1、2014 年山东省威海市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，共 36分 ) 1.(3 分 )若 a3=8，则 a 的绝对值是 ( ) A. 2 B. -2 C. D. - 解析 ： a 3=8， a=2 . 答案： A. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 2x2x 2=2x B. (- a2b)3=- a6b3 C. 3x2+2x2=5x2 D. (x-3)3=x3-9 解析 ： A、 2x2x 2=2，选项错误； B、 (- a2b)3=- a6b3，选项错误； C、正确； D、 (x-3)3=x3-27-9x2+27x，选项错误 . 答案： C. 3.
2、(3 分 )将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x-1 的是 ( ) A. x2-1 B. x(x-2)+(2-x) C. x2-2x+1 D. x2+2x+1 解析 ： A、 x2-1=(x+1)(x-1)，故此选项错误； B、 x(x-2)+(2-x)=(x-2)(x-1)，故此选项错误； C、 x2-2x+1=(x-1)2，故此选项错误； D、 x2+2x+1=(x+1)2，故此选项符合题意 . 答案： D. 4.(3 分 )已知 x2-2=y，则 x(x-3y)+y(3x-1)-2 的值是 ( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 解析 ： x 2-2=y，即 x2-y=2，
3、 原式 =x2-3xy+3xy-y-2=x2-y-2=2-2=0. 答案： B 5.(3 分 )在某中学举行的演讲比赛中，初一年级 5 名参赛选手的成绩如下表所示，请你根据表中提供的数据，计算出这 5 名选手成绩的方差 ( ) A.2 B.6.8 C.34 D.93 解析 ： 观察表格知道 5 名选手的平均成绩为 91 分， 3 号选手的成绩为915 -90-95-89-88=93 分， 所以方差为： (90-91)2+(95-91)2+(93-91)2+(89-91)2+(88-91)2=6.8， 答案： B. 6.(3 分 )用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯
4、视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、此几何体的主视图和俯视图都是 “ ” 字形，故此选项不合题意； B、此几何体的主视图和左视图都是 ，故此选项不合题意； C、此几何体的主视图和左视图都是 ，故此选项不合题意； D、此几何体的主视图是 ，俯视图是 ，左视图是 ，故此选项符合题意， 答案： D. 7.(3 分 )已知点 P(3-m， m-1)在第二象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 已知点 P(3-m， m-1)在第二象限， 3-m 0 且 m-1 0，解得 m 3
5、， m 1， 答案： A. 8.(3 分 )如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、 B、 O 都在格点上，则 AOB的正弦值是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 作 ACOB 于点 C.则 AC= ， AB= = =2 ， 则 sinAOB= = = . 答案： D. 9.(3 分 )如图，在 ABC 中， ABC=50 ， ACB=60 ，点 E 在 BC 的延长线上， ABC 的平分线 BD 与 ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，下列结论中不正确的是 ( ) A. BAC=70 B. DOC=90 C. BDC=35 D. DAC=55 解析 ： AB
6、C=50 ， ACB=60 ， BAC=180 -ABC -ACB=180 -50 -60=70 ，故 A 选项结论正确， BD 平分 ABC ， ABO= ABC= 50=25 ， 在 ABO 中， AOB=180 -BAC -ABO=180 -70 -25=85 ， DOC=AOB=85 ，故 B 选项结论错误； CD 平分 ACE ， ACD= (180 -60 )=60 ， BDC=180 -85 -60=35 ，故 C选项结论正确； BD 、 CD 分别是 ABC 和 ACE 的平分线， AD 是 ABC 的外角平分线， DAC=(180 -70 )=55 ，故 D 选项结论正确 .
