1、考研数学（数学三）模拟试卷 418 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)在点 x=0 处( ) （A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 已知函数 在(一，+)内连续可导，则( )（A）a=2 ，b=3（B） a=一 2，b=一 3（C） a=3，b=2（D）a= 一 3，b=一 23 （A）1/e 一 1（B） 1 一 1/e（C） 2/e（D）2(1 一 1/e)4 方程 y“一 3y+2y=excos2x 的特解形式 y*=( )（A）Ae xcos2x（B） xex(Acosx+Bsin2x)（C）
2、ex(Acos2x+Bsin2x)（D）x 2ex(Acos2x+Bsin2x)5 设 A 是 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0，r(A)=n 一 5， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5是该方程组 5 个线性无关的解向量，则方程组 AX=0 的一个基础解系是( )（A） 1+2 ， 2+3 ， 3+4 ， 4+5 ， 5+1（B） 1 一 2 ， 2+3 ， 3+4 ， 4+5 ， 5+1（C） 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4+5 ， 5+1（D） 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 5 ， 5 一 16 已如 A，B 为三阶矩阵，且有相同的特征值
3、 1， 2，2，则下列命题：A， B 等价；A， B 相似；若 A，B 为实对称矩阵，则 A，B 合同；行列式|A 一 2E|=|2E 一 A|中，命题成立的有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机事件 A 和 B 满足关系式 ，则必有 ( )8 设总体 XN(， 2)，其中 已知， 20 为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，则 2 的置信度为 1 一 a 的置信区间为( )二、填空题9 10 函数 在区间0，2上的平均值为_11 设 f(x)=arctan 则 f(102)(0)=_12 已知 yt=c1+c2at 是差分方程 yt+
4、2 一 3yt+1+2yt=0 的通解，则 a=_13 已知 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的 3 个解，其中 2 1 一2=0， 2，2， 2T ， 1+2+3=4，一 1，2，3 T ， 2 2+3=5，一 1，0，1 T ， 秩(A)=2，那么方程组 AX=b 的通解是_14 设随机变量 X 在区间一 1，3上服从均匀分布，则 |X|的概率密度是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 02|x 一 |dx(不为常数)16 已知 F(x)，g(x) 连续可导，且f(x)=g(x)， g(x)=f(x)+(x) ，其中 (x)为某已知连续函数，g
5、(x)满足微分方程g(x)-xg(x) =cosx+(x) ,求不定积分xf“(x)dx 17 设 0a /2，证明存在一点 (a，/2) ，使得18 设某种商品的销售量 Q 和价格 P 的函数关系是 Q= 成本 C 与产量 Q的函数关系是 C=Q2+10Q+50(1) 求利润 L 与销售量 Q 的函数关系；(2) 求使利润最大的销售量及最大利润19 某种商品 t 时期的供给量 St 和需求量 Dt 与 Pt 的关系分别为 St=3+2Pt ，D t=4 一3Pt 一 1 ，又假定在每个时期中 St=Dt ，且当 t=0 时， Pt=P0 ，求价格随时间变化的规律20 已知 A，B 为三阶非零
