1、考研数学（数学一）模拟试卷 474 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有直线 及平面 ：4x-2y+z-2=0，则直线 l( )（A）平行于 （B）在 上（C）垂直于 （D）与 斜交2 若 =( )（A）0（B） 6（C） 36（D）3 广义积分 的值是( )4 极限 =( )5 设 1， 2， 3， 4 是四维非零列向量， A=(1， 2， 3， 4)，A *为 A 的伴随矩阵，又知方程组 AX=0 的基础解系为(1 ，0，2，0) T，则方程组 A*x=0 基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 2， 3
2、， 4 或 1， 2， 4（D） 1+2， 2+3， 3+4， 4+16 设 A，B 为 n 阶矩阵，下列命题成立的是( )（A）A 与 B 均不可逆的充要条件是 AB 不可逆（B） R(A)n 与 R(B)n 均成立的充要条件是 R(AB)n（C） Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是 A 与 B 等价（D）A 与 B 相似的充要条件是 E-A 与 E-B 相似7 设随机变量 XN(，4 2)，YN( ，5 2)，记 p=PX-4，p 2=PY+5，则( )（A）对任意实数 ，有 p1=p2（B）对任意实数 ，有 p1p 2（C）对任意实数 ，有 p1p 2（D）对 的个别值，有 p1=
3、p28 设随机变量 X 在区间(2，5)上服从均匀分布现对 X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于 3 的概率为( )二、填空题9 设 f(x)是 3 次多项式，且有 =_.10 函数 f(x)=2x3-6x2-18x-7 在1，4 上的最大值是_11 交换二次积分的积分次序： =_12 设 y=ex(C1sinc+C2cosx)(C1，C 2 是任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_13 设 A 是 3 阶实对称矩阵，且满足 A2+2A=0，若 kA+E 是正定矩阵，则k_14 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X-1)(X-2)=1，则 =_三、解
4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 当 x0 时，1-cosx.cos2x.cos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值16 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且()验证 ()若f(1)=0，f(1)=1 ，求函数 f(u)的表达式17 过点 P(1，0)作曲线 的切线，求：()该切线与曲线及 x 轴围成的平面图形的面积；() 该平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积；()该平面图形绕直线 y=-1 旋转一周所成旋转体体积18 计算曲线积分 ，其中 L 是以点 (1，0)为中心，R(R1)为半径的圆周，取逆时针方向19 设函数 f(x，y)在区域 D：x
5、 2+y21上有二阶连续偏导数，且 =e-(x2+y2)，计算二重积分20 已知 A=(1， 2， 3， 4)，非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1) T+k2(2，1，1，-1) T ()令 B=(1， 2， 3)，求 Bx=b 的通解； ()令 C=(1， 2， 3， 4，b)，求 Cx=b 的通解21 设矩阵 A= 试判断 A 和 B 是否相似，若相似，求出可逆矩阵 X，使得 X-1AX=B22 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为其中 a，b，c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)=-02，PY0X0=05，记Z=X+Y求：()a，b，c 的
6、值； ()Z 的概率分布； ()PX=Z23 设总体 X 的均值 E(X)=，方差 D(X)=2，(X 1，X 2，X n)为取自 X 的一个简单随机样本，求 Xi- 的相关系数 (ij；i，j=1，2，n)考研数学（数学一）模拟试卷 474 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直线 l 的方向向量为 s=-28，14，-7，平面 的法向向量为 n=4，-2，1，由 知 sn，则直线 l 垂直于平面 故应选(C)2 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0，根据极限与无穷小的关系知=a(x)，其中 a(x)为 x0 时的无穷小