7、 答案： B. 10.(3 分 )方程 x2-(m+6)+m2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x2=x1x2，则 m的值是 ( ) A. -2 或 3 B. 3 C. -2 D. -3 或 2 解析 ： x 1+x2=m+6， x1x2=m2， x1+x2=x1x2， m+6=m 2， 解得 m=3 或 m=-2， 方程 x2-(m+6)+m2=0 有两个相等的实数根， =b 2-4ac=(m+6)2-4m2=-3m2+12m+36=0 解得 m=6 或 m=-2m= -2. 答案： C. 11.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图，则下列说法： c=0
8、； 该抛物线的对称轴是直线 x=-1； 当 x=1 时， y=2a； am 2+bm+a 0(m -1). 其中正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： 抛物线与 y 轴交于原点， c=0，故 正确； 该抛物线的对称轴是： ，直线 x=-1，故 正确； 当 x=1 时， y=2a+b+c， 对称轴是直线 x=-1， ， b=2a， 又 c=0 ， y=4a ，故 错误； x=m 对应的函数值为 y=am2+bm+c， x=-1 对应的函数值为 y=a-b+c，又 x=-1 时函数取得最小值， a -b+c am2+bm+c，即 a-b am2+bm， b=2a ，
9、 am 2+bm+a 0(m -1).故 正确 . 答案： C. 12.(3 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中， RtOA 1C1， RtOA 2C2， RtOA 3C3， RtOA 4C4的斜边都在坐标轴上， A 1OC1=A 2OC2=A 3OC3=A 4OC4=30 .若点 A1的坐标为 (3， 0)，OA1=OC2， OA2=OC3， OA3=OC4 ，则依此规律，点 A2014的纵坐标为 ( ) A. 0 B. -3 ( )2013 C. (2 )2014 D. 3 ( )2013 解析 ： A 2OC2=30 ， OA1=OC2=3， OA 2= OC2=3 ； OA 2=
10、OC3=3 ， OA 3= OC3=3 ( )2； OA 3=OC4=3 ( )2， OA 4= OC4=3 ( )3， OA 2014=3 ( )2013， 而 2014=4503+2 ， 点 A2014在 y 轴的正半轴上， 点 A2014的纵坐标为 3 ( )2013. 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，共 18分 ) 13.(3 分 )据威海市旅游局统计，今年 “ 五一 ” 小长假期间，我市各旅游景点门票收入约 2300万元，数据 “2300 万 “ 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 2300 万用科学记数法表示为： 2.310 7. 答案： 2.310 7
11、. 14.(3 分 )计算： - = . 解析 ： 原式 =3 - =3 -2 = . 答案： . 15.(3 分 )直线 l1l 2，一块含 45 角的直角三角板如图放置， 1=85 ，则 2= . 解析 ： l 1l 2， 3=1=85 ， 4=3 -45=85 -45=40 ， 2=4=40 . 故答案为： 40 . 16.(3 分 )一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则 kx+b x+a 的解集是 x -2 . 解析 ： 把 x=-2 代入 y1=kx+b 得， y1=-2k+b， 把 x=-2 代入 y2=x+a 得， y2=-2+a， 由 y1=y2 得 ，
12、-2k+b=-2+a，解得 =2， 解 kx+b x+a 得， (k-1)x a-b， 因为 k 0，所以 k-1 0，解集为： x ，所以 x -2. 17.(3 分 )如图，有一直角三角形纸片 ABC，边 BC=6， AB=10， ACB=90 ，将该直角三角形纸片沿 DE 折叠，使点 A 与点 C 重合，则四边形 DBCE的周长为 . 解析 ： 沿 DE 折叠，使点 A 与点 C 重合， AE=CE ， AD=CD， DCE=A ， BCD=90 -DCE ， 又 B=90 -A ， B=BCD ， BD=CD=AD= =5， DE 为 ABC 的中位线， DE=3， BC=6 ， AB
