1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 241 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.等于 e 16 B.等于 e 16 C.等于 e 6 D.不存在3.曲线 y=arctan （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4.已知 （分数：2.00）填空项 1:_5.r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)，(a，2)，(0，)处的切线方程分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：
2、2.00）填空项 1:_7.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 L 是区域 D：x 2 +y 2 2x 的正向边界，则 I= L (x 3 y)dx+(xy 3 )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_11.设 f(x)在(a，b
3、)连续，x 1 ，x 2 ，x n (a，b)， 1 ， 2 ， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b)，使得 （分数：2.00）_12.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)（分数：2.00）_13.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_求功：（分数：4.00）(1).设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?（分数：2.00）_(2).半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）
4、_14.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 a b f(x)dx=0，求证：在a，b上 f(x)0（分数：2.00）_15.证明：x x 2 ln(1+x)x( （分数：2.00）_16.求函数 f(x)= （分数：2.00）_17.确定常数 a 和 b 的值，使得 （分数：2.00）_18.求方程 y“+2my+n 2 y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 0 + y(x)dx，其中 mn0，a，b 为常数（分数：2.00）_19.把直线 L 的方程 （分数：2.00）_20.与直线 L 1 ： 及直线 L 2 ： （分数：2.00）_21
5、.过球面 x 2 +y 2 +z 2 =169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程（分数：2.00）_计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分（分数：4.00）(1).I= （分数：2.00）_(2).I= （分数：2.00）_22.()设 L 为抛物线 y=x 2 上，从点 A(1，1)到 B(1，1)的一段，求 I= L (x 2 2xy)dx+(y 2 2xy)dy ()求积分 I= C dy，其中 C：y=1，x=4，y= （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 24
6、1 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.等于 e 16 B.等于 e 16 C.等于 e 6 D.不存在解析：解析：注意到 sinxx=1，本题为 1 型设 f(x)=sinxx，则原极限 3.曲线 y=arctan （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：令 f(x)=aretan ，f(x)的定义域是(，2)(2，1)(1，+)，因|f(x)|2，从而 x=1 与 x=2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因
7、二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：5.r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)，(a，2)，(0，)处的切线方程分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=2a( dydx=)；ya=x；y=0 ）解析：解析： (I)在点(r，)=(2a，0)处，(x，y)=(2a，0)，切线 x=2a( dydx=) (1I)在点(r，)=(a，2)处，(x，y)=(0，a)，dydx=1，切线 ya=x ()在点(r，)=(0，)处，(x，y)=(0，0)，dydx=0，切线 y=
8、06. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x 2 y， ）解析：解析：dz=f(x 2 y， )d(x 2 y)=f(x 2 y， 8.设 L 是区域 D：x 2 +y 2 2x 的正向边界，则 I= L (x 3 y)dx+(xy 3 )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：把线积分表成 L Pdx+Qdy，则 =1(1)=2， D 是圆域：(x+1) 2 +y 2 1，于是由格林公式 I= 9.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_
9、（正确答案：正确答案：(2，2)）解析：解析：先求收敛半径 R： 有相同的收敛半径 R， R=2，收敛区间为(2，2)三、解答题(总题数：17，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 00 型利用洛必达法则 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 p n = 则原式= )解析：求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意立方和公式 1 3 +2 3 +n 3 =(1+2+n) 2 = 2 ，则 )解析：(2
10、). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 2 =x2 n1 ，为利用倍角公式化简 x n ，两边同乘 sinx2 n ，得 x=0 时，x n =1，则 )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别求左、右极限： )解析：11.设 f(x)在(a，b)连续，x 1 ，x 2 ，x n (a，b)， 1 ， 2 ， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题设 n 个函数值 f(x 1 )，f(x 2 )，f(x n )中一定有最小和最大的，不妨设 minf(x 1 )，f(x n )=f(x 1 )，maxf
11、(x 1 )，f(x n )=f(x n )， 记 = )解析：12.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f“(x)g(y)+f(x)g“(y)y x =0， 或 f“(x)g(y)+f(x) 2 g“(y)=0 注意到 g(3)=1f(a)=1，在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到
