1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 14 及答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 设 A 是一个 n 阶方阵，已知|A|2，则| 2A|等于：（A）(2) n+1（B） (1)n2n+1（C） 2n+1（D）2 22 设 A 为三阶方阵，且|A|3，则3 设 A、B 都是 n 阶可逆矩阵，则（A）(3) n|A|B|1 （B） 3|A|T|B|T（C） 3|A|T|B|1 （D）(3) 2n|A|B|14 以下结论中哪一个是正确的？（A）若方阵 A 的行列式|A|0，则 A0（B）若 A20，则 A0（C）若 A 为对称阵，
2、则 A2 也是对称阵（D）对任意的同阶方阵 A、B 有(A+B) (AB) A2B25 方程 的解 X 是：6 矩阵 的秩（A）4（B） 3（C） 2（D）17 设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB0，则 R(A)，R(B)满足：（A）必有一个等于 0（B）都小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n8 设 Amn，B mn（mn），则下列运算结果不为 n 阶方阵的是：（A）BA（B） AB（C） (BA)T（D）A TBT9 若 1， 2， ， r 是向量组 1， 2， r， n 的最大无关组，则结论不正确的是：（A） n 可由 1， 2， ， r 线性表示（B） 1 可
3、由 r+1， r+2， ， n 线性表示（C） 1 可由 1， 2， r 线性表示（D） n 可由 r+1， r+2， n 线性表示10 如果向量 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则下列结论中正确的是：（A）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s 使等式 pk 11+k22+kss 成立（B）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s 使等式 pk 11+k22+kss 成立（C）存在一组数 k1，k 2，k s 使等式 k 11+k22+kss 成立（D）对 的线性表达式唯一11 设向量组的秩为 r，则：（A）该向量组所含向量的个数必大于 r（B）该向量级中任何 r 个向量必线性无关
4、，任何 r+1 个向量必线性相关（C）该向量组中有 r 个向量线性无关，有 r+1 个向量线性相关（D）该向量组中有 r 个向量线性无关，任何 r+1 个向量必线性相关12 非齐次线性方程组 有解时，a 应取下列何值？（A）2（B） 4（C） 6（D）813 线性方程组 Ax0，若是 A 是 n 阶方阵，且 R(A)n，则该方程组：（A）有唯一解（B）有无穷多解（C）无解（D）A，B，C 皆不对14 矩阵 的特征值是：15 设三阶矩阵 ，则 A 的特征值是：（A）1，0，1 （B） 1，1，2（C） 1，1，2 （D）1，1，116 设 是非奇异矩阵 A 的特征值，则矩阵( 2A 3)1 有一
5、个特征值为：（A）3（B） 4（C）（D）117 设二次型 f(x 12+x22+x32)+2x1x2+2x1x3 2x2x3，当 为何值时，f 是正定的？（A）1（B） 2（C） 2（D）018 二次型 f(x1，x 2，x 3) 12+（ 一 1） 22+(2+1)x32，当满足( )时，是正定二次型。（A）0（B） 1（C） 1（D）以上选项均不成立19 设事件 A，B 相互独立，且 P(A) ，则 P(B|A ）等于：20 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，则杯中球的最大个数为 2 的概率为：21 设随机变量 X 的概率密度为 ，则 P(0X3)等于：22 设随机变量(X，Y) 服
6、从二维正态分布，其概率密度为 f(x，y) ，则 E(X2+Y2)等于：（A）2（B） 1（C）（D）23 若 P(A)05，P(B)04，P( B)03，则 P(AB)等于：（A）0.6（B） 0.7（C） 0.8（D）0.924 设随机变量 XN(0， 2)，则对于任何实数 ，都有：（A）P(X)P(X)（B） P(X)P(X)（C） XN(， 22)（D）XN(0 ， 2)25 设随机变量 X 的概率密度为 数学期望是：26 设总体 X 的概率密度为 f(x，) ，而 x1，x 2，x n 是来自总体的样本值，则未知参数 的最大似然估计是：（A）（B）（C） min(x1，x 2，x n
7、)（D）max(x 1，x 2，x n)27 若 P(A)0，P(B)0，P(A|B) P(A)，则下列各式不成立的是：（A）P(B|A)P(B) （B） P(A| )P(A)（C） P(AB)P(A)P(B) （D）A，B 互斥28 10 张奖券含有 2 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前四个购买者恰有 1 人中奖的概率是：（A）08 4（B） 1（C） C1060 2 08 3（D）08 3 0229 若 P(A)08， 等于：（A）0.4（B） 0.6（C） 0.5（D）0.3注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 14 答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分
