1、考研数学一-418 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：8.00)1.设 （分数：1.00）2.设曲线 （分数：1.00）3. （分数：1.00）4.设 ，且 L 的长度为 l，则 （分数：1.00）5.设 则 （分数：1.00）6. （分数：1.00）7. （分数：1.00）8.设 S 为平面 x-2y+z=1 位于第四卦限的部分，则 （分数：1.00）二、选择题(总题数：4，分数：4.00)9.设 （分数：1.00）A.-1B.0C.1D.210.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则 （分数：1
2、.00）A.-2B.2CD.011.设：x 2 +y 2 +z 2 =1(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：37，分数：88.00)13.计算 L (x 3 +y 2 )ds，其中 L：x 2 +y 2 =a 2 （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_计算 L xdy-(2y+1)dx，其中（分数：2.00）(1).L 从原点经过直线 y=x 到点(2，2)；（分数：1.00）_(2).L 从原点
3、经过抛物线 （分数：1.00）_计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy，其中（分数：2.00）(1).L 从原点沿直线 y=x 到点(1，1)，（分数：1.00）_(2).L 从原点沿抛物线 y=x 2 到点(1，1)（分数：1.00）_15.计算 L (3x+2y+1)dx+xe x2+y2 dy，其中 L 为 x 2 +y 2 =4 第一象限逆时针方向部分 （分数：2.00）_16.利用格林公式计算 L (e x siny+x-y)dx+(e x cosy+y)dy，其中 L 是圆周 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.
4、在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小 （分数：2.00）_20.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，且对任意的t 有 （分数：2.00）_21.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 连续可导，且 (0)=0，计算 （分数：2.00）_22.计算曲线积分 （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算 ，其中 S 是平面 （分数：2.00）_25
5、.计算 ，其中为锥面 （分数：2.00）_26.求 ，其中为 x 2 +y 2 +z 2 =1 被 （分数：2.00）_27.计算 ，其中 S 是圆锥面 （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.设 ，点 P(x，y，z)， 为曲面三在点 P 处的切平面，d(x，y，z)为点 O(0，0，0)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_30.计算 xz 2 dydz+(x 2 y-z 3 )dzdx+(2xy+y 2 z)dxdy，其中为 （分数：2.00）_31.计算 （分数：2.00）_32.设 f(u)连续可导，计算 （分数：2.00）_33.求曲面积分 ，其中 （分数：2
6、.00）_34.计算 I= (x+3z 2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx-3y 2 dxdy，其中为 （分数：3.00）_35.计算曲面积分 I= （分数：3.00）_36.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =4(z0)的外侧，计算 （分数：3.00）_37.计算曲面积 ，其中 S 为锥面 （分数：3.00）_38.计算 ，其中：(x-1) 2 +(y-1) 2 + （分数：3.00）_39.设 f(x，y，z)是连续函数，是平面 x-y+z-1=0 在第四卦限部分的上侧，计算 （分数：3.00）_40.计算 （分数：3.00）_41.计算 ，其中是曲面 （分数：3.00
7、）_42.计算 ，其中为 （分数：3.00）_43.计算 ，其中 f(u)连续可导，曲面为 （分数：3.00）_44.计算 ，其中为 （分数：3.00）_45.计算 ，其中 （分数：3.00）_46.对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面，有 （分数：3.00）_47.设向量场 A=xz 2 +y 2 ，x 2 y+z 2 ，y 2 z+x 2 )，求 rotA 及 divA （分数：3.00）_考研数学一-418 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：8.00)1.设 （分数：1.00）解析：解析 ，由二重积分的对称性得 2.设曲线 （分
8、数：1.00）解析：解析 3. （分数：1.00）解析：8 解析 根据对称性和奇偶性得 4.设 ，且 L 的长度为 l，则 （分数：1.00）解析：36l 解析 由对称性得 ， 于是原式= 5.设 则 （分数：1.00）解析： 解析 ， 原点到平面 x+y+z=1 的距离为 ，则圆 的半径为 ， 则 6. （分数：1.00）解析：0 解析 令 L 1 ：y=1-x(起点 x=1，终点 x=0)， L 2 ：y=1+x(起点 x=0，终点 x=-1)， L 3 ：y=-1-x(起点 x=-1，终点 x=0)， L 4 ：y=-1+x(起点 x=0，终点 x=1)， 则 7. （分数：1.00）解
9、析： 解析 因为 ， 所以 8.设 S 为平面 x-2y+z=1 位于第四卦限的部分，则 （分数：1.00）解析： 解析 S：z=1-x+2y，S 在 xOy 平面上的投影区域为 ，则 二、选择题(总题数：4，分数：4.00)9.设 （分数：1.00）A.-1B.0C.1D.2 解析：解析 ，由10.设 L 为由 y 2 =x+3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则 （分数：1.00）A.-2B.2 CD.0解析：解析 取 C r ：x 2 +y 2 =r 2 (其中 r0，C r 在 L 内，取逆时针)， 设由 L 及 所围成的区域为 D r ，由 C r 围成的区域为 D 0
10、，由格林公式得 从而 而 ，再由格林公式得 11.设：x 2 +y 2 +z 2 =1(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为曲面关于平面 xOz、yOz 对称，所以 ，注意到12.设曲面是 z=x 2 +y 2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 ，则 三、解答题(总题数：37，分数：88.00)13.计算 L (x 3 +y 2 )ds，其中 L：x 2 +y 2 =a 2 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性， L (x 3 +y 2 )ds= L
11、 y2ds= L x L ds,则 14. （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 L 1 ：y=0(0x2)， ， 则 而 所以原式= 计算 L xdy-(2y+1)dx，其中（分数：2.00）(1).L 从原点经过直线 y=x 到点(2，2)；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 (2).L 从原点经过抛物线 （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 计算 L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy，其中（分数：2.00）(1).L 从原点沿直线 y=x 到点(1，1)，（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 (2).L 从原点沿抛物线 y=x 2 到点(1，1
