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【考研类试卷】考研数学一-418 (1)及答案解析.doc

1、考研数学一-418 (1)及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:8,分数:8.00)1.设 (分数:1.00)2.设曲线 (分数:1.00)3. (分数:1.00)4.设 ,且 L 的长度为 l,则 (分数:1.00)5.设 则 (分数:1.00)6. (分数:1.00)7. (分数:1.00)8.设 S 为平面 x-2y+z=1 位于第四卦限的部分,则 (分数:1.00)二、选择题(总题数:4,分数:4.00)9.设 (分数:1.00)A.-1B.0C.1D.210.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界,取逆时针方向,则 (分数:1

2、.00)A.-2B.2CD.011.设:x 2 +y 2 +z 2 =1(z0), 1 为在第一卦限的部分,则_ A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.12.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分,则 (分数:1.00)A.B.C.D.三、解答题(总题数:37,分数:88.00)13.计算 L (x 3 +y 2 )ds,其中 L:x 2 +y 2 =a 2 (分数:2.00)_14. (分数:2.00)_计算 L xdy-(2y+1)dx,其中(分数:2.00)(1).L 从原点经过直线 y=x 到点(2,2);(分数:1.00)_(2).L 从原点

3、经过抛物线 (分数:1.00)_计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy,其中(分数:2.00)(1).L 从原点沿直线 y=x 到点(1,1),(分数:1.00)_(2).L 从原点沿抛物线 y=x 2 到点(1,1)(分数:1.00)_15.计算 L (3x+2y+1)dx+xe x2+y2 dy,其中 L 为 x 2 +y 2 =4 第一象限逆时针方向部分 (分数:2.00)_16.利用格林公式计算 L (e x siny+x-y)dx+(e x cosy+y)dy,其中 L 是圆周 (分数:2.00)_17.求 (分数:2.00)_18.计算 (分数:2.00)_19.

4、在过点 O(0,0)和 A(,0)的曲线族 y=asinx(a0)中,求一条曲线 L,使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小 (分数:2.00)_20.设 Q(x,y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数,且 L 2xydx+Q(x,y)dy 与路径无关,且对任意的t 有 (分数:2.00)_21.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关,其中 连续可导,且 (0)=0,计算 (分数:2.00)_22.计算曲线积分 (分数:2.00)_23.计算 (分数:2.00)_24.计算 ,其中 S 是平面 (分数:2.00)_25

5、.计算 ,其中为锥面 (分数:2.00)_26.求 ,其中为 x 2 +y 2 +z 2 =1 被 (分数:2.00)_27.计算 ,其中 S 是圆锥面 (分数:2.00)_28.计算 (分数:2.00)_29.设 ,点 P(x,y,z), 为曲面三在点 P 处的切平面,d(x,y,z)为点 O(0,0,0)到平面 的距离,计算 (分数:2.00)_30.计算 xz 2 dydz+(x 2 y-z 3 )dzdx+(2xy+y 2 z)dxdy,其中为 (分数:2.00)_31.计算 (分数:2.00)_32.设 f(u)连续可导,计算 (分数:2.00)_33.求曲面积分 ,其中 (分数:2

6、.00)_34.计算 I= (x+3z 2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx-3y 2 dxdy,其中为 (分数:3.00)_35.计算曲面积分 I= (分数:3.00)_36.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =4(z0)的外侧,计算 (分数:3.00)_37.计算曲面积 ,其中 S 为锥面 (分数:3.00)_38.计算 ,其中:(x-1) 2 +(y-1) 2 + (分数:3.00)_39.设 f(x,y,z)是连续函数,是平面 x-y+z-1=0 在第四卦限部分的上侧,计算 (分数:3.00)_40.计算 (分数:3.00)_41.计算 ,其中是曲面 (分数:3.00

7、)_42.计算 ,其中为 (分数:3.00)_43.计算 ,其中 f(u)连续可导,曲面为 (分数:3.00)_44.计算 ,其中为 (分数:3.00)_45.计算 ,其中 (分数:3.00)_46.对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面,有 (分数:3.00)_47.设向量场 A=xz 2 +y 2 ,x 2 y+z 2 ,y 2 z+x 2 ),求 rotA 及 divA (分数:3.00)_考研数学一-418 (1)答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:8,分数:8.00)1.设 (分数:1.00)解析:解析 ,由二重积分的对称性得 2.设曲线 (分