6、方阵，为齐次线性方程组 BX=0 的 3 个解向量，且 AX=3 有非零解(1)求 a，b 的值；(2)求 BX=0 的通解21 设 ， 是三维单位正交列向量，令 A=T+T证明： (1) |A|=0 ； (2)+，一 是 A 的特征向量； (3)A 相似于对角阵，并写出该对角阵22 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为(1)问 X，Y 是否独立？(2)分别求U=X2 和 V=Y2 的密度函数 fU(u)和 fV(v)，并指出(U，V)服从的分布；(3)求P(U2+V21)23 设总体 XB(1，p)X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的样本(1)求(X 1 ，X 2 ，X n)的分布律；
7、(2)求 ，E(S 2)考研数学（数学三）模拟试卷 418 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 可利用下列结论判别之设则当 0 时，f(x)在 x=0处连续；当 1 时 f(x)在 x=0 处可导当 +1 时，f(x)的导函数在 x=0 处连续由上述结论知 =1/20，因而 f(x)在 x=0 处连续但不可导仅(C)入选2 【正确答案】 A【试题解析】 下面介绍一个简化左、右导数计算的方法：(1)设 f(x)在x 0 ，x 0+(0)上连续，在(x 0 ，x 0+)内可导，且 f(x)存在，则 f+(x0)= (2)设 f(
8、x)在x 0 一 ，x 0( 0)上连续，在(x 0 一 ，x 0)内可导，且 f(x)存在，则 f一 (x0)= 可用上法求之，也可用左、右导数定义求出 a、b 因 f(x)在 x=0 处可导，故 f 一 (0)=f+(0)，即 a=2又因 f(x)在 x=0 处连续，故 f(0+0)=f(0 一 0)，即故 3=b仅(A) 入选3 【正确答案】 D【试题解析】 为去掉根号，需分区间积分4 【正确答案】 C【试题解析】 先求出其特征根，再考察 l2i 是否是其特征根 因 f(x)=excos2x，=1，=2，需考察 12i 是否是特征方程的根，因特征方程 r2 一 3r+2=0的根为 r1=
9、2，r 2=1，故 12i 不是它的根，其特解形式为 y*=ex(Acos2x+Bsin2x)仅(C)入选5 【正确答案】 A【试题解析】 上述各选择项中的向量均为 AX=0 的解向量，这是显然的关键要确定哪一组向量线性无关可利用下述结论观察求出：已知向量组 1 ， 2 ， s(s2)线性无关，设 1=12 ， 2=23 ， s 一 1 一 s 一 1s ， s=s1 ，其中 s 为向量组中的向量个数又设上式中带负号的向量个数为 k，则(1)当 s 与 k 的奇偶性相同时，向量组 1 ， 2 ， ， r 线性相关；(2)当 x 与 k 的奇偶性相反时，向量组 1 ， 2 ， r 线性无关由线性
10、相关的定义易知，选项(D)中向量组线性相关因( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一 5)+(5 一 1)=0，至于(B) 、(C)中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关例如对于(B)有 1 一2 ， 2+3 ， 3+4 ， 4+5 ， 5+1=1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5故选项(B) 中向量组线性相关，同理，可证选项(C)中向量组也线性相关6 【正确答案】 C【试题解析】 要充分利用特征值的作用，它可以确定矩阵的秩，可以确定矩阵的行列式利用这些可检验上述诸命题由题设知 A，B 的秩相同，r(A)=r(B)=3，因此 A，B 等价；若 A，B 为实对称矩阵，则其正负惯性
11、指数相同，从而 A，B 合同；矩阵 A 一 2E 与 2E 一 A 均有一个特征值为零，故行列式|A 一 2E|=|2E 一 A|=0但由 A，B 有相同的特征值，推导不出 A，B 相似，故仅(C)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 利用事件的运算性质(摩根律等)判别仅(C)入选8 【正确答案】 D【试题解析】 已知，找出服从 X2 分布的统计量，再利用置信度的定义，列出关系式，解出 2 所满足的不等式即为所求由于 已知，取统计量于是由置信度的含义得到故 2 的置信度为 1 一 的置信区间为选项(D) 中的区间，仅 (D)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 被积函数为无理式，先作变
