1、考研数学一-241 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，e x-(ax2+bx+1)是 x2高阶的无穷小，则_。ABa=1，b=1C （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=f(x)是方程 y-2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点 x0处_。 A.取得极大值 B.取得极小值 C.某领域内单调增加 D.某领域内单调减少（分数：4.00）A.B.C.D.3.在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_。 A.只有 1
2、 条 B.只有 2 条 C.至少有 3 条 D.不存在（分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y-y=e x+1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数)_。 A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 则三条直线 a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，则 A，B 的行向量组等价.若行列式丨 A 丨=丨 B 丨，则 A，B 为等阶矩阵.若 Ax=0 与 Bx=0
3、都只有零解，则 A，B 为等阶矩阵.若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同.以上命题中正确的是 A. B. C. D.（分数：4.00）A.B.C.D.7.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面，A 3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次，则事件_。 A.A1，A 2，A 3相互独立 B.A2，A 3，A 4相互独立 C.A1，A 2，A 3两两独立 D.A2，A 3，A 4两两独立（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4独立同分布，且都服从正态分布 N(1,1)，且 服从
4、2(n)分布，则 k 和n 分别为_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.= 1. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，-x+，其中 （分数：4.00）填空项 1:_11.设平面区域 D 由圆弧 x2+y2=1(x0，y0)与两条直线 x=1 及 y=1 所围成，则 D 的形心坐标为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 是圆周 x2+y2=a2，计算 I= L(x2+y3)dl=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设袋中有 n 张卡片，记号码为 1，2，n，从中任取 m(
5、1mn)张，求号码之和的数学期望_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.由方程组 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：10.00）_16.设 f(x)，g(x)为有界闭区间a，b上的连续函数，且有数列x n （分数：10.00）_17.求幂级数 （分数：10.00）_18.设 f(u)连续， ，L：x 2+y2=1，D 为 L 所围的圆域，计算 （分数：10.00）_19.将抛物线 y=x2-ax 在横坐标 0 与 c(ca0)之间的弧段绕 x 轴旋转，问 c 为何值时，所得旋转体体积V 等于弦 OP(P 为抛物线 x=c 的交点)绕 x 轴旋
6、转所得锥体的体积 V 锥 .（分数：10.00）_20.设三阶矩阵 B 满足 （分数：11.00）_21.已知二次型 （分数：11.00）_22.设(X，Y)在曲线 y=x2与 x=y2所围成的区域 D 中服从均匀分布，试求：(1)(X，Y)的联合密度；(2)边缘密度 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_考研数学一-241 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，e x-(ax2+bx+1)是 x2高阶的无穷小，则_。ABa=1，b=1C （分数：4.00）A. B.C.D
7、.解析：解析 因*显然要使上式为 x2高阶的无穷小(x0 时)，只要*故选 A.2.设 y=f(x)是方程 y-2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点 x0处_。 A.取得极大值 B.取得极小值 C.某领域内单调增加 D.某领域内单调减少（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 f(x 0)=0 知 x=x0是函数 y=f(x)的驻点. 将 x=x0代入方程，得 y(x 0)-2y(x 0)+4y(x0)=0.考虑到 y(x 0)=f(x 0)=0，y(x 0)=f(x 0)，y(x 0)=f(x0)0，有 f(x 0)=-4f(x0)0，
8、由极值的第二判定定理知 f(x)在点 x0处取得极大值. 故选 A.3.在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_。 A.只有 1 条 B.只有 2 条 C.至少有 3 条 D.不存在（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3在其上任一点处的切向量为 =(1，-2t，3t 2)，而平面 x+2y+z=4的法向量为 n=(1，2，1).由题设可知，n，则有 n=1-4t+3t 2=0.因为此方程有两个不相等的实根，所以满足题设的切线只有两条，故选 B.4.微分方程 y-y=e x+1 的一个特解应具有
9、形式(式中 a，b 为常数)_。 A.aex+b B.axex+b C.aex+bx D.axex+bx（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由非齐次方程解的叠加性质可知，方程 y-y=e x+1 的特解应为方程 y-y=e x与 y-y=1 的特解之和. 由于特征方程为 r2-1=0，解得 r=1.所以方程 y-y=e x的特解形式为 y1*=axex；y-y=1 的特解形式为 y2*=b.于是原非齐次方程的特解形式为 y*=y1*+y2*=axex+b.故选 B.5.设 则三条直线 a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 （分数：4
10、.00）A.B.C.D. 解析：解析 三直线交于一点的充分必要条件是线性方程组*或 x 1+y 2+ 3=0 有唯一解. 由可得 3=-x 1- 2.从而得方程组(或)有唯一解*可由 1， 2线性表示，且表示式唯一* 1， 2， 3线性相关， 1， 2线性无关.故选 D.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，则 A，B 的行向量组等价.若行列式丨 A 丨=丨 B 丨，则 A，B 为等阶矩阵.若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解，则 A，B 为等阶矩阵.若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同.以上命题中正确的是 A. B. C.