12、 g“(3)=f“(a)g(3)=2)解析：13.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(x)连续及 x 2 可导知 f 2 (x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2 (x)=2f(x)f(x)，故将上式 两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)=f(x)2x f(x)=x. 在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0 于是(*)式 两边积分( 0 x )得 0 x f(t)dt= 0 x tdt，f(0)=0 )解析：求功：（分数：4.00）(1).设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，
13、球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把球的质量 43 集中于球心球从水中取出作的功问题可以看成质量为43 的质点向上移动距离为 1 时变力的做功问题归结为求变力 F(重力与浮力的合力) 球受的重力=球的体积， 球受的浮力=沉在水中的球的体积， 它们的合力=球露出水面部分的体积 当球心向上移距离 h(0h1)时，球露出水面部分的体积： 因此，取出球时需做功 )解析：(2).半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立坐标系如图 36取 x 为积分变量，x0，R x，x+
14、dx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R 2 x 2 )dx， 又比重 =1，于是把这层水抽出需做功dw=x(R 2 x 2 )dx因此，所求的功 w= 0 R x(R 2 x 2 )dx=(R 2 )解析：14.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 a b f(x)dx=0，求证：在a，b上 f(x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定积分的性质 0 a x f(t)dt a b f(x)dx=0( xa，b) a x f(t)dt=0( za，b) = a b f(t)dt=f(x)=0( )解析：15.证明：x x 2 ln(1+x)x( （分数：2.00）_正确答
15、案：(正确答案：()对 F(t)=ln(1+t)在0，x区间用拉格朗日中值定理得 其中c(0，x)因此 ln(1+x)x(x0) ()对 f(t)=ln(1+t)与 g(t)=t t 2 在0，x区间用柯西中值定理得 其中 c(0，x)当 x0 且 x x 2 0 时，11c 2 0 1 ln(1+x)x x 2 若 x0，x x 2 0，上式显然成立因此 ln(1+x)x )解析：16.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求导数并得驻点 由 f(x)=0 即 2x =0 得唯一驻点 x= 方法再考察 于是可导函数 f(x)在(，+)最小值，最小值点必是驻点，又驻点
16、唯(x= )，因此 f(x)的最小值为 )解析：17.确定常数 a 和 b 的值，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用泰勒公式)因为 ln(12x+3x 2 )=2x+3x 2 (2x+3x 2 ) 2 +o(2x+3x 2 ) 2 ) =2x+3x 2 2x 2 +o(x 2 )=2x+x 2 +o(x 2 )， )解析：18.求方程 y“+2my+n 2 y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 0 + y(x)dx，其中 mn0，a，b 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 2 +2m+n 2 =0，特征根 =m
17、 ，通解为 注意：指数均为负的 将方程两边积分 y| 0 + +2my| 0 + +n 2 0 + y(x)dx=0，即 b2ma+n 2 0 + y(x)dx=0 0 + y(x)dx= )解析：19.把直线 L 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 L 的方向向量 =4，8，4=41，2，1 再求一交点令 x=0得 y=1，z=2 因此直线 L 的方程为 )解析：20.与直线 L 1 ： 及直线 L 2 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L 1 ，L 2 的方向向量分别是 S 1 =0，1，1与 S 2 =1，2，1，设P(x，y，z)是平面 上任一点，
18、则 ，S 1 ，S 2 共面，故混合积( ，S 1 ，S 2 )=0，即 )解析：21.过球面 x 2 +y 2 +z 2 =169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 M 点分别与 x、y 轴垂直的平面是 x=3 与 y=4，与球面的截线 它们的交点是 M 1 (3，4，12)，M 2 (3，4，12) 1 在 M 1 的切向量 =0，24，8=80，3，1， 2 在 M 1 的切向量 =24，0，6=64，0，1 1 ， 2 在 M 1 点
19、的切线方程分别为 即 3(x3)+4(y4)+12(z12)=0 又 1 在 M 2 的切向量 =0，24，8=80，3，1， 2 在 M 2 的切向量 =2z，0，2x =24，0，6=64，0，1， 1 ， 2 在 M 2 点的切线方程分别为 过两条切线的平面方程是 )解析：计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分（分数：4.00）(1).I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()区域 由平面 x=1，x=2，y=0，z=0 及抛物柱面 y=x 2 与双曲柱面 z=1x 围成，易求出 在 xy 平面(或 zx 平面)上的投影区域 D xy (或 D zx )D xy 由 x=1，
20、x=2，y=0，y=x 2 围成，D xy =(x，y)|1x2，0yx 2 ，见图 917(a) D zx 由 x=1，x=2，z=0，z=1x 围成，即 D zx =(z，x)|1x2，0z1x，见图 917(b) 于是 =(x，y，z)|0z1x，(x，y)D xy ， 或 =(x，y，z)|0yx 2 ，(z，x)D zx ()根据 的表示，宜选择先对 z(或 y)积分后对 xy(或 zx)积分的顺序 若先对 z 积分得 若先对 y 积分得 )解析：(2).I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由变量的轮换对称性，可得 用球坐标变换求 )解析：22.()设 L 为抛物线 y=x 2 上，从点 A(1，1)到 B(1，1)的一段，求 I= L (x 2 2xy)dx+(y 2 2xy)dy ()求积分 I= C dy，其中 C：y=1，x=4，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()L：y=x 2 ，x1，1 I= 1 1 (x 2 2x 3 )+(x 4 2x 3 )2xdx= 1 1 (x 2 4x 4 )dx+0 =2 0 1 (x 2 4x 4 )dx=2( )=1415 )解析：