8、。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 【正确答案】 B【试题解析】 =(2)n2（一 1） n2 n+1 或直接利用公式| 2A|（ 2） n|A|（2） n2（1）n2 n+1【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 A 2 为三阶方阵，数乘矩阵时，用这个数乘矩阵的每一个元素。矩阵的行列式，按行列式运算法则进行，【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A、B 都是 n 阶可逆矩阵，矩阵 为 2n 行 2n 列矩阵，同时注意正确运用数乘矩阵和行列式的运算法则，计算如下：【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 利用两矩阵乘积的转置运算法则，(
9、AB) TB TA T，得出结论 C。计算如下： (A 2)T(AA) TA TA TAAA 2【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 AXB，XA 1B，【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 利用矩阵的初等行变换，把矩阵 A 化为行的阶梯形，非零行的个数即为矩阵的秩。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 利用矩阵的秩的相关知识，可知 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且AB0，则有 R(A)+R(B)n，而 A、B 已知为 n 阶非零矩阵， 1R(A)n，1R(B)n，所以 R(A)、R(B)都小于 n。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】
10、B【试题解析】 选项 A，B nmAmn(BA) nn，故 BA 为 n 阶方阵。选项B，A mnBnm(AB) mm，故 AB 为 m 阶方阵。选项 C，因 BA 为行阶方阵，故其转置(BA) T 也为 n 阶方阵。选项 D，因 ATBT(BA) T，故 ATBT 也是 n 阶方阵。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 可通过向量组的极大无关组的定义，以及向量的线性表示的定义，判定 A、C 成立，选项 D 也成立，选项 B 不成立。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 向量 能由向量组 1， 2， s 线性表示，仅要求存在一组数k1，k 2，k s，使等
11、式 k 11+k22+kss 成立，而对 k1，k 2，k s 是否为零并没有做规定，故选项 A、B 排除。若 的线性表达式唯一，则要求1， 2， s 线性无关，但题中没有给出该条件，故 D 也不成立。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 设该向量组构成的矩阵为 A，则有 R(A)r ，于是在 A 中有 r 阶子式 Dr0，那么这 r 阶子式所在列（行）向量组线性无关。又由 A 中所有 r+1 阶子式均为零，则可知 A 中任意 r+1 个列（行）向量都线性相关，故正确选择为选项D。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 a 应使增广矩阵秩 系数矩阵秩 R(
12、A)。故 a+40，a一 4。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 当方阵的行列式|A|0，即 R(A)n 时，Ax0 仅有唯一解，当|A|0，即 R(A)n 时，齐次线性方程组有无穷多解。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 A【试题解析】 令|AE|0，即 解得 12， 27。【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 C【试题解析】 方法 1：计算特征方程的根，|E A|0，求 值。求出 值。方法 2：用此方法较简便。利用 n 阶矩阵 A 的特征值与矩阵 A 的行列式之间的关系，设矩阵 A 的特征值为1， 2， n。 1 2 3 n|A|， 1+2+ 11a 11+