11、D.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A，B 等价推不出 A，B 的行向量组等价. 如： *， A，B 等价，但 A，B 行向量组并不等价. 可排除 A. 若丨 A 丨=丨 B 丨，但 r(A)未必与 r(B)相等，可排除 B、C. 故选 D.7.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面，A 3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次，则事件_。 A.A1，A 2，A 3相互独立 B.A2，A 3，A 4相互独立 C.A1，A 2，A 3两两独立 D.A2，A 3，A 4两两独立（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然*，且
12、 A1与 A2相互独立.由于*，所以*故选 C.8.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4独立同分布，且都服从正态分布 N(1,1)，且 服从 2(n)分布，则 k 和n 分别为_。ABCD （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.= 1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 *10.设 ，-x+，其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因 f(x)是定义在0，1上的分段连续函数，*为其间断点. 而 s(x)是 f(x)作偶延拓后得到的余弦级数(偶函数)，且周期为 2，由狄里克
13、莱收敛定理有*11.设平面区域 D 由圆弧 x2+y2=1(x0，y0)与两条直线 x=1 及 y=1 所围成，则 D 的形心坐标为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 D 及 D1如右图所示*12.设 L 是圆周 x2+y2=a2，计算 I= L(x2+y3)dl=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 3）解析：解析 I= Lx2dl + Ly3dl，由于 L 的对称性，x 2为偶函数，所以*对于 Ly3dl，由于 L 是关于 x 轴对称的，f(x，y)=y 3是关于 y 的奇函数，故 Ly3dl=0.故 I= L(x2+y3)dl=a 3.13.设
14、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x+y=0）解析：解析 * 显然要使 A 有三个线性无关的特征向量，必须使 =1 有两个线性无关的特征向量，即 r(A-E)=1. 因为 *14.设袋中有 n 张卡片，记号码为 1，2，n，从中任取 m(1mn)张，求号码之和的数学期望_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 设 X 表示取出的 m 张号码之和，m 个号码分别为 X1，X 2，X m.显然 X=X1+X2+Xm.假设每张卡片被抽到的可能性相等，于是*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.由方程组 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：10.00
15、）_正确答案：(方程组的两个方程的两边对 t 求导，得 *)解析：16.设 f(x)，g(x)为有界闭区间a，b上的连续函数，且有数列x n （分数：10.00）_正确答案：(因为有界闭区间上的连续函数是有界的，所以数列f(x n)，g(x n)均有上界，从而它们的极限都存在. 令*，故数列f(x n)，g(x n)的极限都等于 A. 最后取数列x n的一个收敛子列x nk(在有界闭区间内这样的子列必然存在)，并设*x 0a，b，于是由 f(x)，g(x)的连续性，有*)解析：17.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(*故 f(x)=(1+x2)arctanx，-1,1.)解析：18.
16、设 f(u)连续， ，L：x 2+y2=1，D 为 L 所围的圆域，计算 （分数：10.00）_正确答案：(*令*(1)先求 I1.*(2)再求 I2.*故 I=I1+I2=0+A=A.)解析：19.将抛物线 y=x2-ax 在横坐标 0 与 c(ca0)之间的弧段绕 x 轴旋转，问 c 为何值时，所得旋转体体积V 等于弦 OP(P 为抛物线 x=c 的交点)绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 .（分数：10.00）_正确答案：(如下图所示，*阴影部分绕 x 轴旋转所得旋转体体积 V 为*，弦 OP 绕 x 轴旋转所得锥体体积 V 锥 为*，由题设 V=V 锥 ，则有*)解析：20.设三阶矩
17、阵 B 满足 （分数：11.00）_正确答案：(*. 因为 A 是 3 阶矩阵，所以*，于是*，原方程化简为 ABA-1=AB+2E. 左乘 A-1，右乘 A 有 B=BA+2E，故*)解析：21.已知二次型 （分数：11.00）_正确答案：(1)二次型对应矩阵为 *， 由 r(A)=2*丨 A 丨=24-72=0,=3. * (2)当*时，f 表示椭圆柱面.)解析：22.设(X，Y)在曲线 y=x2与 x=y2所围成的区域 D 中服从均匀分布，试求：(1)(X，Y)的联合密度；(2)边缘密度 （分数：11.00）_正确答案：(如下图所示，区域 D 的面积 *， 所以(X，Y)的联合密度 * * (2) * (3) *)解析：23.设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：(1)总体 X 的数学期望为*，设*为样本均值，令*，可解得未知参数 的矩估计量为*.(2)设 x1，x 2，x 3，x n是相应于 X1，X 2，X n的样本值，则似然函数为*.当 0x i1(i=1，2，n)时，L0，且*0，解得 的最大似然估计值为*，从而得到 的最大似然估计量为*)解析：