13、=10， ACB=90 ， ， 四边形 DBCE 的周长为： BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18. 答案： 18. 18.(3 分 )如图， A 与 B 外切于 O 的圆心 O， O 的半径为 1，则阴影部分的面积是 . 解析 ： 如图，连接 DF、 DB、 FB、 OB， O 的半径为 1， OB=BD=BF=1 ， DF= ， S 弓形 ODF=S 扇形 BDF-SBDF = - = - ， S 阴影部分 =SO -4S 弓形 ODF= -4 ( - )= - . 答案： 三、解答题 (共 7 小题，共 66 分 ) 19.(7 分 )解方程组： . 解析 ： 方程组利用加减消元
14、法求出解即可 . 答案 ：方程组整理得： ， - 得： 3y=3，即 y=1， 将 y=1 代入 得： x= ，则方程组的解为 . 20.(8 分 )某学校为了解学生体能情况，规定参加测试的每名学生从 “ 立定跳远 ” ， “ 耐久跑 ” ， “ 掷实心球 ” ， “ 引体向上 ” 四个项目中随机抽取两项作为测试项目 . (1)小明同学恰好抽到 “ 立定跳远 ” ， “ 耐久跑 ” 两项的概率是多少？ (2)据统计，初二三班共 12 名男生参加了 “ 立定跳远 ” 的测试，他们的成绩如下： 95 100 90 82 90 65 89 74 75 93 92 85 这组数据的众数是 ，中位数是
15、； 若将不低于 90 分的成绩评为优秀，请你估计初二年级 180 名男生中 “ 立定跳远 ” 成绩为优秀的学生约为多少人 . 解析 ： (1)列表得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到 “ 立定跳远 ” ， “ 耐久跑 ” 两项的情况数，即可求出所求的概率； (2) 根据已知数据确定出众数与中位数即可； 求出成绩不低于 90 分占的百分比，乘以 180 即可得到结果 . 答案 ： (1)列表如下： 1 表示 “ 立定跳远 ” ， 2 表示 “ 耐久跑 ” ， 3 表示 “ 掷实心球 ” ， 4 表示 “ 引体向上 ” 所有等可能的情况数为 12 种，其中恰好抽到 “ 立定跳远 ” ， “ 耐久跑
16、 ” 两项的情况有 2 种， 则 P= = ； (2) 根据数据得：众数为 90；中位数为 89.5； 12 名男生中达到优秀的共有 6 人，根据题意得： 180=90 (人 )， 则估计初二年级 180 名男生中 “ 立定跳远 ” 成绩为优秀的学生约为 90 人 . 21.(9 分 )端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用 700 元购进甲、乙两种粽子 260 个，其中甲粽子比乙种粽子少用 100 元， 已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高 20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？ 解析 ： 设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为 (1+20%)x 元，根据甲粽子比
17、乙种粽子少用 100 元，可得甲粽子用了 300 元，乙粽子 400 元，根据共购进甲、乙两种粽子 260个，列方程求解 . 答案： 设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为 (1+20%)x 元， 由题意得， + =260，解得： x=2.5， 经检验： x=2.5 是原分式方程的解， (1+20%)x=3， 则买甲粽子为： =100 个，乙粽子为： =160 个 . 答：乙种粽子的单价是 2.5 元，甲、乙两种粽子各购买 100 个、 160 个 . 22.(9 分 )已知反比例函数 y= (m 为常数 )的图象在一、三象限 . (1)求 m 的取值范围； (2)如图，若该反比例函数
18、的图象经过 ABOD 的顶点 D，点 A、 B 的坐标分别为 (0， 3)， (-2，0). 求出函数解析式； 设点 P 是该反比例函数图象上的一点，若 OD=OP，则 P 点的坐标为 ；若以 D、 O、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 的个数为 个 . 解析 ： (1)根据反比例函数的性质得 1-2m 0，然后解不等式得到 m 的取值范围； (2) 根据平行四边形的性质得 ADOB ， AD=OB=2，易得 D 点坐标为 (2， 3)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得 1-2m=6，则反比例函数解析式为 y= ； 根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点 D 关于
