1、考研数学（数学一）模拟试卷 444 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f()连续，除个别点外二阶可导，其导函数 yf()的图像如图(1)，令函数 yf()的驻点的个数为 P，极值点的个数为 q，曲线 yf()拐点的个数为 r，则（A）Pqr3（B） P3，qr2（C） P3，q2，r3（D）P3，q2，r12 下列等式或不等式中正确的共有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 下列级数中属于条件收敛的是（A）（B）（C）（D）4 设 F(，y) 在点 (0，y 0)某邻域有连续的偏导数，F( 0，y 0)0，则 Fy(0，y
2、0)0 是F(，y)0 在点 (0，y 0)某邻域能确定一个连续函数 yy()，它满足 y0y( 0)，并有连续的导数的_条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充分且必要（D）既不充分又不必要5 下列矩阵中正定的是（A）（B）（C）（D）6 n 维向量组() 1， 2， ， s 和() 1， 2， t 等价的充分必要条件是（A）r()：r( ) ，并且 st（B） r() r()n（C） ()的极大无关组和()的极大无关组等价（D）() 和 ()都线性无关，并且 st7 盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的现向盒中放入一个铜币，然后随机从盒中取出
3、一个分币，则这个分币为铜币的概率是（A）（B）（C）（D）8 在区间(1，1) 上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(1， 1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（A）X 与X相关，且相关系数 1（B） X 与X相关，但1（C） X 与X不相关，且也不独立（D）X 与X相互独立二、填空题9 质量为 M，长为 l 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 C 的引力 F ，其中 k 为引力常数现将质点 C 在杆的延长线上从距离近端 r0 处移至无穷远时，则引力做的功为_10 微分方程 y4ycos2
4、的通解为 y_ 11 微分方程 y 的通解为_12 曲线 ： ，在点 p( ，2)处的切线方程是_13 已知 1(1 ，2，1) T， 2(1，3，2) T， 3 (4，11，6) T矩阵 A 满足A1(0 ，2) T，A 2(5 ，2) T，A 3(3，7) T，则 A_14 假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是P(0P1) 现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX3，则 P_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()已知由参数方程 确定了可导函数 yf()，求证：0 是 yf()的极大值点 ()设 F(，
5、y) 在( 0， y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(0，y 0) F(0，y 0)0，F y(0，y 0)0，F (0，y 0)0由方程 F(，y)0在 0 的某邻域确定的隐函数 yy() ，它有连续的二阶导，且 y(0)y 0，求证 y()以 0 为极小值点16 设函数 z z(，y)由方程 z 确定，其中 ()求dz () 求曲面 zz(， y)上任意点(，y，z)处的切平面方程及该切平面在 Oz 轴上的截距17 求函数 g()e 6a 的零点个数，其中 a0 为参数18 ()设 f()在(0，) 可导，f() 0( (0，)，求证 f()在(0，)单调上升 ( )求证： f() 在
6、(0，)单调上升，其中 n 为正数 ()设数列19 设 P(，y) ， ()求 ()求 J CP(，y)dQ(，y)dy，其中 C 是圆周 2y 23 2，取逆时针方向20 设 4 阶矩阵 A( 1， 2， 3， 4)，方程组 A 的通解为(1 ，2，2，1)T c(1，2，4，0) T，c 任意 记 B( 3， 2， 1， 4)求方程组 B 1 2的通解21 设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A2E，并且 r(AE)kn 求二次型 TA的规范形 证明 BEAA 2A 3A 4 是正定矩阵，并求B22 有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红