12、量代换化为有理式后再计算用换元积分法，作变量代换 于是 X=(t 2 一 1)2 ，dx=4(t 2 一 1)tdt当 x 从 0 变到 1 时，t 从 1 变到 ，从而10 【正确答案】 1【试题解析】 要充分利用定积分 的几何意义计算有关的定积分前者表示圆(x 一 a)2+y2=a2 在 x 轴上方部分的 1/2，其值为整个圆面积的 1/4，而后者为整个圆面积的 1/2，即所求的平均值为由定积分的几何意义即得其中 S 是圆(x 一 1)2+y2=1 在 x 轴上方部分的面积，半径 a=111 【正确答案】 【试题解析】 函数 f(x)在一点的高阶导数常用 f(x)的泰勒展开式求之比较式与式
13、 中 x102 中的系数，它们应该相等，于是有12 【正确答案】 2【试题解析】 用特解代入法确定之 将 yt=c1+c2at 代入方程，有 c 1+c2at+2 一3(c1+c2at+1)+2(c1+c2at)=0，即 a23a+2=0， 解得 a=1，2其中 a=1 时， y t=c1+c2 实际上它只是一个任意常数，不构成该差分方程的通解，舍去，故 a=213 【正确答案】 0，2，2，2 T+k1一 1，0，2，2 T+k2一 5，7，6，5 T【试题解析】 利用方程组解的结构及其性质求之 因为 n 一 r(A)=4 一 2=2，所以方程组 AX=b 的通解形式为 a+k 11+k22
14、 ， 其中 为 AX=b 的特解， 1 ， 2 为AX=0 的基础解系 因此，下面应求出 AX=b 的一个解及 AX=0 的两个线性无关的解 根据解的性质知， 2 1 一 2=1+(1 一 2)一0 ，2，2，2r 是 AX=b 的解，而 ( 1+2+3)一(2 2+3)=1 一 2=一 1，0，2，2r 是 AX=0 的解 3(2 1 一 2)一(22+3)=5(1 一 2)+(1 一 3)=一 5，7，6，5r 是 AX=0 的解显然一1，0，2，2r 与一 5，7，6，5r 线性无关(对应分量不成比例) 因此，方程组AX=b 的通解为 0 ，2，2，2 T+k1一 1，0，2，2 T+k
15、2一 5，7，6，5 T ，其中 k1 ，k 2 为任意常数14 【正确答案】 【试题解析】 先求|X| 的分布函数 F|X|(x)=P(|X|x)，再求 f|X|(x)当 x0 时，F |X|(x)=P(|X|x)= =0，当 0x1 时，F |X|(x)=P(|X|x)=P(一 xXx)= 一 xx当 1x3 时，F |X|(x)=P(|X| x)=P(一 1X 1)+P(1 X x)=当 x3 时，F |X|(x)=1综上得到三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 0时， 02x|x 一 dx=02x(x 一 )dx=当 02 时， 02x|x 一 |
16、dx=0x(一 x) dx+2x (x一 ) dx 当 2 时， 12x|x 一 | dx=02 x(一 x)dx= +2【试题解析】 要根据 的不同的值，去掉被积函数的绝对值符号由 |x 一 |=0 得到 =x，而 x0，2 ，因而要根据 0，02 及 2 三种情况讨论16 【正确答案】 因为xf“(x)dx=xd f(x)=xf(x)一xf(x) dx=xg(x)一 (x)+(x)+C=一 cosx+C【试题解析】 从不定积分xf“(x) dx 的形式：被积函数含有导函数为因子函数，可用分部积分法求之17 【正确答案】 将以上三阶行列式的第 1 行的 3 个元素分别视为函数 x2 ，sin
17、x ， 0x dt 在 处的导数值 验证F(x)在区间a，/2上满足罗尔定理的条件对 F(x)在a，/2上使用罗尔定理即可证明待证等式。令 则 F(a)=0(因 F(x)中第 1 行与第 3 行相同)，F(/2)=0(因 F(x)中的第 1 行与第 2 行相同)显然 F(x)在a，/2上连续，在(a，/2)内可导，因而 F(x)满足罗尔定理的所有条件对 F(x)在a，/2上使用罗尔定理知，存在 (a，/2)，使 F()=0，即18 【正确答案】 将利润仅表示成 Q 的函数关系，为此需将价格也要写成 Q 的函数，然后按极值(最值) 的一般求法求出(1) 由销售量 Q 与价格 P 的函数关系可解出