8、数:1.00)解析:解析 3. (分数:1.00)解析:8 解析 根据对称性和奇偶性得 4.设 ,且 L 的长度为 l,则 (分数:1.00)解析:36l 解析 由对称性得 , 于是原式= 5.设 则 (分数:1.00)解析: 解析 , 原点到平面 x+y+z=1 的距离为 ,则圆 的半径为 , 则 6. (分数:1.00)解析:0 解析 令 L 1 :y=1-x(起点 x=1,终点 x=0), L 2 :y=1+x(起点 x=0,终点 x=-1), L 3 :y=-1-x(起点 x=-1,终点 x=0), L 4 :y=-1+x(起点 x=0,终点 x=1), 则 7. (分数:1.00)解

9、析: 解析 因为 , 所以 8.设 S 为平面 x-2y+z=1 位于第四卦限的部分,则 (分数:1.00)解析: 解析 S:z=1-x+2y,S 在 xOy 平面上的投影区域为 ,则 二、选择题(总题数:4,分数:4.00)9.设 (分数:1.00)A.-1B.0C.1D.2 解析:解析 ,由10.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界,取逆时针方向,则 (分数:1.00)A.-2B.2 CD.0解析:解析 取 C r :x 2 +y 2 =r 2 (其中 r0,C r 在 L 内,取逆时针), 设由 L 及 所围成的区域为 D r ,由 C r 围成的区域为 D 0

10、,由格林公式得 从而 而 ,再由格林公式得 11.设:x 2 +y 2 +z 2 =1(z0), 1 为在第一卦限的部分,则_ A B C D (分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 因为曲面关于平面 xOz、yOz 对称,所以 ,注意到12.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分,则 (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解析 ,则 三、解答题(总题数:37,分数:88.00)13.计算 L (x 3 +y 2 )ds,其中 L:x 2 +y 2 =a 2 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 根据对称性, L (x 3 +y 2 )ds= L

11、 y2ds= L x L ds,则 14. (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 令 L 1 :y=0(0x2), , 则 而 所以原式= 计算 L xdy-(2y+1)dx,其中(分数:2.00)(1).L 从原点经过直线 y=x 到点(2,2);(分数:1.00)_正确答案:()解析:解 (2).L 从原点经过抛物线 (分数:1.00)_正确答案:()解析:解 计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy,其中(分数:2.00)(1).L 从原点沿直线 y=x 到点(1,1),(分数:1.00)_正确答案:()解析:解 (2).L 从原点沿抛物线 y=x 2 到点(1,1

12、)(分数:1.00)_正确答案:()解析:解 15.计算 L (3x+2y+1)dx+xe x2+y2 dy,其中 L 为 x 2 +y 2 =4 第一象限逆时针方向部分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 令 , 则 16.利用格林公式计算 L (e x siny+x-y)dx+(e x cosy+y)dy,其中 L 是圆周 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 而 所以 17.求 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 取 L 0 :y=0(起点 x=-a,终点 x=a), 而 则 18.计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 令 L 1 :y=0(起点 x=0

13、,终点 x=2),则 其中 所以原式= 19.在过点 O(0,0)和 A(,0)的曲线族 y=asinx(a0)中,求一条曲线 L,使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 20.设 Q(x,y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数,且 L 2xydx+Q(x,y)dy 与路径无关,且对任意的t 有 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 因为曲线积分与路径无关,所以 ,于是 Q(x,y)=x 2 +(y) 由 ,得 21.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关,其中 连续可

14、导,且 (0)=0,计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 令 P(x,y)=xy 2 ,Q(x,y)=y(x), 因为曲线积分与路径无关,所以有 ,即 “(x)=2x, 故 (x)=x 2 +C,因为 (0)=0,所以 (x)=x 2 22.计算曲线积分 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 设 L 所围成的区域为 D,令 , (1)当 O(0,0)在 L 所围成区域的外部时,由格林公式 (2)当 O(0,0)在 L 所围成的区域内部时,作 C r :x 2 +4y 2 =r 2 (其中 r0,C r 在 L 内部,方向为逆时针方向),再令由 L 和 所围成的区域为 D r