13、a22+am，计算选项 B、D 不满足1+2+3a11+a22+a332（因 a11+a22+a332）。选项 A、C 满足1+2+3a 11+a22+a332。但选项 A 不满足 1 2 3|A|（因|A|2），而选项 C 满足 1 2 32|A|，故选项 C 成立。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 B【试题解析】 利用矩阵的特征值与矩阵的特征向量关系的重要结论：设 为 A 的特征值，则矩阵 kA、aA+bE、A 2、A m、A 1、A *分别有特征值：k、a+b、 2、 m、 ，（0 ）且特征向量相同（其中 a，b 为常数，m 为正整数）。矩阵(2A 3)1 对应的特征值应是矩阵
14、2A3 对应特征值的倒数，下面求矩阵 2A3 对应的特征值。已知 是非奇异矩阵 A 的特征值，矩阵 A3 对应的特征值为矩阵 A 对应的特征值 的三次方（ ） 3，矩阵 2A3 对应的特征值为，从而(2A 3)1 对应的特征值为【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 C【试题解析】 写出二次型 f 对应的矩阵 ，f 是正定的，只要各阶顺序主子式大于 0。(1+) 2(2)0 故 1，2，公共解 2。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 C【试题解析】 二次型 f(x1，x 2，x 3)正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数等于未知数的个数，它的标准形中的系数全为正，即 0， 10， 2+
15、10，推出1。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 D【试题解析】 因为A、B 相互独立，所以 也相互独立。有 P(AB)P(A)P(B) ，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 C【试题解析】 显然为古典概型， 一个球一个球地放入杯中，每个球都有 4 种放法，所以所有可能结果数 n444 64，事件 A“杯中球的最大个数为2n 即 4 个杯中有一个杯子里有 2 个球，有 1 个杯子有 1 个球，还有两个空杯。第一个球有 4 种放法，从第二个球起有两种情况：第 2 个球放到已有一个球的杯中（一种放法），第 3 个球可放到 3 个空杯中任一个（3 种放法）；第 2 个球放到 3 个空杯中
16、任一个（3 种放法），第 3 个球可放到两个有球杯中（2 种放法）。则 m 413+3236，因此 P(A) 或设 Ai（i 1，2，3）表示“标中球的最大个数为 i”，则 P(A2)1P (A1)一 P(A3)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 B【试题解析】 P(0X3) 03(x)dx【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 A【试题解析】 因 所以 XN(0 ，1)，yN(0 ，1) ， X，Y 相互独立。 E(X2+Y2)E(X 2)+E(Y2)D(X)+E(X) 2+D(Y)+E(Y)21+12【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2
17、4 【正确答案】 B【试题解析】 判断选项 A、B 对错。方法 1：利用定积分、广义积分的几何意义 P（aX b） abf(x)dxSS 为a，b上曲边梯形的面积。N（0， 2）的概率密度为偶函数，图形关于直线 x0 对称。因此选项 B 对，选项 A 错。方法 2：利用正态分布概率计算公式选项 B 对，选项 A 错。判断选项 C、D 对错。方法 1：验算数学期望与方差 E(X ) 一 0一 (0时)，选项 C 错；D(X) 222（0，1），选项 D 错。方法 2：利用结论若XN（ ， 2），a、b 为常数且 a0，则 aX+bN（a+b，a 22）；XAN（一 ， 2），选项 C 错；XN(
18、0， 22)，选项 D 错。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 C【试题解析】 似然函数：lnL()及 L（）均为 的单调增函数， 取最大值时，L()取最大值。由于 x1，x 2，x n，因此 的极大似然估计值为 min x1，x 2，x n)。【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 D【试题解析】 因 P(A|B) P(A)，所以 P(A)，P(AB)P(A)P(B)（C 成立），A、B 相互独立；因 P(A)0，P(B) 0，所以 P(AB)0。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 B【试题解析】 设 Ai 表示第 i 个买者中奖（i1，2，3，4），B 表示前 4 个购买者恰有 1 个人中奖。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 A【试题解析】 P(AB)P(A) P(AB)，P(AB)P(A) 080206， 1P(AB)10604【知识模块】 高等数学
