1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 13 及答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 设 f1(x)和 f2(x)为二阶常系数线性齐次微分方程 y“+py+q0 的两个特解，若由f1(x)和 f2(x)能构成该方程的通解，下列哪个方程是其充分条件？（A）f 1(x) f2(x)f2(x) f1(x)0（B） f1(x) f2(x)f2(x) f1(x)0（C） f1(x) f2(x)+f2(x) f1(x)0（D）f 1(x) f2(x)+f2(x) f1(x)02 已知 r13，r 23 是方程 y“+py+qy0（p 和 q
2、 是常数）的特征方程的两个根，则该微分方程是下列中哪个方程？（A）y“+9y0（B） y“9y0（C） y“+9y0（D）y“9y 03 设线性无关函数 y1、y 2、y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+P(x)y+Q(x)yf(x) 的解，C1、C 2 是待定常数。则此方程的通解是：（A）C 1y1+C2y2+y3 （B） C1y1+C2y2 (C1+C3) y3（C） C1y1+C2y2(1 C1C2)y3 （D）C 1y1+C2y2+ ( 1 C1 C2) y34 已知 y1(x)与 y2(x)是方程 y“+P(x)y+Q(x)y0 的两个线性无关的特解，Y 1(x)和Y2(x)分别是
3、方程 y“+P(x)y+Q(x)yR 1(x)和 y“+P(x)y+Q(x)yR 2(x)的特解。那么方程 y“+P(x)y+Q(x)yR 1(x)+R2(x)的通解应是：（A）C 1Y1+C2y2（B） C1Y1(x)+C2Y2(X)（C） C1y1+C2y2+Y1(x)（D）C 1Y1+C2y2+Y1(x)+Y2(x)5 微分方程(1+y)dx (1x)dy0 的通解是：（C 为任意常数）（A）（B） 1+yC(1x) 2（C） (1 一 x)(1+y)C （D）6 微分方程 y“4y6 的通解是：（ C1，C 2 为任意常数）（A）C 1 e2xC2e2x+（B） C1e2x+C2e2x
4、（C） e2xe2x+1（D）C 1e2x+ C2e2x 一 27 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，行列式 等于：（A）|A|B| （B） |A|B|（C） (1)m+n|A|B| （D）(1) mn|A|B|8 设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是：（A）B 的第 1 行的2 倍加到第 2 行得 A（B） B 的第 1 列的2 倍加到第 2 列得 A（C） B 的第 2 行的2 倍加到第 1 行得 A（D）B 的第 2 列的2 倍加到第 1 列得 A9 已知三维列向量 ， 满足 T3，设 3 阶矩阵 A T，则：
5、（A） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（B） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（C） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量（D） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量10 设齐次线性方程组 当方程组有非零解时，k 值为：（A）2 或 3（B） 2 或 3（C） 2 或3（D）2 或311 设 1， 2， 3 是三维列向量，|A| | 1， 2， 3|，则与|A| 相等的是：（A）| 2， 1， 3|（B） |2， 3， 1|（C） |1+2， 2+3， 3+1|（D）| 1， 2， 3+2+1|12 设 A 是 mn 的非零矩阵，B 是 nl 非零矩阵，满足 AB0，以下选项中不一定
6、成立的是：（A）A 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关（C） B 的行向量组线性相关（D）r(A)+r(B)n13 设 A 是 3 阶实对称矩阵，P 是 3 阶可逆矩阵，BP 1AP，已知 是 A 的属于特征值 的特征向量，则 B 的属于特征值 的特征向量是：（A）P（B） P1（C） PT（D）（P1） T14 设 ，与 A 合同的矩阵是：15 已知矩阵 ，则 A 的秩，r(A)（A）0 （B） 1 （C） 2（D）316 设 是 n 维向量，已知 线性无关， 可以由 线性表示， 不能由 线性表示，则以下选项中正确的是：17 设 1， 2 是矩阵 A 的 2 个不同的特征值，
7、， 是 A 的分别属于 1， 2 的特征向量，则以下选项中正确的是：（A）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都是 A 的特征向量（B）存在常数 k10 和 k20，使得 k1+k2 是 A 的特征向量（C）存在任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都不是 A 的特征向量（D）仅当 k1k 20 时，k 1+k2 是 A 的特征向量18 设行列式 ，A ij 表示行列式元素 aij 的代数余子式，则A13+4A33+A43 等于：（A）2（B） 2（C） 1（D）119 设 ，则秩 r(ABA)等于：（A）1（B） 2（C） 3（D）与 的取值有关20 设 1， 2 是线性方程组
8、Axb 的两个不同的解， 1， 2 是导出组 Ax0 的基础解系，k 1、k 2 是任意常数，则 Axb 的通解是：（A） +k11+k2（ 1 2）（B） 1+k1（ 12）+k 2（ 12）（C） +k11+k2（ 12）（D） +k11+k2（ 12）21 设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B0，满足 AB0，则以下选项中错误的是：（A）r(A)+r(B)n（B） |A|0 或|B|0（C） 0r(A)n（D）A022 设 B 是三阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组 的解，则 t 等于：（A）0（B） 2（C） 1（D）123 设 A 是三阶矩阵， 1(1，0，1) T， 2(1，1
