2)关于原点的对称点也满足 OP=OD,此时 P 点坐标为 (-3, -2), 综上所述, P 点的坐标为 (-2, -3), (3, 2), (-3, -2); 由于以 D

21、、 O、 P 为顶点的三角形是等腰三角形,则以 D 点为圆心, DO 为半径画弧交反比例函数图象于点 P1, P2,则点 P1, P2满足条件;以 O 点为圆心, OD 为半径画弧交反比例函数图象于点 P3, P4,则点 P3, P4也满足条件,如图 . 23.(10 分 )如图,在 ABC 中, C=90 , ABC 的平分线交 AC 于点 E,过点 E作 BE 的垂线交 AB 于点 F, O 是 BEF 的外接圆 . (1)求证: AC 是 O 的切线 . (2)过点 E 作 EHAB 于点 H,求证: CD=HF. 解析 : (1)连接 OE,由于 BE 是角平分线,则有 CBE=OBE

22、 ;而 OB=OE,就有 OBE=OEB ,等量代换有 OEB=CBE ,那么利用内错角相等,两直线平行,可得 OEBC ;又 C=90 ,所以 AEO=90 ,即 AC 是 O 的切线; (2)连结 DE, 先根据 AAS 证明 CDEHFE ,再由全等三角形的对应边相等即可得出 CD=HF. 答案: (1)连接 OE. BE 平分 ABC , CBE=OBE , OB=OE , OBE=OEB , OEB=CBE , OEBC , AEO=C=90 , AC 是 O 的切线; (2)如图,连结 DE. CBE=OBE , ECBC 于 C, EHAB 于 H, EC=EH . CDE+BD

23、E=180 , HFE+BDE=180 , CDE=HFE . 在 CDE 与 HFE 中, , CDEHFE (AAS), CD=HF . 24.(11 分 )猜想与证明: 如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF,使 B、 C、 G 三点在一条直线上, CE 在边 CD 上,连接 AF,若 M 为 AF 的中点,连接 DM、 ME,试猜想 DM与 ME的关系,并证明你的结论 . 拓展与延伸: (1)若将 ” 猜想与证明 “ 中的纸片换成正方形纸片 ABCD与正方形纸片 ECGF,其他条件不变,则 DM 和 ME 的关系为 . (2)如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形

24、纸片 ECGF,使点 F 在边 CD 上,点 M 仍为 AF 的中点,试证明 (1)中的结论仍然成立 . 解析 : 猜想:延长 EM 交 AD 于点 H,利用 FMEAMH ,得出 HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明 . (1)延长 EM 交 AD 于点 H,利用 FMEAMH ,得出 HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明, (2)连接 AE, AE 和 EC 在同一条直线上,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明, 答案: 猜想: DM=ME 证明:如图 1,延长 EM 交 AD 于点 H, 四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形,

25、 ADEF , EFM=HAM , 又 FME=AMH , FM=AM, 在 FME 和 AMH 中, , FMEAMH (ASA)HM=EM , 在 RTHDE 中, HM=EM, DM=HM=ME , DM=ME . (1)如图 1,延长 EM 交 AD 于点 H, 四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形, ADEF , EFM=HAM , 又 FME=AMH , FM=AM, 在 FME 和 AMH 中, , FMEAMH (ASA)HM=EM , 在 RTHDE 中, HM=EM, DM=HM=ME , DM=ME , 故答案为: DM=ME. (2)如图 2,连接 AE, 四边形 A

26、BCD 和 ECGF 是正方形, FCE=45 , FCA=45 , AE 和 EC 在同一条直线上, 在 RTADF 中, AM=MF, DM=AM=MF , 在 RTAEF 中, AM=MF, AM=MF=ME , DM=ME . 25.(12 分 )如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )经过 A(-1, 0), B(4, 0), C(0, 2)三点 . (1)求这条抛物线的解析式; (2)E 为抛物线上一动点,是否存在点 E 使以 A、 B、 E 为顶点的三角形与 COB 相似?若存在,试求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若将直线 BC 平移,使其经过点 A,且

27、与抛物线相交于点 D,连接 BD,试求出 BDA 的度数 . 解析 : (1)本题需先根据已知条件,过 C 点,设出该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2,再根据过 A, B 两点,即可得出结果; (2)由图象可知,以 A、 B 为直角顶点的 ABE 不存在,所以 ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形 .由相似关系求出点 E 的坐标; (3)如图 2,连结 AC,作 DEx 轴于点 E,作 BFAD 于点 F,由 BCAD 设 BC的解析式为 y=kx+b,设 AD 的解析式为 y=kx+n,由待定系数法求出一次函数的解析式,就可以求出 D 坐标,由勾股定理就可以求出 BD 的值,由

28、勾股定理的逆定理就可以得出 ACB=90 ,由平行线的性质就可以得出 CAD=90 ,就可以得出四边形 ACBF 是矩形,就可以得出 BF 的值,由勾股定理求出 DF 的值,而得出 DF=BF 而得出结论 . 答案: (1) 该抛物线过点 C(0, 2), 可设该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2. 将 A(-1, 0), B(4, 0)代入, 得 ,解得 , 抛物线的解析式为: y=- x2+ x+2. (2)存在 .由图象可知,以 A、 B 为直角顶点的 ABE 不存在,所以 ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形 . 在 RtBOC 中, OC=2, OB=4, BC= = .

29、 在 RtBOC 中,设 BC 边上的高为 h,则 h= 24 , h= . BEACOB ,设 E 点坐标为 (x, y), = , y=2 将 y=2 代入抛物线 y=- x2+ x+2,得 x1=0, x2=3. 当 y=-2 时,不合题意舍去 .E 点坐标为 (0, 2), (3, 2). (3)如图 2,连结 AC,作 DEx 轴于点 E,作 BFAD 于点 F, BED=BFD=AFB=90 . 设 BC 的解析式为 y=kx+b,由图象,得 , , yBC=- x+2. 由 BCAD ,设 AD 的解析式为 y=- x+n,由图象,得 0=- (-1)+n, n= - , yAD

30、=- x- . - x2+ x+2=- x- , 解得: x1=-1, x2=5, D (-1, 0)与 A 重合,舍去, D(5, -3). DEx 轴, DE=3 , OE=5. 由勾股定理,得 BD= . A (-1, 0), B(4, 0), C(0, 2), OA=1 , OB=4, OC=2.AB=5 在 RtAOC 中, RtBOC 中,由勾股定理,得 AC= , BC=2 , AC 2=5, BC2=20, AB2=25, AC 2+BC2=AB2ACB 是直角三角形, ACB=90 . BCAD , CAF+ACB=180 , CAF=90 . CAF=ACB=AFB=90 , 四边形 ACBF 是矩形, AC=BF= , 在 RtBFD 中,由勾股定理,得 DF= , DF=BF , ADB=45 .

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