1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 设 、 都是非零向量，若 =，则( ) 。（A）=（B） 且 （C） ( 一 )（D）( 一 )2 设 =i+2j+3k，=i 一 3j 一 2k，与 、 都垂直的单位向量为 ( )。3 已知 a、b 均为非零向量，而 a+b=ab，则( )。（A）ab=0（B） a+b=0（C） a.b=0（D）ab=04 设三向量 a，b，c 满足关系式 a*b=a*c，则( )。（A）必有 a=0 或 b=C（B）必有 a=bC=0（C）当 a0 时必有
2、b=C（D）a 与(bc)均不为 0 时必有 a(bc)5 设 a，b，c 为非零向量，则与 a 不垂直的向量是( )。（A）(a*C)b 一(a*b)c（B）（C） ab（D）a+(ab)a6 设 a、b 为非零向量，且满足(a+3b)(7a 一 5b)，(a 一 4b)(7a 一 2b)，则 a 与 b 的夹角 =( )。7 已知a=2，b= ，且 ab=2，则ab =( )。8 设向量 x 垂直于向量 a=(2，3，一 1)和 b=(1，一 2，3)，且与 c=(2，一 1，1)的数量积为一 6，则向量 x=( )。（A）(一 3，3，3)（B） (一 3，1，1)（C） (0，6，0)
3、（D）(0 ，3，一 3)9 直线 L1： 之间的关系是 ( )。（A）L 1L2（B） L1，L 2 相交但不垂直（C） L1L2 但不相交（D）L 1，L 2 是异面直线10 已知直线方程 中所有系数都不等于 0，且 ，则该直线( )。（A）平行于 x 轴（B）与 x 轴相交（C）通过原点（D）与 x 轴重合11 已知直线 L1 过点 M1(0，0，一 1)且平行于 x 轴，L 2 过点 M2(0，0，1)且垂直于xoz 平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为( ) 。（A）x 2+y2=4z（B） x2 一 y2=2z（C） x2 一 y2=z（D）x 2 一 y2=4z12 在平面 x+
4、y+z 一 2=0 和平面 x+2y 一 z 一 1=0 的交线上有一点 M，它与平面x+2y+z+1=0 和 x+2y+z 一 3=0 等距离，则 M 点的坐标为( )。（A）(2 ，0，0)（B） (0，0，一 1)（C） (3，一 1，0)（D）(0 ，1，1)13 设平面 平行于两直线 及 2x=y=z，且与曲面 z=x2+y2+1 相切，则 的方程为( ) 。（A）4x+2yz=0（B） 4x 一 2y+z+3=0（C） 16x+8y 一 16z+11=0（D）16x 一 8y+8z 一 1=014 三个平面 x=cy+bz，y=az+cx，z=bx+ay 过同一直线的充要条件是(
5、)。（A）a+b+c+2abc=0（B） a+b+c+2abc=1（C） a2+b2+c2+2abc=0（D）a 2+b2+c2+2abc=115 通过直线 的平面方程为( )。（A）x 一 z 一 2=0（B） x+z=0（C） x 一 2y+z=0（D）x+y+z=116 直线 L 为 ，平面 为 4x 一 2y+z 一 2=0，则( )。（A）L 平行于 （B） L 在 上（C） L 垂直于 （D）L 与 斜交17 设有直线 L1：x=一 1+t，y=52t，z=一 8+t，L 2： ，则两线的夹角为( )。18 过点(一 1，2，3) 垂直于直线 且平行于平面 7x+8y+9z+10=
6、0 的直线是( )。19 若直线 相交，则必有( )。20 过点 P(1，0，1)且与两条直线 都相交的直线的方向向量可取为( )。（A）(一 1，1，2)（B） (一 1，1， 一 2)（C） (1，1， 一 2)（D）(1 ，1，2)21 下列方程中代表锥面的是( )。22 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是( ) 。（A）(1 ，一 1，2)（B） (一 1，1，2)（C） (1，l，2)（D）(一 1， 一 1，2)23 母线平行于 ax 轴且通过曲线 的柱面方程为( )。（A）3x 2+2z2=16（B）
7、x2+2y2=16（C） 3y2 一 z2=16（D）3y 2 一 z=1624 曲线 L： 在 xoy 面上的投影柱面方程是 ( )。25 方程 是一旋转曲面方程，它的旋转轴是( )。（A）x 轴（B） y 轴（C） z 轴（D）直线 x=y=z26 在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )。（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在27 螺旋线 p： (a， b 为正常数) 上任一点处的切线( )。（A）与 z 轴成定角（B）与 x 轴成定角（C）与 yoz 平面成定角（D）与 zox 平面成定角28 求极
8、限 时，下列各种解法中正确的是( )。（A）用洛必达法则后，求得极限为 0（B）因为 不存在，所以上述极限不存在（C）原式（D）因为不能用洛必达法则，故极限不存在29 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时( )。（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)是比 x 高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 低阶的无穷小30 设 f(x)满足 ，当 x0 时，lncosx 2 是比 xnf(x)高阶的无穷小，而 xnf(x)是比 esin2x 一 1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）431 设函数 可