9、，0) T 是 A 的属于特征值 1 的特征向量， 3(0，1，2) T 是 A 的属于特征值1 的特征向量，则：（A） 12 是 A 的属于特征值 1 的特征向量（B） 13 是 A 的属于特征值 1 的特征向量（C） 13 是 A 的属于特征值 2 的特征向量（D） 1+2+3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量24 设 A 和 B 都是 n 阶方阵，已知|A| 2，|B| 3，则|BA 1|等于：（A）（B）（C） 6（D）525 设 其中 ai0，b i0（i1，2，n），则矩阵 A的秩等于：（A）n（B） 0（C） 1（D）226 设 A 为矩阵， 1 都是线性方程组 Ax0 的解
10、，则矩阵 A 为：27 设 ，且|A|5，|B|1，则|A+B|的值是：（A）24（B） 36（C） 12（D）4828 已知行列式 ，则 A 11+A21+A31+A41( )。（A）ab（B） 0（C） ad（D）bd29 设 ，求 A11+A12+A13+A14 ( )。其中 A1j 为元素a1j(j1 ，2，3，4)的代数余子式。（A）1（B） 1（C） 0（D）2注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 13 答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 【正确答案】 B【试题解析】 二阶线性齐次方程通解的结构要求 f1(x)，
11、f 2(x)线性无关，即 常数，两边求导 要求 f2f1 f2f10。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 利用 r13 ，r 23 写出对应的特征方程。（ r3）(r+3)0，得到r290，即 y“9y0。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 方程通解 yC 1(y1 y3)+C2（y 2 y3）+y 3，整理yC 1y1+C2y2+（1C 1 C2）y 3。其中，y 1 y3、y 2 y3 为对应齐次方程的两个线性无关的解，y 3 为非齐次方程的特解。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 按二阶线性非齐次方程通解的结构，写出对应二阶线性
12、齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，得到非齐次方程的通解，yC 1y1+C2y2+y1(x)+y2(x)。其中，y 1(x)+ y2(x)为方程 y“+ P(x)y+Q(x)yR 1(x)+R2(x)的一个特解。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 变量分离：(1+y)dx（1x）dy， 积分得：ln（1x）+ln(1+y)lnC，即（1x）(1+y)C。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 求对应齐次方程通解。 r240，r2，通解 yC 1e2x+C2e2x。把 y 代入方程检验，得非齐次特解 y* 。非齐次通解齐次通解十非齐次一个特解。故方程通解 y
13、C 1e2x+ C2e2x 。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 将分块矩阵行列式变形为 的形式。 利用分块矩阵行列式计算公式 将矩阵 B 的第一行与矩阵 A 的行互换，换的方法是从矩阵 A 最下面一行开始换，逐行往上换，换到第一行一共换了 m 次，行列式更换符号（1） m。再将矩阵 B 的第二行与矩阵 A 的各行互换，换到第二行，又更换符号为（1） m，最后再将矩阵 B 的最后一行与矩阵 A 的各行互换到矩阵的第 n 行位置，这样原矩阵行列式（一 1）mn|B|A|（一 1） mn|A|B|。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 由题目给出的运算写出相应
14、矩阵，再验证还原到原矩阵时应用哪一种运算方法。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子 Axx ，非零向量 x 即为矩阵 A 对应特征值 的特征向量。 再利用题目给出的条件： T3 A T 将等式两边右乘 ，得 A T，变形 A( T)，代入式得 A3，故 A3 成立。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 齐次线性方程组，当变量的个数与方程的个数相同时，方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零。即6（k）（1k）一（6+kk 2）即 k2k60，解得 k13，k 22。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】
15、 D【试题解析】 利用行列式的运算性质变形、化简。A 项：| 2， 1， 3 | |1， 2， 3|，错误。B 项：| 2， 3， 1 |（1） 3|2， 3， 1| （1） 3（一 1）| 1， 2， 3| (1)3（一 1）（ 1）| 1， 2， 3 | |1， 2， 3|，错误。C 项：| 1 +2， 2+3， 3+1| 1， 2+3， 3+1|+|2， 2+3， 3+1 | 1， 2+3， 3|+|1， 2+3， 1|+|2， 2， 3+1|+|2， 3， 3+1| 1， 2+3，3|+|2， 3， 3 +1| 1， 2， 3|+|2， 3， 1| 1， 2， 3|+|1， 2， 3|
16、2 |1， 2， 3|，错误。D 项：| 1， 2， 3+2+1| |1， 2， 3+2|1， 2， 3|，正确。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 A、B 为非零矩阵且 AB0，由矩阵秩的性质可知 r(A)+r(B)n，而A、B 为非零矩阵，则 r(A)1，r(B)1 ，又因 r(A)n，r(B)n，则由 1r(A)n，知 Amn 的列向量相关，1r(B)n，B nl 的行向量相关，从而选项 B、C、D均成立。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 利用矩阵的特征值、特征向量的定义判定，即问满足式子 Bxx 中的 x 是什么向量？已知 是 A 属于特征