12、)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 15.计算 L (3x+2y+1)dx+xe x2+y2 dy，其中 L 为 x 2 +y 2 =4 第一象限逆时针方向部分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 则 16.利用格林公式计算 L (e x siny+x-y)dx+(e x cosy+y)dy，其中 L 是圆周 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 而 所以 17.求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 取 L 0 ：y=0(起点 x=-a，终点 x=a)， 而 则 18.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 L 1 ：y=0(起点 x=0
13、，终点 x=2)，则 其中 所以原式= 19.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 20.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，且对任意的t 有 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线积分与路径无关，所以 ，于是 Q(x，y)=x 2 +(y) 由 ，得 21.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 连续可
14、导，且 (0)=0，计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 P(x，y)=xy 2 ，Q(x，y)=y(x)， 因为曲线积分与路径无关，所以有 ，即 “(x)=2x， 故 (x)=x 2 +C，因为 (0)=0，所以 (x)=x 2 22.计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设 L 所围成的区域为 D，令 ， (1)当 O(0，0)在 L 所围成区域的外部时，由格林公式 (2)当 O(0，0)在 L 所围成的区域内部时，作 C r ：x 2 +4y 2 =r 2 (其中 r0，C r 在 L 内部，方向为逆时针方向)，再令由 L 和 所围成的区域为 D r
15、，由格林公式 从而有 令 则有 23.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 作上半椭圆 C 0 ：x 2 +4y 2 =1，方向取逆时针，L 与 围成的区域为 D 1 ，C 0 与 x 轴围成的区域为 D 2 ，由格林公式得 从而有 原式= 24.计算 ，其中 S 是平面 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 ， 而 ，D xy 为由 及 x，y 轴围成的部分， 于是 25.计算 ，其中为锥面 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 4， ， 则 26.求 ，其中为 x 2 +y 2 +z 2 =1 被 （
16、分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 得曲面在 xOy 平面上的投影区域为 ， 由曲面 得 所以 27.计算 ，其中 S 是圆锥面 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 曲面 在 xOy 平面上的投影为 D：x 2 +y 2 1， ， 则 28.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 ，D xy ：x 2 +y 2 1， 29.设 ，点 P(x，y，z)， 为曲面三在点 P 处的切平面，d(x，y，z)为点 O(0，0，0)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 平面 的方程为 由 所以 30.计算 xz 2 dydz+(x 2 y-z 3 )
17、dzdx+(2xy+y 2 z)dxdy，其中为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由高斯公式得 31.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由两类曲面积分之间的关系得 而 所以 32.设 f(u)连续可导，计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设 是所围成的区域，它在 xOz 平面上的投影区域为 x 2 +y 2 1，由高斯公式得 33.求曲面积分 ，其中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由对称性得 ，所以 曲面在平面 yOz 上的投影区域为 ， 34.计算 I= (x+3z 2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx-3y 2 dxdy
18、，其中为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 0 ：z=0(x 2 +y 2 4)取下侧，则 由高斯公式得 又 35.计算曲面积分 I= （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 补充曲面 0 ：z=a(x 2 +y 2 a 2 )，取上侧， 由高斯公式得 而 所以 36.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =4(z0)的外侧，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 D xz =(x，z)|0z )，D xy =(x，y)|x 2 +y 2 4，则 方法二 补充曲面 0 ：z=0(x 2 +y 2 4)取下侧，则 由高斯公式得 而 37.计算曲面积 ，其中 S
19、 为锥面 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将曲面 S 向 xOz 面投影得 D xz =(x，y)|0x1，xz1， 故 38.计算 ，其中：(x-1) 2 +(y-1) 2 + （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 补曲面 ，取左侧， 则原式= ， 而 所以原式= 方法二 设 0 ：y=1，左侧， ， 则原式= 故原式= 所以原式= 39.设 f(x，y，z)是连续函数，是平面 x-y+z-1=0 在第四卦限部分的上侧，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 的法向量为 n=1，-1，1，方向余弦为 ，根据两类曲面积分之间的关系有 40.计算 （分数：3.
20、00）_正确答案：()解析：解 补充曲面 0 ：z=4(x 2 +4y 2 4)，取该曲面的下侧， 由高斯公式得 41.计算 ，其中是曲面 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 1 ：z=1(x 2 +y 2 1)取下侧， 2 ：z=2(x 2 +y 2 4)取上侧， 则 而 则 42.计算 ，其中为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 取下侧， 取上侧， 而 43.计算 ，其中 f(u)连续可导，曲面为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 0 ：z=0(x 2 +y 2 1)取下侧， 而 所以 44.计算 ，其中为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解
21、 1 ：z=1(x 2 +y 2 1)取下侧， 2 ：z=2(x 2 +y 2 4)取上侧， 而 45.计算 ，其中 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 补充曲面 0 ：z=0(x 2 +y 2 a 2 )，取下侧，则 由高斯公式得 又 所以原式= 46.对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面，有 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由高斯公式得 当曲面法向量指向外侧时取正号，当曲面的法向量指向内侧时取负号 由的任意性得 xf“(x)+(1-x)f(x)-e 2x =0(x0)，或者 ， 则 因为 ，所以 ，从而 C=-1， 于是 47.设向量场 A=xz 2 +y 2 ，x 2 y+z 2 ，y 2 z+x 2 )，求 rotA 及 divA （分数：3.00）_正确答案：()解析：解
