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【考研类试卷】考研数学一-241及答案解析.doc

1、考研数学一-241 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.当 x0 时,e x-(ax2+bx+1)是 x2高阶的无穷小,则_。ABa=1,b=1C (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 y=f(x)是方程 y-2y+4y=0 的一个解,且 f(x0)0,f(x 0)=0,则函数 f(x)在点 x0处_。 A.取得极大值 B.取得极小值 C.某领域内单调增加 D.某领域内单调减少(分数:4.00)A.B.C.D.3.在曲线 x=t,y=-t 2,z=t 3的所有切线中,与平面 x+2y+z=4 平行的切线_。 A.只有 1

2、 条 B.只有 2 条 C.至少有 3 条 D.不存在(分数:4.00)A.B.C.D.4.微分方程 y-y=e x+1 的一个特解应具有形式(式中 a,b 为常数)_。 A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx(分数:4.00)A.B.C.D.5.设 则三条直线 a1x+b1y+c1=0,a 2x+b2y+c2=0,a 3x+b3y+c3=0(其中 (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A,B 为 n 阶矩阵,考虑以下命题:若 A,B 为等价矩阵,则 A,B 的行向量组等价.若行列式丨 A 丨=丨 B 丨,则 A,B 为等阶矩阵.若 Ax=0 与 Bx=0

3、都只有零解,则 A,B 为等阶矩阵.若 A,B 为相似矩阵,则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同.以上命题中正确的是 A. B. C. D.(分数:4.00)A.B.C.D.7.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A 1=掷第一次出现正面,A 2=掷第二次出现正面,A 3=正反面各出现一次,A 4=正面出现两次,则事件_。 A.A1,A 2,A 3相互独立 B.A2,A 3,A 4相互独立 C.A1,A 2,A 3两两独立 D.A2,A 3,A 4两两独立(分数:4.00)A.B.C.D.8.设随机变量 X1,X 2,X 3,X 4独立同分布,且都服从正态分布 N(1,1),且 服从

4、2(n)分布,则 k 和n 分别为_。ABCD (分数:4.00)A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.= 1. (分数:4.00)填空项 1:_10.设 ,-x+,其中 (分数:4.00)填空项 1:_11.设平面区域 D 由圆弧 x2+y2=1(x0,y0)与两条直线 x=1 及 y=1 所围成,则 D 的形心坐标为_(分数:4.00)填空项 1:_12.设 L 是圆周 x2+y2=a2,计算 I= L(x2+y3)dl=_(分数:4.00)填空项 1:_13.设 (分数:4.00)填空项 1:_14.设袋中有 n 张卡片,记号码为 1,2,n,从中任取 m(

5、1mn)张,求号码之和的数学期望_(分数:4.00)填空项 1:_三、B解答题/B(总题数:9,分数:94.00)15.由方程组 确定 y 为 x 的函数,求 (分数:10.00)_16.设 f(x),g(x)为有界闭区间a,b上的连续函数,且有数列x n (分数:10.00)_17.求幂级数 (分数:10.00)_18.设 f(u)连续, ,L:x 2+y2=1,D 为 L 所围的圆域,计算 (分数:10.00)_19.将抛物线 y=x2-ax 在横坐标 0 与 c(ca0)之间的弧段绕 x 轴旋转,问 c 为何值时,所得旋转体体积V 等于弦 OP(P 为抛物线 x=c 的交点)绕 x 轴旋

6、转所得锥体的体积 V 锥 .(分数:10.00)_20.设三阶矩阵 B 满足 (分数:11.00)_21.已知二次型 (分数:11.00)_22.设(X,Y)在曲线 y=x2与 x=y2所围成的区域 D 中服从均匀分布,试求:(1)(X,Y)的联合密度;(2)边缘密度 (分数:11.00)_23.设总体 X 的概率密度函数为 (分数:11.00)_考研数学一-241 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.当 x0 时,e x-(ax2+bx+1)是 x2高阶的无穷小,则_。ABa=1,b=1C (分数:4.00)A. B.C.D