19、原点的对称点 P 满足 OP=OD，则此时 P 点坐标为 (-2， -3)；再根据反比例函数 y= 的图象关于直线 y=x 对称，可得点 D(2， 3)关于直线 y=x 对称点 P 满足 OP=OD，此时 P 点坐标为 (3， 2)，易得点 (3， 2)关于原点的对称点 P 也满足 OP=OD，此时 P 点坐标为 (-3， -2)；由于以 D、 O、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，所以以 D 点为顶点可画出点 P1， P2；以 O 点顶点可画出点 P3， P4，如图 . 答案： (1)根据题意得 1-2m 0，解得 m ； (2) 四边形 ABOC 为平行四边形， ADOB ， AD=OB=
20、2， 而 A 点坐标为 (0， 3)， D 点坐标为 (2， 3)， 1 -2m=23=6 ， 反比例函数解析式为 y= ； 反比例函数 y= 的图象关于原点中心对称， 当点 P 与点 D 关于原点对称，则 OD=OP，此时 P 点坐标为 (-2， -3)， 反比例函数 y= 的图象关于直线 y=x 对称， 点 P 与点 D(2， 3)关于直线 y=x 对称时满足 OP=OD，此时 P点坐标为 (3， 2)， 点 (3， 2)关于原点的对称点也满足 OP=OD，此时 P 点坐标为 (-3， -2)， 综上所述， P 点的坐标为 (-2， -3)， (3， 2)， (-3， -2)； 由于以 D
21、、 O、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，则以 D 点为圆心， DO 为半径画弧交反比例函数图象于点 P1， P2，则点 P1， P2满足条件；以 O 点为圆心， OD 为半径画弧交反比例函数图象于点 P3， P4，则点 P3， P4也满足条件，如图 . 23.(10 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E作 BE 的垂线交 AB 于点 F， O 是 BEF 的外接圆 . (1)求证： AC 是 O 的切线 . (2)过点 E 作 EHAB 于点 H，求证： CD=HF. 解析 ： (1)连接 OE，由于 BE 是角平分线，则有 CBE=OBE
22、 ；而 OB=OE，就有 OBE=OEB ，等量代换有 OEB=CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得 OEBC ；又 C=90 ，所以 AEO=90 ，即 AC 是 O 的切线； (2)连结 DE， 先根据 AAS 证明 CDEHFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出 CD=HF. 答案： (1)连接 OE. BE 平分 ABC ， CBE=OBE ， OB=OE ， OBE=OEB ， OEB=CBE ， OEBC ， AEO=C=90 ， AC 是 O 的切线； (2)如图，连结 DE. CBE=OBE ， ECBC 于 C， EHAB 于 H， EC=EH . CDE+BD
23、E=180 ， HFE+BDE=180 ， CDE=HFE . 在 CDE 与 HFE 中， ， CDEHFE (AAS)， CD=HF . 24.(11 分 )猜想与证明： 如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF，使 B、 C、 G 三点在一条直线上， CE 在边 CD 上，连接 AF，若 M 为 AF 的中点，连接 DM、 ME，试猜想 DM与 ME的关系，并证明你的结论 . 拓展与延伸： (1)若将 ” 猜想与证明 “ 中的纸片换成正方形纸片 ABCD与正方形纸片 ECGF，其他条件不变，则 DM 和 ME 的关系为 . (2)如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形
24、纸片 ECGF，使点 F 在边 CD 上，点 M 仍为 AF 的中点，试证明 (1)中的结论仍然成立 . 解析 ： 猜想：延长 EM 交 AD 于点 H，利用 FMEAMH ，得出 HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明 . (1)延长 EM 交 AD 于点 H，利用 FMEAMH ，得出 HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明， (2)连接 AE， AE 和 EC 在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明， 答案： 猜想： DM=ME 证明：如图 1，延长 EM 交 AD 于点 H， 四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形，