9、导，则必有( )。（A）a=1 ，b=2（B） a=一 1，b=2（C） a=1，b=0（D）a= 一 1，b=032 下列命题正确的是( )。（A）分段函数必存在间断点（B）单调有界函数无第二类间断点（C）在开区间内连续，则在该区间必取得最大值和最小值（D）在闭区间上有间断点的函数一定有界33 下列函数中，在点(0，0)处连续的函数是( ) 。34 设函数 f(x)在 x=x0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，则函数 f(x)f(x)在 x=x0处( )。（A）可导，且导数为 2f(x0)f(x0)（B）可导，且导数为 2f(x0)f(x 0)（C）可导，且导数为 2f(x 0)f(x
10、0)（D）不可导35 设函数 f(t)连续，t -a，a ，f(t)0，且 g(x)= ，则在一 a，a内必有( )。（A）g(x)=C(常数)（B） g(x)是单调增加的（C） g(x)是单调减少的（D）g(x)是函数，但不单调36 设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )。37 函数 在 x 处的导数 是( )。38 已知 f(x)是二阶可导的函数， 为( )。（A）e 2f(x)（B） e2f(x)f“(x)（C） e2f(x)(2f(x)（D）2e 2f(x)2(f(x)2+f“(x)39 设 是实数，f(x)= ，f(x)在 x=1 处可导，则 的取值为( )。（A）一
11、 1（B）一 10（C） 01（D）140 设函数 y=f(x)有 ，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是( )。（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小，但不等价（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小41 已知 xy=kz(k 为正常数)，则 等于( )。（A）1（B）一 1（C） k（D）42 二元函数 ，在点(0，0)处( )。（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在43 已知 为某函数的全微分，则 a 等于( )。（A）一 1（B） 0（C） 1（D）244 设 y=f(x)是满足微分方程
12、y”+y一 esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在( )。（A）x 0 的某个邻域内单调增加（B） x0 的某个邻域内单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取得极大值45 在区间(一，+)内，方程 ( )。（A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根46 已知函数 f(x，y)在点（0，0) 的某个邻域内连续，且 ，则( )。（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点注册
13、岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 1 答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意可得， 一 =( 一 )=0，故 ( 一 )。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，先将向量表示为点：=(1，2，3)，=(1，一 3，一 2)；设与它们垂直的单位向量为 =(x，y，z) ，则有 解得，。表示成单位向量为：【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 a0，b0 及a+b =ab知，(a+b)*(a+b)=(ab)*(ab)。即 a*b=一 a*b，所以
14、a*b=0。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 因 a*b=a*c 且 a0，b c0，故 a*ba*c=0，即 a*(bC)=0， a(bc)。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由两向量垂直的充要条件：两向量的数量积为零，以及由向量的运算法则有 A 项，a*(a*C)b 一(a*b)C=0；B 项， C 项，a(ab)=0； D 项，aa+(ab)a=a 20。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由两向量垂直的充要条件得：【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得，
15、xab ，而 ab=(2，3，-1)(1，-2，3)=(7，一 7，一7)=7(1，一 1，一 1)，所以 x=(x，一 x，一 x)。再由一 6=x*c=(x，一 x，一 x)*(2，一 1，1)=2x 得，x=-3，所以 x=(一 3，3，3)。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 因 ，故在原直线的方程中可消去 x 及 D，故得原直线在 yoz 平面上的投影直线方程为 ，在 yoz 平面上的投影过原点，故原直线必与 x轴相交。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 两直线的方程为： 。设动点为M(x，y，z)
16、 ，则由点到直线的距离的公式知： (其中 li 是直线 Li 的方向向量)，则： 。由 d1=d2 得：d12=d22，故(z+1) 2+y2=(z 一 1)2+x2，即 x2 一 y2=4z。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 C【试题解析】 A 项，点(2，0，0)不在平面 x+2yz1=0 上；B 项，点(0，0，一1)不在平面 x+y+z 一 2=0 上；D 项，点(0，1，1)与两平面不等距离。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 D【试题解析】 由于三个平面过同一直线线性齐次方程组【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 A【试