7、.解析:解析 因*显然要使上式为 x2高阶的无穷小(x0 时),只要*故选 A.2.设 y=f(x)是方程 y-2y+4y=0 的一个解,且 f(x0)0,f(x 0)=0,则函数 f(x)在点 x0处_。 A.取得极大值 B.取得极小值 C.某领域内单调增加 D.某领域内单调减少(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由 f(x 0)=0 知 x=x0是函数 y=f(x)的驻点. 将 x=x0代入方程,得 y(x 0)-2y(x 0)+4y(x0)=0.考虑到 y(x 0)=f(x 0)=0,y(x 0)=f(x 0),y(x 0)=f(x0)0,有 f(x 0)=-4f(x0)0,

8、由极值的第二判定定理知 f(x)在点 x0处取得极大值. 故选 A.3.在曲线 x=t,y=-t 2,z=t 3的所有切线中,与平面 x+2y+z=4 平行的切线_。 A.只有 1 条 B.只有 2 条 C.至少有 3 条 D.不存在(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 因曲线 x=t,y=-t 2,z=t 3在其上任一点处的切向量为 =(1,-2t,3t 2),而平面 x+2y+z=4的法向量为 n=(1,2,1).由题设可知,n,则有 n=1-4t+3t 2=0.因为此方程有两个不相等的实根,所以满足题设的切线只有两条,故选 B.4.微分方程 y-y=e x+1 的一个特解应具有

9、形式(式中 a,b 为常数)_。 A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由非齐次方程解的叠加性质可知,方程 y-y=e x+1 的特解应为方程 y-y=e x与 y-y=1 的特解之和. 由于特征方程为 r2-1=0,解得 r=1.所以方程 y-y=e x的特解形式为 y1*=axex;y-y=1 的特解形式为 y2*=b.于是原非齐次方程的特解形式为 y*=y1*+y2*=axex+b.故选 B.5.设 则三条直线 a1x+b1y+c1=0,a 2x+b2y+c2=0,a 3x+b3y+c3=0(其中 (分数:4

10、.00)A.B.C.D. 解析:解析 三直线交于一点的充分必要条件是线性方程组*或 x 1+y 2+ 3=0 有唯一解. 由可得 3=-x 1- 2.从而得方程组(或)有唯一解*可由 1, 2线性表示,且表示式唯一* 1, 2, 3线性相关, 1, 2线性无关.故选 D.6.设 A,B 为 n 阶矩阵,考虑以下命题:若 A,B 为等价矩阵,则 A,B 的行向量组等价.若行列式丨 A 丨=丨 B 丨,则 A,B 为等阶矩阵.若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解,则 A,B 为等阶矩阵.若 A,B 为相似矩阵,则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同.以上命题中正确的是 A. B. C.

11、D.(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 A,B 等价推不出 A,B 的行向量组等价. 如: *, A,B 等价,但 A,B 行向量组并不等价. 可排除 A. 若丨 A 丨=丨 B 丨,但 r(A)未必与 r(B)相等,可排除 B、C. 故选 D.7.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A 1=掷第一次出现正面,A 2=掷第二次出现正面,A 3=正反面各出现一次,A 4=正面出现两次,则事件_。 A.A1,A 2,A 3相互独立 B.A2,A 3,A 4相互独立 C.A1,A 2,A 3两两独立 D.A2,A 3,A 4两两独立(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 显然*,且

12、 A1与 A2相互独立.由于*,所以*故选 C.8.设随机变量 X1,X 2,X 3,X 4独立同分布,且都服从正态分布 N(1,1),且 服从 2(n)分布,则 k 和n 分别为_。ABCD (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 *二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.= 1. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:解析 *10.设 ,-x+,其中 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 因 f(x)是定义在0,1上的分段连续函数,*为其间断点. 而 s(x)是 f(x)作偶延拓后得到的余弦级数(偶函数),且周期为 2,由狄里克

