1、考研数学（数学一）模拟试卷 484 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 0 时，下列无穷小量阶数最高的是( )（A）（B） 334 45 5（C） cos（D）2 已知 f()的导函数图像如图 1 所示，则 f()在(0 ，)上( )（A）有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。（B）有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。（C）有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。（D）有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。3 设幂级数 an(1) n 在 1 处条件收敛，则 nan(1) n 在 15 处( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D
2、）收敛性无法判断4 函数 f() 在 0 处( )（A）不连续但偏导数存在（B）偏导数不存在但连续（C）可微但偏导数不连续（D）偏导数连续5 设 A 为 4 阶矩阵，A( 1， 2， 3， 4)，若 A0 的基础解系为(1，2，3，0)T，则下列说法中错误的是( )（A） 1， 2， 3 线性相关。（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表出。（C） 1， 2， 4 线性无关。（D） 1 可由 2， 3， 4 线性表出。6 已知 (1，3，2) T，(0，1，2) T，设矩阵 A TE，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（A）（B） （C） （D）7 已知 X 的分布函数为 F()，概率密
3、度为 f()，a 为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是( )（A）f(a)（B） f()（C） af(a)（D）2f()F()8 已知随机变量 X，Y 均服从正态分布 N(， 2)，且 Pmax(X，Y)a(o 01)，则 Pmin(X，Y)( )（A）（B） 1（C） a（D）1a二、填空题9 设 f()为可导的偶函数，满足 2，则曲线 yf()在点(1，f(1)处的切线方程为_。10 已知凹曲线 yf() 在曲线上任意一点(，f()处的曲率为 K ，且f(0)0，f(0)0，则 f()_。11 设函数 z z(，y)具有二阶连续的偏导数，满足 y，z(，0)0，z(0，y
4、)y 2，则 z(，y)_。12 设曲线 L 为从点 A(1，0)到 B(0，1) 再到 C(1，0)的折线，则_。13 设 A，B 均为三阶矩阵将 A 的第一行加到第二行得到 A1将 B 的第二列和第三列交换得到 B1，若 A1B1 ，则 AB_。14 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(1，2； 2， 2；0)，则PXY22XY_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 I16 设对 0 的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面 都有 f()dydyf()dzdze 2ddy0， 其中函数 f()在(0，) 内具有连续一阶导数，且 Rf()1，求 F()。17 计算
5、曲线积分 I (y)cosyd (y)sindy。其中 (y)具有连续的导数，曲线厂为从 A(，2)到 B(3，4)在直线 AB 下方的任意路径，该曲线与直线AB 所围成的区域面积为 2。18 将函数 f()2(11)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数19 设函数 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导且 f(a)f(b)，试证明存在， (a，b)，使得20 线性方程组有公共的非零解，求 a， b 的值和全部公共解。21 设二次型 f(1， 2， 3)a 122 222 322b 13(b0)，其中二次型的矩阵 A 的特征值的和为 1，特征值的乘积为12。 ()求 a，b 的值