17、题解析】 因点(一 1，2，一 3)不在平面 x+z=0 上，故可排除 B 项；因点(3，一 1，1) 不在 x 一 2y+z=0 和 x+y+z=1 这两个平面上，故可排除 CD 两项，选 A 项。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量 平面 的法向量n=4i 一 2j+k，所以 sn，即直线 L 垂直于平面 。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 C【试题解析】 两直线的夹角即为两直线的方向向量的夹角，而 L1 的方向向量为s1=(1，一 2，1)，L 2 的方向向量为 s2=(1，一 1，0)(0 ，2，1)=(一 1，一 1，2)。s1，s
18、2 夹角 的余弦为：【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 A【试题解析】 直线 的方向向量为 s=(4，5，6)，平面 7x+8y+9z+10=0 的法向量为 n=(7，8，9) 。显然 A、B、C 中的直线均过点(一 1，2，3)。对于 A 中直线的方向向量为 s1=(1，一 2，1)，有 s1s，s 1n，可见 A 中直线与已知直线垂直，与平面 7x+8y+9z+10=0 平行。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 D【试题解析】 如果两直线相交，则这两条直线的方向向量与这两条直线上两点连线构成的向量应在同一平面上，由此来确定入。点 A(1，一 1，1)，B(一 1，1，0)分别为
19、两条直线上的一点，则 AB=(一 2，2，一 1)，两条直线的方向向量分别为s1=(1， 2，) ，s 2=(1，1，1)，这三个向量应在同一个平面上，即：。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 D【试题解析】 设过点 P(1，0，1)的直线 L 分别与直线 L1 与 L2 交于点 A 和点 B，由 L1 和 L2 的方程知，存在常数 使点 A 的坐标为(， 一 1，一 1)，存在常数 使点 B 的坐标为(1+，2， 3+)， 由此可求得=0，=2，即点 A 为(0，一 1，一 1)，点 B 为(3，2，5)。从而，直线 L 的方向向量可取任一平行于 AB=(3，3，6)的非零向量。【知识
20、模块】 高等数学21 【正确答案】 A【试题解析】 锥面方程的标准形式为：【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 C【试题解析】 即求曲面 S：F(x，y，z)=0，其中 F(x，y，z)=z+x 2+y2 一 4 上点 P使 S 在该点处的法向量 n 与平面 ：2x+2y+z-1=0 的法向量，n 0=(2，2，1)平行。S 在 P(x，y，z)处的法向量， n= =(2x，2y，1)。n n0n=n 0， 为常数，即 2x=2，2y=2 ， 1=A。即 x=l，y=1，又点 P(x，y，z) Sz=4 一 x2 一y2(x， y)=2，求得 P(1，1，2)(P 不在给定的平面上)。【知
21、识模块】 高等数学23 【正确答案】 C【试题解析】 因柱面的母线平行于 x 轴，故其准线在 yoz 平面上，且为曲线在 yoz平面上的投影，在方程组 中消去 x 得： ，此即为柱面的准线，故柱面的方程为：3y 2 一 z2=16。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 A【试题解析】 投影柱面方程是一个二元方程，C 、D 表示的是曲线。而 B 中的方程中含 z，不可能是 L 在 xoy 面上的投影柱面方程。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 C【试题解析】 故曲面是由直线绕 z 轴旋转而成。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 B【试题解析】 求曲线上的点，使该点处的切向量 与平
22、面 x+2y+z=4 的法向量n=(1，2，1) 垂直。曲线在切点处的切向量 =(x(t)，y(t)，z(t)=(1，一 2t，3t 2)。又 nn.=0，即 1-4t+3t2=0，解得：t=1， 。(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此，只有两条这种切线。【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 A【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为曲线 p 上任一点，则点 M 处的切向量为：l=(一asint，acost，b)，而 z 轴的方向向量为 k=(0，0， 1)，于是 l 与 k 的夹角为：故该曲线上任一点处的切线与 z 轴成定角 。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 C【试题解析
23、】 A 项，因为 不存在，故不能用洛比达法则求极限。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 B【试题解析】 利用等价无穷小代换与极限四则运算法则求解。 再由极限的四则运算法则，得 。 根据无穷小的阶的定义，可知 B 正确。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 A【试题解析】 由 知，当 x0 时，f(x)一 x2，于是 xnf(x)一 xn+2。 又当 x0 时，lncosx 2=In1+(cosx21)cosx 2-1 。e sin2x 一 1sin 2xx 2。 再根据题设有 2n+24，可见 n=1。【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 B【试题解析】 若函数 f(x)在 x=