17、值 的特征向量，故： A 将已知式子 BP 1AP 两边，左乘矩阵 P，右乘矩阵 P1，得 PBP1PP 1APP1，化简为 PBP 1A，即： APBP 1 将式代入式，得： PBP 1 将式两边左乘 P1，得 BP1P 1，即 B（P 1） （P 1），成立。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 A【试题解析】 由合同矩阵定义知，若存在一个可逆矩阵 C，使 CTACB，则称 A合同于 B。取 ，|C|10，C 可逆，可验证 CTAC【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 C【试题解析】 可以利用矩阵秩的定义验证。三阶行列式 0，二阶行列式 故 r(A) 2。【知识模块】 高等数学16
18、 【正确答案】 D【试题解析】 已知 线性无关， 可以由 线性表示。故 线性相关，可推出 也相关。所以选项 A、B 错误。选项 C、D 其中有一个错误，用反证法。设 相关，由已知条件 线性无关，而 线性相关，则线性表示，与已知条件 不能由 线性表示矛盾。所以 线性无关。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 C【试题解析】 特征向量必须是非零向量，选项 D 错误。由矩阵的特征值、特征向量关系可知：当 、 是 A 对应特征值 的特征向量，当 k10，k 20时，k1+k2仍是 A 对应特征值 的特征向量。 如果 、 是 A 对应不同特征值的特征向量，则 k1+k2不是 A 的特征向量。所以选项
19、 A、B 均不成立。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 A【试题解析】 将行列式的第 3 列换成 1，0，4，1，得到新的行列式，然后再计算新行列式的值。将行列式 按第 3 列展开，即为要求的结果。实际算法如下： A 13+4A33+A43【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵秩的性质可知，若 A 可逆，则 r(AB)r(B) ，若 B 可逆，则r(AB)r(A)，ABAA(BE)，BE ，|BE|40，B E可逆，rA(BE)r(A) 。计算矩阵 A 的秩：所以 r(A)2。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次方程组的通解 y （非
20、齐次方程组对应的齐次方程组的通解）+y*（非齐次方程组的一个特解），可验证 (1+2)是 Axb 的一个特解。因为1， 2 是线性方程组 Axb 的两个不同的解：又已知 1， 2 为导出组 Ax0的基础解系，可知 1， 2 是 Ax0 的解，同样可验证 12 也是 Ax0 的解，A（ 1， 2）A 1A2000。还可验证 1， 12 线性无关。设有任意两个实数 K11，K 22 使 K111+K22（ 12）0，即(K 11+K22)1 K2220，因1， 2 线性无关，所以 1， 2 的系数，K 11+K220，K 220。即，解得 K110，K 220；因此 1， 12 线性无关。故齐次方
21、程组 Ax0 的通解为 k 11+k2 (12)。又 y* (1+2)是 Axb 的一个特解；所以 Axb 的通解为 y +k11+k2 (12)。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 D【试题解析】 根据矩阵乘积秩的性质，B0，AB0，有 r(A)+r(B)n成立，选项 A 正确。AB0，取矩阵的行列式，|A|B|0，|A| 0 或|B|0，选项 B 正确。又因为 B0，B 为非零矩阵，r(B)1，由上式，r(A)+r(B)n，推出 0r(A)n ，选项 C 也正确。所以错误选项为 D。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 D【试题解析】 已知条件 B 是三阶非零矩阵，而 B 的每一
22、列都是方程组的解，可知齐次方程 Ax0 有非零解。所以齐次方程组的系数行列式为 0，即0，计算此行列式，tl。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 A【试题解析】 已知 1， 2 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量，即有A11 1，A 21 2 成立，则 A（ 12）1（ 12）， 12 为非零向量，因此 12 是 A 属于特征值 1 的特征向量。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 B【试题解析】 利用矩阵行列式性质|BA 1|B|A 1|，又因为 AA1E，|A|A 1|1，所以 |A1| ，故|BA 1|B|【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 C【试题解析】 ABC b
23、1b2bn，由矩阵的性质可知，R(BC)minR(B)，R(C)，因 R(B)1，R(C)1，而 A 是非零矩阵，故 R(A)R(BC)1。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 D【试题解析】 1， 2 是方程组 Ax0 的两个线性无关的解，方程组含有 3 个未知量，故矩阵 A 的秩 R(A) 321，而选项 A、B、C 的秩分别为 3、2、2 均不符合要求。或将选项 D 代入方程组验证，2，1，1 0，2x1+x2+x30 ，x 32x 1x2， 方程组解为 1【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 D【试题解析】 23|A|+23|B|2 35+23148【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 B【试题解析】 计算 A11+A21+A31+A41 的值，相当于计算行列式 D1的值。利用行列式运算性质，在 D1 中有两列对应元素成比例，行列式值为零。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 C【试题解析】 分别求 A11、A 12、A 13、A 14 计算较麻烦。可仿照上题方法计算，求A11+A12+A13+A14 的值，可把行列式的第一行各列换成 1 后，利用行列式的运算性质计算。A 11+A12+A13+A14【知识模块】 高等数学