6、； ()利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。22 设二维随机变量(X，Y)在区域 D 上均匀分布，其中D(，y) y1 。又设 UXY，V X Y，试求： ()U 和 V，的概率密度 fU(u)与 fv(v)； ()U 和 V 的协方差 Cov(U，V)和相关系数 UV。23 设总体 X 服从0， 上的均匀分布，X 1，X 2，X 3，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求： ()未知参数 的最大似然估计量 ； () 是否为 的无偏估计量，为什么?考研数学（数学一）模拟试卷 484 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
7、求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，选项 B， 334 45 53 3o( 3)，可知 334 45 53 3。 选项C， cos 11cos，其中 1 2，1cos 2，可知可知 选项 D，假设 和 n 同阶，计算极限可见，要使极限为非零常数，必有 n4。 综上所述，本题选 D。2 【正确答案】 C【试题解析】 驻点为导数等于 0 的点，即导函数图像与横坐标的交点，共 3 个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有 2 个；拐点即为导函数的极值点，根据图像可知有 3 个点。故选择 C。3 【正确答案】 C【试题解析】 因为级数 an(1) n 在 1 处条件收敛，则其收敛半径
8、为R2，所以 nan(1) n 的收敛区间为(3，1)，而 15 不在收敛区间内，所以 nan(1) n 在 15 处发散。4 【正确答案】 C【试题解析】 连续性：所以函数f(，y)在(0，0)点连续。 偏导数：所以函数 f(，y) 在(0，0)处对 的偏导数存在。同理可验证函数 f(，y) 在(0，0)处对 y 的偏导数存在。所以函数 f(，y)在(0 ，0)处的偏导数存在。 全微分：所以函数 f(，y) 在(0，0)处可微。偏导数连续性：令 yk，极限不存在， 所以函数 f(，y)在(0 ，0)处不连续，故选择 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 A0 的基础解系为(1，2，3，0)
9、T，可知 r(A)3 且1 223 30，则 1， 2， 3，线性相关，所以 A 正确。 因为 r(A)3 且1， 2， 3 线性相关，若 4 可由 1， 2， 3 线性表出，则 r( 1， 2， 3， 4)r( 1， 2， 3)3， 所以该选项错误，答案为 B。 由于 3 ，可知1 能由 1， 2， 4 线性表出，故 r( 1， 2， 4)r( 1， 2， 3， 4)3， 因此1， 2， 4 线性无关，所以 C 正确。 由于 1 223 3，可知 1 可由(2， 3， 4 线性表出，所以 D 正确。6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可知 r(T)1，所以 T 的特征值为 0，0， T，
10、即0，0，1，所以 A 的特征值为1，1，0。 A 属于 0 的特征向量等于 T 属于 1的特征向量，因为 T (T) ，所以答案为 A。7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知 f()为概率密度函数，故 f()0， f()d1。F() 为分布函数，故 F()0，从而 f(a)，f()，2f()F()大于等于 0，并且寄易验证它们积分等于 1，而 af(a)在 a0 时小于 0，故不一定为概率密度函数。8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知Pmax(X， Y)1Pmax(X，Y)1PX ，Y ，而 Pmin(X，Y)PX 或 YPXPY PX，Y1PX，Y。从而 Pmin(X，Y)P
11、max(X，Y)a。二、填空题9 【正确答案】 y4( 1)【试题解析】 因为 2，所以 f(cos)0，即 f(cos)f(1)0。 因为 f()为偶函数，可得 f(1)0。根据 2 可得可得 f(1)4，因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，则 f(1)f(1)4，切线方程为 y4(1)。10 【正确答案】 2【试题解析】 根据曲率公式 因为函数yf()为凹曲线，可得 f ()0，则有微分方程令 f()p ，则解微分方程可得 f() 2。11 【正确答案】 【试题解析】 因为 y，对 积分可得 yC(y) 令 0 可得 C(y)，又因为 z(0， y)y 2，对 y 求导 2y，可得
12、 C(y)2y， 那么 y2y 再对 y 积分可得 z(z，y) y 2C()， 令 y0 可得 z(，0)0C()，则 z(，y) y 2。12 【正确答案】 2【试题解析】 从点 A(1，0)到 B(0，1)的曲线为 L1：y1，点 B(0，1)到C( 1， 0)的曲线为 L2：y1，(如图 1 所示)根据积分曲线的可加性可得先求L1：y 1 ，将其代入积分中可得 再求 L2：y1，将其代入积分中可得13 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知，A 1E 12(1)A，B 1BE 23，所以 A1B1E 12(1)ABE23，从而 ABE 121 (1)AiB1E231 E 12(1)A