24、1 处可导，则 f(x)在 x=1 处连续，从而且【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 B【试题解析】 A 项，例如分段函数 在定义域内没有间断点；C 项，函数 f(x)=x，0x1，在开区间(0，1) 内单调连续，没有最大值和最小值；D 项，若函数在闭区间内有第二类间断点，则函数在该区间内不一定有界； B 项，若函数单调有界，则一定没有第二类间断点。【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 D【试题解析】 A 项，因 A 中函数在点(0，0)处没定义，故函数在点(0，0)处不连续。B 项，因 。 C 项，令 y=kx(k1)，有不存在。D 项，当 x0，于是 ，取 =，当 0因此，D 项
25、中函数在点(0 ，0) 处连续。【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 C【试题解析】 令 g(x)=f(x)f(x)。当 f(x0)=0 时，当 f(x0)0 时，因为f(x)在 x=x0 的某邻域内连续，所以，存在 x0 的一个邻域，当 x 在该邻域内时，f(x)0，有 同理可得，当 f(x0)0 时，所以，函数 f(x)f(x)在 x=x0 处可导，且导数为 2f(x 0)f(x 0)。【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 B【试题解析】 当一 axa 时，有【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 C【试题解析】 将函数
26、y 看作一个复合函数，求导如下：【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 D【试题解析】 将 y 看作一个复合函数，利用复合函数的求导法则可得：【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 A【试题解析】 由导数定义 显然f(1)=0，因此 +10，即 一 1 时，f(1)=0 ，即可导。【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 B【试题解析】 根据微分概念及同阶无穷小的定义，因 ，故。即 dy 与x 为同阶无穷小，但不等价。【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 B【试题解析】 将方程整理为 F(x，y，z)=0 的形式，即 xy 一 kz=0，则有【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 C
27、【试题解析】 偏导数可按定义计算，而是否连续，要求先确定其极限，若极限不存在，则必定不连续。由偏导数的定义知， 。 同理，f y(0， 0)=0。可见在点(0，0) 处 f(x，y)的偏导数存在。 而当 y=kx 时，有。当 k 不同时， 不同，故 不存在，因而 f(x，y)在点(0，0)处不连续。【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 D【试题解析】 P(x ，y)dx+Q(x，y)dy 为某函数 u(x，y)的全微分 du(x，y)，即： du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy 的充要条件是： 。 由题设为某函数的全微分的充要条件是： 即(a2)xay=一 2y，(a-2)(
28、x 一 y)=0。当且仅当 a=2 时上式恒成立。【知识模块】 高等数学44 【正确答案】 C【试题解析】 将 f(x0)=0 代入方程得 f“(x0)的符号，从而由极值的充分条件得正确选项。 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 esinx=0，所以有 f“(x0)=esinx0 一 f(x0)=esinx00。 即 f(x0)=0，f“(x 0)0。故 f(x)在 x0 处取得极小值。【知识模块】 高等数学45 【正确答案】 C【试题解析】 将方程根的讨论先转化为函数零点的讨论，零点的存在性用介值定理，个数或惟 一性利用单调性或极值加以说明。 令 f(x)= ，由于 f(-x)=f(x
29、)，故 f(x)为偶函数，因此只需考虑 f(x)=0 在(0，+)内的实根情况。 当x0 时， 。 可见，当 x 时，f(x)0，f(x)在 内单调增加，f(0)=-1， 1，因此 f(x)=0 在 上有惟一实根； 当 时，f(x)0，故在(0 ，+) 上 f(x)仅存在惟一实根。 根据 f(x)关于 y 轴对称的性质，f(x)=0 在(一 ，+) 上有且仅有两个实根。【知识模块】 高等数学46 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，容易推知 f(0，0)=0，因此点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点，关键看在点(0，0) 的充分小的邻域内 f(x，y)是恒大于零、恒小于零还是变号。 由知，分子的极限必为零，从而有 f(0，0)=0，且 f(x，y)一 xy (x2+y2)2(x， y充分小时 )，于是 f(x，y)一 f(0，0)xy+(x 2+y2)2。 可见当 y=x且x充分小时，f(x，y) 一 f(0，0)x 2+4x40； 而当 y=一 x 且x充分小时，f(x，y)一 f(0，0) 一 x2+4x40。 故点(0，0)不是 f(x，y)的极值点。【知识模块】 高等数学