7、量故 f(x)=x2a(x)- 因此，所求极限 故应选(C)3 【正确答案】 A【试题解析】 原式= 故应选(A)4 【正确答案】 A【试题解析】 由二重积分定义及函数 x2siny 在区域 0x1，0y 上的连续性可知 故应选(A)5 【正确答案】 C【试题解析】 首先确定 A 的秩，进而确定 A*的秩；利用 A 与 A*的关系及已知条件即可判别 由 Ax=0 的基础解系仅含有一个解向量知，R(A)=3，从而 R(A*)=1，于是方程组 A*x=0 的基础解系中含有 3 个解向量 又因为A*A=A*(1， 2， 3， 4)=AE=O ， 所以向量 1， 2， 2， 4 是方程组 A*x=0的
8、解 因为(1，0，2，0) T 是 Ax=0 的解，故有 1+23=0，即 1， 3 线性相关从而，向量组 1， 2， 3 与向量组 1， 2， 3， 4 均线性相关，故排除(A)、(B)、(D)选项 事实上，由 1+23=0，得 1=02-23+04，即 1 可由 2， 3， 4 线性表示，又 R(1， 2， 3， 4)=3，所以 2， 3， 4 线性无关，即 2， 3， 4 为 A*x=0的一个基础解系 故应选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 项与(B) 项类似，故均错误，而(C)项仅是必要而非充分条件，故应选(D)事实上，若 AB，则由相似矩阵的性质知 E-AE-B；反之，
9、若 E-AE-B，则 E-(E-A)E-(E-B)，即 AB对于选项 (A)，若 A 与 B 均不可逆，则A=B=0，从而 AB=AB=0，即 AB 不可逆，但若 AB 不可逆，推出 A 与 B 均不可逆，如 A=E，= ，则 AB=B 不可逆，但 A 可逆对于选项(B) ，与选项(A) 相近，由于 R(AB)minR(A)，R(B)，故若 R(A)n 与R(B) n 均成立，则 R(AB)n；但反之，若 R(AB)n，推不出 R(A)n 或 R(B)n，如 A=E，B= ，则 R(AB)=R(B)=12，但 R(A)=2对于选项(C) ，由同型矩阵 A 与 B 等价 R(A)=R(B)可知，
10、若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 A 与 B 等价；但反之不然，如 A= ，则 A，B 等价，但 Ax=0 与 Bx=0 显然不同解故应选(D) 7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 ，所以故 p1=p2，而且与 的取值无关故应选(A)8 【正确答案】 A【试题解析】 设 Y 为三次观测中 X 大于 3 出现的次数，则 Yb(3，p)，其中p=PX3= 所以 PY=k=C3kpk(1-p)3-k=C2k ，k=0，1，2，3从而，所求概率为 PY2=C32 故应选(A)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 ，知 f(2a)=0，于是得同理，由 ，知 f(4a)=0， f(4a)=
11、1又因为 f(x)是三次多项式，x=2a 与 x=4a 是 f(x)的两个零点，令 f(x)=k(x-2a)(x-4a)(x-a)，则 f(x)=k(x-4a)(x-a)+(x-2a)(x-a)+(x-2a)(x-4a)由得 a=3a，于是 f(x)=k(x-2a)(x-3a)(x-4a) 又因为，故故应填10 【正确答案】 -29【试题解析】 由题可得 f(x)=6x2-12x-18，令 f(x)=0，则 x1=-1，x 2=3因为 x1=-11，4，所以 x2=3 是 f(x)在(1，4)内的极值可疑点，于是 f(x)在1，4上的最大值是 f(x)=maxf(1)，f(3) ，f(4)=m
12、ax-29，-61，-47)=-29.故应填-2911 【正确答案】 【试题解析】 因为已知二次积分中当 1x2时， 2，由此可知这个二次积分不能直接转化为二重积分；而二次积分 与已知二次积分只相差一个负号，且该积分可转化为二重积分 Df(x，y)dxdy，其中积分区域 D 如图 1-1 所示；再由二重积分得到所求积分次序的二次积分因为 12dx f(x，y)dy=-12dx f(x，y)dy，则积分区域(如图 1-1 所示) 为 D=(x，y)1x2， y2将D 改写为 D=(x ，y)1y2， x2则有故应填12 【正确答案】 y-2y+2y=0【试题解析】 本题可以从不同思路分析：其一，
13、由通解形式可得特征根，根据特征根写出特征方程，最后由特征方程与微分方程的关系写出所求微分方程；其二，由通解消去参数 C1，C 2，得所求微分方程 根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根与对应通解之间的关系可知，特征根为一对复数根： 1,2=1i，于是特征方程为 -(1+i)-(1-i)= 2-2+2=0， 故相应的二阶常系数齐次线性微分方程为 y-2y+2y=013 【正确答案】 小于【试题解析】 先求出 A 的特征值，进而求出 kA+E 的特征值，再确定 k 值由A2+2A=0 知， A 的特征值是 0 或-2，则 kA+E 的特征值是 1 或-2k+1又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于