7、球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数，试求：()(X，Y)的联合分布；()cov(X ， Y)cov(Y，Z) 23 设随机变量 XiN(0，1)，i1，2 且相互独立，令Y1 ，Y 2X 12X 22，试分别计算随机变量 Y1 与 Y2 的概率密度考研数学（数学一）模拟试卷 444 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 a，b ，c，d，e 各点如图，根据驻点，极值点，拐点的概念及判别法知：驻点是：
8、a，c，e因为 a，c ，e 时，f() 0驻点中只有a，c 是极值点，因为 a，c 两侧导数变号e 两侧导数均负，f()是单调下降的，e 不是极值点b 是 f()的连续而不可导点，b 两侧的导数均正，b 也不是 f()的极值点 (，f( 0)为拐点的必要条件是：f( 0)0 或 f( 0)不 ，即 f( 0) 时 0。是 f()的驻点d，e 是 f()的驻点且这些点的两侧 f()的单调性相反即 yf() 的图形的凹凸性相反，(d，f(d)，(e，f(e)是拐点f(b)不 ，但 b 是 f()的连续点，b 两侧 f()的单调性相反，因而(b，f(b)也是拐点综上分析，应选 C2 【正确答案】
9、B【试题解析】 要逐一分析 对于：由可知正确 对于 ：因为 arctan 在点 0 处无定义，不能在1，1上用牛顿一莱布尼兹公式，因此不正确事实上对于：易知 0f(0) ，故 f()在1，1上连续，且是奇函数 -11f()d0故正确 对于：这里 g() 在( ，)连续，虽是奇函数，但 g()d 发散，因为故不正确 综卜分析应选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，B，C 不是条件收敛由其中发散由因此应选 D4 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数 定理知，在题设条件下，F y(0，y 0)0 是方程 F(0，y 0)0 在点( 0，y 0)某邻域能确定一个连续函数 yy()，满足
10、y0y( 0)并有连续导数的充分条件，但不是必要条件如 F(，y) 3y ，F(0 ，0)0，F y(0，0) 0 0，但 F(，y)0 确定函数 y 2(满足 y(0)0) 因此选 B5 【正确答案】 B【试题解析】 用排除法选项 A 的第二个顺序主子式 10，选项 A 矩阵不正定 选项 C 的对角线元素中有1，也不正定 选项 D 的行列式1，不正定6 【正确答案】 C【试题解析】 极大无关组与原组是等价的由等价的传递性立即可得到()与()等价的充分必要条件是它们各自的极大无关组等价 选项 A 缺少条件 r(，)r( ) 选项 B 是()与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达
11、到维数 选项 D() 和 () 都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如 ()：1 (1，0，0，0)， 2(0，1，0，0)，( )： 1 (0，0，1，0)，设2 (0，0，0，1) ( )和()都无关，并且 st2，但是()和()不等价7 【正确答案】 D【试题解析】 用全概率公式设盒中有 i 个铜币的事件为 Ai(i1，2，11)，B 为取到铜币的事件，则故应选D8 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 在1，1上服从均匀分布，其概率密度为由于 EX -11. d 0，E(XX) -11 . d0， 故 coy(X，X)0，从而 0，X 与X 不相关于是可排除选项 A 与选项 B
12、对于任意实数 a(aa1)，有 PXa ，PXa a 又 PXa，XaPXaa， 从而PXaP PXaPXa，Xa ，即 aa(0a1) 所以 X与X不独立，故应选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 以 AB 为 轴，近端点为原点，正 轴指向 CC 的坐标为 ，则杆对 C 的引力 于是， C 从 r0 移至无穷远时，引力做的功10 【正确答案】 sin2C 1cos2C 2sin2【试题解析】 y4ycos2 对应的齐次方程的特征方程是 r240它的两个特征根为 r1， 22i 因此对应的齐次方程的通解为yC 1cos2C 2sin2i 2i 是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解
13、为 y*(Acos2Bsin2) ， 则(y *)(2Asin22Bcos2)Acos2Bsin2 ， (y *)(4Acos24Bsin2)4Asin2 4Bcos2 将上两式代入方程 y4ycos2 中，得4Asin24Bcos2cos2 比较上式系数得A0，B 故原方程的通解为 y sin2C 1cos2C 2sin211 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将原方程改写为 以 y 为自变量， 为因变量，这是伯努利方程两边乘 -2 得 以 为未知函数，这是一阶线性的，两边再乘 (y) 得于是通解为，其中 C 为 常数12 【正确答案】 【试题解析】 易写出 的参数方程 co