13、莱收敛定理有*11.设平面区域 D 由圆弧 x2+y2=1(x0,y0)与两条直线 x=1 及 y=1 所围成,则 D 的形心坐标为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 D 及 D1如右图所示*12.设 L 是圆周 x2+y2=a2,计算 I= L(x2+y3)dl=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:a 3)解析:解析 I= Lx2dl + Ly3dl,由于 L 的对称性,x 2为偶函数,所以*对于 Ly3dl,由于 L 是关于 x 轴对称的,f(x,y)=y 3是关于 y 的奇函数,故 Ly3dl=0.故 I= L(x2+y3)dl=a 3.13.设

14、(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:x+y=0)解析:解析 * 显然要使 A 有三个线性无关的特征向量,必须使 =1 有两个线性无关的特征向量,即 r(A-E)=1. 因为 *14.设袋中有 n 张卡片,记号码为 1,2,n,从中任取 m(1mn)张,求号码之和的数学期望_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 设 X 表示取出的 m 张号码之和,m 个号码分别为 X1,X 2,X m.显然 X=X1+X2+Xm.假设每张卡片被抽到的可能性相等,于是*三、B解答题/B(总题数:9,分数:94.00)15.由方程组 确定 y 为 x 的函数,求 (分数:10.00

15、)_正确答案:(方程组的两个方程的两边对 t 求导,得 *)解析:16.设 f(x),g(x)为有界闭区间a,b上的连续函数,且有数列x n (分数:10.00)_正确答案:(因为有界闭区间上的连续函数是有界的,所以数列f(x n),g(x n)均有上界,从而它们的极限都存在. 令*,故数列f(x n),g(x n)的极限都等于 A. 最后取数列x n的一个收敛子列x nk(在有界闭区间内这样的子列必然存在),并设*x 0a,b,于是由 f(x),g(x)的连续性,有*)解析:17.求幂级数 (分数:10.00)_正确答案:(*故 f(x)=(1+x2)arctanx,-1,1.)解析:18.

16、设 f(u)连续, ,L:x 2+y2=1,D 为 L 所围的圆域,计算 (分数:10.00)_正确答案:(*令*(1)先求 I1.*(2)再求 I2.*故 I=I1+I2=0+A=A.)解析:19.将抛物线 y=x2-ax 在横坐标 0 与 c(ca0)之间的弧段绕 x 轴旋转,问 c 为何值时,所得旋转体体积V 等于弦 OP(P 为抛物线 x=c 的交点)绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 .(分数:10.00)_正确答案:(如下图所示,*阴影部分绕 x 轴旋转所得旋转体体积 V 为*,弦 OP 绕 x 轴旋转所得锥体体积 V 锥 为*,由题设 V=V 锥 ,则有*)解析:20.设三阶矩

17、阵 B 满足 (分数:11.00)_正确答案:(*. 因为 A 是 3 阶矩阵,所以*,于是*,原方程化简为 ABA-1=AB+2E. 左乘 A-1,右乘 A 有 B=BA+2E,故*)解析:21.已知二次型 (分数:11.00)_正确答案:(1)二次型对应矩阵为 *, 由 r(A)=2*丨 A 丨=24-72=0,=3. * (2)当*时,f 表示椭圆柱面.)解析:22.设(X,Y)在曲线 y=x2与 x=y2所围成的区域 D 中服从均匀分布,试求:(1)(X,Y)的联合密度;(2)边缘密度 (分数:11.00)_正确答案:(如下图所示,区域 D 的面积 *, 所以(X,Y)的联合密度 * * (2) * (3) *)解析:23.设总体 X 的概率密度函数为 (分数:11.00)_正确答案:(1)总体 X 的数学期望为*,设*为样本均值,令*,可解得未知参数 的矩估计量为*.(2)设 x1,x 2,x 3,x n是相应于 X1,X 2,X n的样本值,则似然函数为*.当 0x i1(i=1,2,n)时,L0,且*0,解得 的最大似然估计值为*,从而得到 的最大似然估计量为*)解析:

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