18、故利润 L 与 Q 的函数关系是可得到唯一驻点 Q=5又因 可见 L(5)是 L 的极大值，由极值点的唯一性知，L(5)就是 L(Q)的最大值，且最大利润为 maxL=L(5)=7519 【正确答案】 由题设条件可得一差分方程 Pt+(3/2)Pt 一 1=1/2=(1/2)1 x因特征根 =一 3/2b=1，故可设特解 Pt*=A由 St=Dt 得 3+2Pt=4 一 3Pt 一 1 ，即此为一阶常系数线性非齐次差分方程由于 a= b=1，故方程特解为 Pt*=A代入方程得 A=1/5对应齐次方程的通解是 于是该题的通解为 其中 C 为任意常数，利用初始条件 t=0 时，P t=P0 ，求出
19、常数 C=P0 一 ，则价格随时间变化的规律为20 【正确答案】 (1)因 B0，故 r(B)1，因而 BX=0 的基础解系所含解向量的个数为 n 一 r(B)31=2 个，而 1 ， 2 ， 3 均是 BX=0 的解，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关，于是| 1 ， 2 ， 3|= 解得 a=3b又 Ax=3 有非零解，即 3可由 A 的 3 个列向量 线性表示，由观察易看出 3=31+22可见，风可由 1 ， 2 线性表示，因此 3 ， 1 ， 2 线性相关，于是| 3 ， 1 ， 2|= 解得 b=5，从而 a=15(2) 由题设 r(B)1，于是 3 一 r(B)2，又已知 1 ，
20、2 为 BX=0 的两个线性无关的解，故 3 一 r(B)2，所以 3 一 r(B)=2， 1 ， 2 即可作为 BX=0 的基础解系，故通解为 X=k11+k22 (k1 ，k 2 为任意常数)【试题解析】 因 r(B)1，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关又由 AX=3 知， 3 可表示为 A 的 3 个列向量的线性组由这两个线性关系式可求出 a，b21 【正确答案】 (1)A 为三阶矩阵， r(A)=r(T+T)r(T)+r(T)r()+r()23， 故|A|=0 (2) 因 ， 为三维单位正交向量，故 T=1， T=1， T=T=0 当然 ， 线性无关，又 ， 为单位向量，+0，故 A
21、(+)=( T+T)(+)=T+T+T +T =0+1+ 1+0=+， 即 a+为 A 的对应于特征值 1=1 的特征向量同法可求 A( 一 )=(T+T)(一)=Ta 一 T+T一 T =0 一 1+ 1 一 0=一( 一 )， 故 一 为 A 的对应于特征值 2=一 1 的特征向量。 设另一特征值为 3 ，由|A|=0 得到|A|=123=0，故 3=0 (3)因 A 有 3 个不同特征值，故 AA=diag(0，1，一 1)，即其相似对角矩阵为 A=diag(0，1，一 1) (diag 为对角矩阵的英文简写)【试题解析】 (1)利用 r(B+C)r(B)+r(C)，r(BC)minr(
22、B) ，r(C) ，证明 r(A)3；(2)利用特征向量的定义，即利用 A(+)=k(+)， A( 一 )=C(a 一 )证之；(3)证明 A 有 3 个不同的特征值即可。22 【正确答案】 (1)f X(x)=一 + f (x，y)dy= fY(Y)=一 +f (x，y)dx= 由于 f(x，y)=f X(x)f Y(y)，(x，y) R2 ，故 X，Y 相互独立(2)F U(u)=P(Uu)=P(X2u)= fX(x)dx由于 X，Y 相互独立，所以 U=X2 和 V=Y2 也相互独立，从而 (U，V)的密度函数为fUV(u)=fU(u) fV()= 由此表明，(U ，V)服从区域DUV=
23、(u，)|0u1，01上的均匀分布(3)由(2)可知(记 D=(u，)|u2+21，u0，0)P(U 2V21)=【试题解析】 因 f(x，y)的非零值部分可分解为两个仅与 x、仅与 y 有关的函数率积 g1(x)g2 (y)，且 f(x，y)取非零值的区域也可分解出两个仅与 x，与 y 有关的区间，据此，从直观上可看出 X，Y 独立，因而其函数 X2 和 Y2 也独立，求出边缘密度fX(x)，f Y(y)，再求出 U 与 V 的分布，利用独立性即可求得(U，V) 的分布23 【正确答案】 (1)因 X 的分布律为 P(X=x)=px(1 一 p)1 一 x ，x=0，1，故(X 1 ，X 2 ，X n)的分布律为 P(X1=X1X2=x2 ，X n=Xn) 其中xi=0， 1；i=1，2，n(2)因 XB(1，p) ，故 E(X)=p，D(X)=p(1 一 p)，=np(1 一 p)，所以【试题解析】 利用二项分布的分布律及其期望、方差求之求时还应利用简化计算。