14、st ，ysint，z 2costsint 点 P 在 上，对应 t 在 P 点的切向量 在 P 点切线方程是13 【正确答案】 【试题解析】 用条件可建立一个关于 A 的矩阵方程：用初等变换法解此矩阵方程：14 【正确答案】 【试题解析】 首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 P 的值依题意 X 取值为 2，3，且三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 先求 y(0)：由 arctant 知，0 0， 0(0)t0(0) 由 yln(1t 2)siny 知， 0 y siny y0(ysiny )因此y(0)0，下面求 并判断它，在 0 邻域的正负号
15、 为求 ，需先求 由参数力其中0 是充分小的数因此 0 是 yf() 的极大值点 ()由隐函数求导法知 y()满足 令 0，相应地 yy 0，由 F(0，y 0)0，F y(0，y 0)0 得 y(0)0将上式再对 求导，并注意 yy()即得再令 0，相应地 yy 0，y( 0)0，得因此 0 是 yy()的极小值点16 【正确答案】 () 将方程两边求全微分得()切平面上点的坐标为(X，Y，Z)，曲面 zz( ，y)上 点( ，y，z)处的切平面方程是 Zz (Yy) 其中 分别是 dz 中 d 与 dy 的系数，代入得切平面方程其中由曲面方程得 3 z17 【正确答案】 在(，) 上先分析
16、 g()的单调性区间：时，g()g( *)0( (，)，g()无零点a 时，g()g( *)0( *)，g()有唯一零点(即 *1) 当 a 时 g(*)0，再考察g()在(， *)，( *，)各有唯一零点，(分别记为 1， 2) 因此结论是： a0 时 g()无零点，a 时 g()有唯一零点 1 a 时 g()仅有两个零点18 【正确答案】 () 对 0 1 2，在 1， 2上可用拉格朗日中值定理得，(1， 2) (0，) 使得 f( 2)f( 1)f()( 2 1)0()令 g()lnf() ln(n1)( 0)，考察()用()的结论对 n 进行适当放大与缩小19 【正确答案】 以(1 ，
17、0) 为圆心 0 充分小为半径作圆周 C-(取顺时针方向 )，C 与 C 围成的区域记为 D，在 D上用格林公式得其中 C+取逆时针方向 用“ 控洞法 ”求得(*)式后，可用 C的方程 ( 1) 2y 2 2 简化被积表达式，然后用格林公式得其中 D*是 C+所围的区域20 【正确答案】 首先从 AX 的通解为(1，2，2 ，1) Tc(1，2，4，0) T 可得到下列信息： A 0 的基础解系包含 1 个解，即 4r(A)1，得，r(A) 3即r(1， 2， 3， 4)3 (1 ，2，2，1) T 是 A 解，即 12 22 3 4 (1，2，4，0) T 是 A0 解，即 12 24 30
18、 1， 2， 3 线性相关，r(1， 2， 3)2 显然 B(0，1，1，0) T 1 2，即(0，1，1，0) T 是B 1 2 的一个解 由 ，B( 3， 2， 1， 4)( 3， 2， 1， 12 22 3)，于是 r(B) r( 3， 2， 1， 12 22 3)r( 1， 2， 3)2 则 B0 的基础解系包含解的个数为 4r(B)2个 12 2 430 说明(4，2，1，0) T 是 B0 的解；又从B( 3， 2， 1， 12 22 3)容易得到 B(2， 2，1，1) T0，说明(2， 2，1，1) T 也是 B0 的解于是(4， 2，1，0) T 和(2， 2，1，1) T
19、构成 B0 的基础解系 B 1 2 的通解为： (0， 1，1，0) Tc 1(4， 2，1，0) Tc 2(2，2，1，1) T，c 1，c 2 任意21 【正确答案】 由于 A2E，A 的特征值 应满足 21，即只能是 1 和1于是 AE 的特征值只能是 2 和 0AE 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵，的秩等于 r(AE)k于是 AE 的特征值是 2(k 重)和 0(nk 重)，从而A 的特征值是 1(k 重) 和 1(nk 重) A 的正，负关系惯性指数分别为 k 和nk， TA 的规范形为 y 12y 22y k2y k+12 y n2 B 是实对称矩阵由 A2E，有 B3E2A，B 的特征值为 5(k 重)和 1(nk 重)都是正数因此B 是正定矩阵22 【正确答案】 () 用全概率公式求(X，Y) ，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X， Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：23 【正确答案】 () 因 X1 与 X2 独立且同服从标准正态分布 N(0，1)，故(X 1，X 2)的联合概率密度为 f( 1， 2) 当 y0 时，PY 1y0；当 y0 时，于是 Y1 的概率密度为 ()f( 1， 2) 当 y0 时， (y)PY 2y0； 当 y0 时， (y)PY 2yP 12 22y于是 Y2 的概率密度为