15、,由格林公式 从而有 令 则有 23.计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 作上半椭圆 C 0 :x 2 +4y 2 =1,方向取逆时针,L 与 围成的区域为 D 1 ,C 0 与 x 轴围成的区域为 D 2 ,由格林公式得 从而有 原式= 24.计算 ,其中 S 是平面 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 , 而 ,D xy 为由 及 x,y 轴围成的部分, 于是 25.计算 ,其中为锥面 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D xy :x 2 +y 2 4, , 则 26.求 ,其中为 x 2 +y 2 +z 2 =1 被 (

16、分数:2.00)_正确答案:()解析:解 由 得曲面在 xOy 平面上的投影区域为 , 由曲面 得 所以 27.计算 ,其中 S 是圆锥面 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 曲面 在 xOy 平面上的投影为 D:x 2 +y 2 1, , 则 28.计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 ,D xy :x 2 +y 2 1, 29.设 ,点 P(x,y,z), 为曲面三在点 P 处的切平面,d(x,y,z)为点 O(0,0,0)到平面 的距离,计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 平面 的方程为 由 所以 30.计算 xz 2 dydz+(x 2 y-z 3 )

17、dzdx+(2xy+y 2 z)dxdy,其中为 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 由高斯公式得 31.计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 由两类曲面积分之间的关系得 而 所以 32.设 f(u)连续可导,计算 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 设 是所围成的区域,它在 xOz 平面上的投影区域为 x 2 +y 2 1,由高斯公式得 33.求曲面积分 ,其中 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 由对称性得 ,所以 曲面在平面 yOz 上的投影区域为 , 34.计算 I= (x+3z 2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx-3y 2 dxdy

18、,其中为 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 令 0 :z=0(x 2 +y 2 4)取下侧,则 由高斯公式得 又 35.计算曲面积分 I= (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 补充曲面 0 :z=a(x 2 +y 2 a 2 ),取上侧, 由高斯公式得 而 所以 36.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =4(z0)的外侧,计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 方法一 D xz =(x,z)|0z ),D xy =(x,y)|x 2 +y 2 4,则 方法二 补充曲面 0 :z=0(x 2 +y 2 4)取下侧,则 由高斯公式得 而 37.计算曲面积 ,其中 S

19、 为锥面 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 将曲面 S 向 xOz 面投影得 D xz =(x,y)|0x1,xz1, 故 38.计算 ,其中:(x-1) 2 +(y-1) 2 + (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 方法一 补曲面 ,取左侧, 则原式= , 而 所以原式= 方法二 设 0 :y=1,左侧, , 则原式= 故原式= 所以原式= 39.设 f(x,y,z)是连续函数,是平面 x-y+z-1=0 在第四卦限部分的上侧,计算 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 的法向量为 n=1,-1,1,方向余弦为 ,根据两类曲面积分之间的关系有 40.计算 (分数:3.

20、00)_正确答案:()解析:解 补充曲面 0 :z=4(x 2 +4y 2 4),取该曲面的下侧, 由高斯公式得 41.计算 ,其中是曲面 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 令 1 :z=1(x 2 +y 2 1)取下侧, 2 :z=2(x 2 +y 2 4)取上侧, 则 而 则 42.计算 ,其中为 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 令 取下侧, 取上侧, 而 43.计算 ,其中 f(u)连续可导,曲面为 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 令 0 :z=0(x 2 +y 2 1)取下侧, 而 所以 44.计算 ,其中为 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解

21、 1 :z=1(x 2 +y 2 1)取下侧, 2 :z=2(x 2 +y 2 4)取上侧, 而 45.计算 ,其中 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 补充曲面 0 :z=0(x 2 +y 2 a 2 ),取下侧,则 由高斯公式得 又 所以原式= 46.对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面,有 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由高斯公式得 当曲面法向量指向外侧时取正号,当曲面的法向量指向内侧时取负号 由的任意性得 xf“(x)+(1-x)f(x)-e 2x =0(x0),或者 , 则 因为 ,所以 ,从而 C=-1, 于是 47.设向量场 A=xz 2 +y 2 ,x 2 y+z 2 ,y 2 z+x 2 ),求 rotA 及 divA (分数:3.00)_正确答案:()解析:解

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