14、0，所以，k 故应填小于14 【正确答案】 1【试题解析】 由题意可得 E(X-1)(X-2)=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2 =D(X)+E(X)2-3E(X)+2=1，由随机变 X 服从参数为 的泊松分布，则有 D(X)=E(X)=，从而 +2-3+2=1 (-1)2=0 =1故应填 1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设可得 ，从而【试题解析】 利用等价无穷小的定义写出极限式，然后由极限逆问题求 n 和 a 的值16 【正确答案】 () 由 z=f(u)， ，得所以根据题设条件可得 ，即() 由() 知，f(u)+ f(u)=0
15、且 f(1)=0，f(1)=1，令 p=f(u)，则f(u)= ，于是原方程化为 由 f(1)=p(1)=1，得到C1=1，即 f(u)= 从而得 f(u)=lnu+C，又因为 f(1)=0，则 C=0，因此 f(u)=lnu【试题解析】 () 求出 即可()直接解方程 f(u)+f(u)=0，并利用条件 f(1)=1，f(1)=0，可得 f(u)的表达式17 【正确答案】 () 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0= ，则切线方程为由题意要求其过点(1，0)，解得 x0=3，y 0=1，所求切线方程化简为 y= (x-1)为求面积，若分割 x 轴上区间1，3 ，则由于上、下曲线的情况不同，
16、必须分成1，2、2，3 分别计算，可得若分割 y 轴上区间0， 1，则右曲线为 x=y2+2，左曲线为 x=3+2(y-1)，从而得 S=01(y2+2)-3+2(y-1)dy= ()如图 3-2 所示，所求旋转体体积，即为由三角形 ACD 绕 x 轴旋转所成的圆锥体体积，减去抛物曲线 和线 围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体体积 V0在求全旋转体体积 V0 时，将区间2，3划分成 n 等份，每个小分割近似看成矩形，则其旋转后近似为圆柱体，其体积为因此 V0 体积为 (xi-2)xi=33(x-2)dx.因此，所求体积为()如图 3-3 所示，所求体积可看成由三角形 abc 绕 y=-1 旋转
17、所成的体积 V1，加上曲边图形 bcd 绕 y=-1 旋转所成的体积 V2求旋转体的体积 V1 时，分割区间1，2，每个小分割近似看成矩形，绕y=-1 旋转所成旋转体近似为圆环柱体，其体积为所求体积为 V1+V2【试题解析】 本题图形如图 3-1 所示，切线、曲线、x 轴围成一平面图形；还可看出必须先求出曲线上的切点坐标，然后用分割、近似、取和、求极限的步骤表达出该图形的面积18 【正确答案】 令 ，则作足够小的椭圆(0， 2，C 取逆时针方向)，于是由格林公式，得【试题解析】 由于不能直接应用格林公式，为此先作一个以原点为中心的小椭圆，将原点挖去后，再利用格林公式并计算小椭圆圆周上的线积分即
18、可19 【正确答案】 设 D1=(x，y)x 2+y24，yx，x0， D2=(x，y) x 2+y24，yx，x0，y2，由于积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数x 2+y2-4关于 x 是偶函数，由对称性知所以 I=2(I1+I2)=4-【试题解析】 首先画出 D 的示意图(如图 3-4 所示 )，利用对称性与积分区域可加性简化运算，选择坐标系，进而化为二次积分计算20 【正确答案】 由题意知 即 A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)= 记 B=(1， 2， 3)，C= 则有 AB=C.又因为B= =20，矩阵 B 可逆，从而 B-1=对上式两边同时右乘 B-1，得21 【正
19、确答案】 () 由于 f=2x-1+2x-1+2x-1-2x1x2-2x2x3-2x1x3，二次型对应的矩阵为A，则有 所以矩阵 A 的秩为 2()记二次型 f 的矩阵为 A，则 可知1=0， 2=3=3当 1=0 时，特征向量 1=(1，1，1) T，将 1 单位化后得 r1=当 2=3=3 时，特征向量 2=(-1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T，对2， 3 施行施密特正交化得 2=2=(一 1，1，0) T，再将2， 3 单位化，得 r2= 故正交变换矩阵 Q=，且有 x=Qy，使 f=3y22+3y3222 【正确答案】 () 由题可得因为F(X，y)=f X(x).fY(y)，故 X，Y 相互独立( )f Z(z)=-+fX(z)fY(z-2x)dx=()PZ3)= 3+fZ(z)dz=3+ (e2-1)e-zdz= (e2-1)e-3【试题解析】 利用联合分布与边缘分布的关系判断独立性，用一般方法或公式求fZ(x)及 PZ3.23 【正确答案】 () pij=1，可得 a+b+c= 因为Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=而已知 Cov(X，Y)= ()E(X 2+Y2)=(xi2+yj2)pij=【试题解析】 由分布律性质及已知条件求出 a，b，c，然后利用分布律求E(X2+Y2)