13、1B1E2314 【正确答案】 【试题解析】 由题可得 XN(1， 2)，YN(2， 2)，从而 PXY22X YPX(Y2)y2 PX1，Y2 PX1，Y2， 因为 0，所以X，Y 相互独立，因此 上式PX1PY 2PX 1PY2 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 所以 I e01。16 【正确答案】 根据已知条件，结合高斯公式，有 0 f()dydzyf()dzdze 2ddy， (f()f()f() 2)dV， 其中 是由 围成的有界封闭区域，由的任意性可知 f()f()f()e 20(0)， 即 f()e2(0)。所以(e2Ce )0，即 C10，
14、C1。 故 f() ， 0。17 【正确答案】 添加一条边 BA，则 I (y)cosyd (y)sin dy(y)cosyd (y)sindy 。 曲线与直线 AB 所围成的区域记为 D，由格林公式可得 由于D 的面积为 2，可知 ddy2。 直线 AB 的方程为 y 1，则从而 I6 2。18 【正确答案】 题中所给函数为偶函数，因此 b n0，n1，2， a02 01(2)d5， a 201(2)cosnd ，n1，2，。 由狄利克雷收敛定理可知令 0，则 2则19 【正确答案】 根据题设条件并由拉格朗日中值定理知，存在一点 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()(b a) 。 令 g
15、() 2，g() 在( ，)上连续且可导，则由柯西中值定理知，存在 (a，b)，使得 所以 f(b)f(a) (b2a 2)， 则 f()(ba) (b2a 2)， 即20 【正确答案】 因为线性方程组()() 有公共的非零解，所以它们的联立方程组()有非零解，即 ()系数矩阵 A 的秩小于 4。对矩阵 A 进行初等行变换，得所以 a2，b3。 且 r(A)3。 此时可解方程组 得 (0，2，3，1) T，即为()的一个非零解。 又 r(A)3，所以 构成()的基础解系。因此，()和()的全部公共解为k(0，2 ，3，1) T(其中 k 为任意常数)。21 【正确答案】 () 二次型 f 对应
16、的矩阵为 A 设 A 的特征值1， 2， 3 满足题中所给条件，则 1 2 3 a221， 123A4a2b 212。 解得 a1，b2，已知 b0，因此 a1，b 2。 () 由矩阵 A 的特征多项式 E A (2)( 26) (2) 2(3)。 解得 A 的三个特征值分别为 2，2，3。 由(2EA) 可求得属于特征值 2 的特征向量有两个，分别为 1(0 ，1，0) T， 2(2，0，1) T。 由(3EA) 可求得属于特征值3 的特征向量为 3(1，0，2) T。 由于 A 的三个特征向量已经两两正交，因此只需要单位化，即 可得正交矩阵 Q ( 1， 2， 3)令 XQy则有 f TA
17、y TQTAQy 2y 122y 223y 3222 【正确答案】 区域 D 实际上是以(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)为顶点的正方形区域，D 的面积为 2，(X，Y)的联合概率密度为 f(，y) 已知 f(，y)就可以求 fU(u)与 fV(v)，可利用 f(，y)的对称性。 ()UXY ，F U(u)PUu PX Yu f(，y)ddy。 当 u1 时，FU(u)0； 当1u1 时， FU(u) 当 u1 时，F U(u)1。 即 UU 1，1。 VXY，F V(v)PVvPX Yv f(，y)ddy。 当 v1 时，FV(v)0； 当1v1 时， FV(v) 当 v1 时，
18、F V(v)1。 即 VU 1，1。 ()Coy(U，V)E(UV)E(U)E(V)，显然 E(U)E(V)0，而 E(UV)E(XY)(X Y)E(X 2Y 2)E(X 2)E(Y 2)， 由 X，Y 的对称性得 E(X2)E(Y 2)，所以 Cov(U，V)0， UV 0。23 【正确答案】 () 似然函数由于函数 L 在 处间断，当 时，函数 L0。 当 时，L 0 是 的单调减函数，因此当 时，L 达到最大值，于是 的最大似然估计量为 。 ()为求 的期望值，先求 的分布。 由于总体 X 服从0，上的均匀分布，因此 Xi(i：1，n)也服从0，上的均匀分布。其分布函数为 概率密度为记 的分布函数为 G()，密度函数为 g()，则 当 0 时， G()0；当 时，G()1； 当 0时，由于X1，X n 相互独立，于是有通过计算看出 不是参数 的无偏估计量。