25、 ADEF ， EFM=HAM ， 又 FME=AMH ， FM=AM， 在 FME 和 AMH 中， ， FMEAMH (ASA)HM=EM ， 在 RTHDE 中， HM=EM， DM=HM=ME ， DM=ME . (1)如图 1，延长 EM 交 AD 于点 H， 四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形， ADEF ， EFM=HAM ， 又 FME=AMH ， FM=AM， 在 FME 和 AMH 中， ， FMEAMH (ASA)HM=EM ， 在 RTHDE 中， HM=EM， DM=HM=ME ， DM=ME ， 故答案为： DM=ME. (2)如图 2，连接 AE， 四边形 A
26、BCD 和 ECGF 是正方形， FCE=45 ， FCA=45 ， AE 和 EC 在同一条直线上， 在 RTADF 中， AM=MF， DM=AM=MF ， 在 RTAEF 中， AM=MF， AM=MF=ME ， DM=ME . 25.(12 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )经过 A(-1， 0)， B(4， 0)， C(0， 2)三点 . (1)求这条抛物线的解析式； (2)E 为抛物线上一动点，是否存在点 E 使以 A、 B、 E 为顶点的三角形与 COB 相似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将直线 BC 平移，使其经过点 A，且
27、与抛物线相交于点 D，连接 BD，试求出 BDA 的度数 . 解析 ： (1)本题需先根据已知条件，过 C 点，设出该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2，再根据过 A， B 两点，即可得出结果； (2)由图象可知，以 A、 B 为直角顶点的 ABE 不存在，所以 ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形 .由相似关系求出点 E 的坐标； (3)如图 2，连结 AC，作 DEx 轴于点 E，作 BFAD 于点 F，由 BCAD 设 BC的解析式为 y=kx+b，设 AD 的解析式为 y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出 D 坐标，由勾股定理就可以求出 BD 的值，由
28、勾股定理的逆定理就可以得出 ACB=90 ，由平行线的性质就可以得出 CAD=90 ，就可以得出四边形 ACBF 是矩形，就可以得出 BF 的值，由勾股定理求出 DF 的值，而得出 DF=BF 而得出结论 . 答案： (1) 该抛物线过点 C(0， 2)， 可设该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2. 将 A(-1， 0)， B(4， 0)代入， 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为： y=- x2+ x+2. (2)存在 .由图象可知，以 A、 B 为直角顶点的 ABE 不存在，所以 ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形 . 在 RtBOC 中， OC=2， OB=4， BC= = .
29、 在 RtBOC 中，设 BC 边上的高为 h，则 h= 24 ， h= . BEACOB ，设 E 点坐标为 (x， y)， = ， y=2 将 y=2 代入抛物线 y=- x2+ x+2，得 x1=0， x2=3. 当 y=-2 时，不合题意舍去 .E 点坐标为 (0， 2)， (3， 2). (3)如图 2，连结 AC，作 DEx 轴于点 E，作 BFAD 于点 F， BED=BFD=AFB=90 . 设 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得 ， ， yBC=- x+2. 由 BCAD ，设 AD 的解析式为 y=- x+n，由图象，得 0=- (-1)+n， n= - ， yAD
30、=- x- . - x2+ x+2=- x- ， 解得： x1=-1， x2=5， D (-1， 0)与 A 重合，舍去， D(5， -3). DEx 轴， DE=3 ， OE=5. 由勾股定理，得 BD= . A (-1， 0)， B(4， 0)， C(0， 2)， OA=1 ， OB=4， OC=2.AB=5 在 RtAOC 中， RtBOC 中，由勾股定理，得 AC= ， BC=2 ， AC 2=5， BC2=20， AB2=25， AC 2+BC2=AB2ACB 是直角三角形， ACB=90 . BCAD ， CAF+ACB=180 ， CAF=90 . CAF=ACB=AFB=90 ， 四边形 ACBF 是矩形， AC=BF= ， 在 RtBFD 中，由勾股定理，得 DF= ， DF=BF ， ADB=45 .
