1、考研数学（数学二）模拟试卷 418 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f() 在 0 处连续，则 f()在 0 处( )（A）不可导（B） f(0) ln231（C） f(0) (ln31)（D）f(0) (ln231)2 当 0 时，无穷小的阶数最高的是( ) （A）（B） tan（C） (1tan) ln(12) 1（D）(1 )arcsin3 对函数 f() (4t)ln(1t)dt( )（A）仅有极大值（B）仅有极小值（C）既有极大值又有极小值（D）没有极值4 微分方程 y4y 2 cos2 的特解形式为( )（A）(a 2bc)(Aco
2、s2Bsin2)（B） (a2bc) (Acos2 Bsin2)（C） (a3b 2c)(Acos2Bsin2)（D）(a 3b 2c)(Acos2Bsin2)5 设平面图形 A 由 2y 22 及 y 所确定，则 A 绕直线 2 旋转一周所得旋转体的体积公式为( ) （A）（B）（C）（D）6 设 f()连续，且满足 f()2 0f(t)dt 2 ，则关于 f()的极值问题有( )（A）存在极小值 ln2（B）存在极大值 ln2（C）存在极小值（D）存在极小值7 已知四维列向量 1， 2， 3 线性无关，若向量 i(i1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3 均正交，则向量组 1，
3、 2， 3， 4 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB O，则 r(B)( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题9 设 f()为单调函数，且 g()为其反函数，又设 f(1)2，f(1) ，f(1)1则 g(2)_10 f() 4ln(1)，当 n 4 时，f (n)(0)_11 已知函数 zu( ，y)e a+by，且 ，若 zz(，y)满足方程z 0 ，则 a_，b_ 12 _13 _14 设 A 且A3，B ，则B*A_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 yy()(0)是微分方程
4、2yyy(46)e -的一个解，且0 () 求 y()，并求 yy() 到 轴的最大距离 ()计算 0 y()d16 设 g()二阶可导，且 f() ()求常数 a 的值，使得f()在 0 处连续； ()求 f()，并讨论 f()在 0 处的连续性17 讨论方程 lnk 的根的个数18 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，f(a)f(b)1证明：存在， (a，b)，使得 abe 2f()f() 19 设函数 f()(0)连续可导，且 f(0)1又已知曲线 yf()、 轴、y 轴及过点(， 0)且垂直于 轴的直线所围成的图形的面积值与曲线 yf()在0，上的一段弧长值相等，求
5、 f()20 计算 ，其中 D 是由 2y 24 与 2(y1) 21 围成的区域21 设函数 f(t)在(0，)内具有二阶连续导数，函数 zf( )满足0，若 f(1)0，f(1) 1，求 f()22 设 ()当 a，b 为何值时，B 不可由 1， 2， 3 线性表示； ( )当 a，b 为何值时， B 可由 1， 2， 3 线性表示，写出表达式23 设 为矩阵 A 的特征向量 ()求 a，b 的值及 对应的特征值 ( )求正交矩阵 Q，使得 QTAQ 为对角矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 418 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【
6、试题解析】 因为 f()在 0 处连续，所以 a1ln3，于是 f()所以 f()在 0 处可导，且 f(0) (ln231)，选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 由 得，即 为 4 阶无穷小； 由得 tan 3，即 tan 为 3 阶无穷小；由(1 tan)ln(1+2)1e ln(1+2)ln(1+tan)1ln(12)ln(1tan)2 2 得(1tan)ln(1+2) 1 为 2 阶无穷小； 由(1 )arcsin 3。得(1 )arcsin 为3 阶无穷小选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 令 f()2(4 2)ln(1 2)0，得 12， 20， 32 当2 时，f()0；
7、当 (2，0)时，f()0；当 (0，2)时，f()0；当2 时，f()0，则 12， 22 为 f()的极大值点， 20 为 f()的极小值点，选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 特征方程为 24 0，特征值为 10， 24， 方程 y4y 3的特解为 y1(a 2b c)a 3b 2c； 方程 y4ycos2 的特解为Acos2Bsin2选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 取，d 0，1，则 dV2(2)( )d，所求的体积为 V2 01(2)( )d； 若取y，ydy 0，1 ，则 dV2(1 )2dy(2y) 2dy (1 )2(2y) 2dy， 所求的体积为 V 01(1 )
8、2(2y) 2dy； 故选 B6 【正确答案】 A【试题解析】 等式两边求导，得 f()2f() 2,其通解为 f()Ce -2( ) 因为 f(0) ，所以 C1 ，从而 f()e -2( ) 令 f()2e -210，得唯一驻点为 ln2 因为 f()4e -20，故 ln2 是极小值点，极小值为7 【正确答案】 A【试题解析】 设 i( i1， i2， i3， i4)T(i1，2，3)，由已知条件有 iTi 0(i1，2，3，4；j1，2，3)， 即 i(i1，2，3，4)为方程组的非零解 由于 1， 2， 3 线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量
9、组1， 2， 3， 4，的秩为 1，选 A8 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)0 或 r(A*)1， 因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)1 ，于是 r(A)n1， 又由 ABO 得 r(A)r(B)n，从而r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1， 故 r(B)1，选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 则 g(2)10 【正确答案】 【试题解析】 设 f()f(0)f(0) n， 由 ln(1) ，(11)得 f() 5 ， 再由麦克劳林公式的唯一性得 ，即 f(n)(0) 11 【正确答案】 a 1， b1【试题解析】 12
10、 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序，13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 BAE 12(2)E13，所以BAE 12(2)E133， 又因为B* BB -1，所以 B*3E 13-1E12-1(2)A-13E 13E12(2)A -1， 故B*A3E 13E12(2) 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ()2y yy(46)e -的特征方程为 2210，特征值为 11， 2 ，得 2yyy0 的通解为 yC 1e-C 2 ， 令 2yyy(4 6)e -的特解为 y0(a 2b)e -，代入得 a1，b0， 原方程
11、的通解为：yC 1e-C 2 2e- 由 0 得 y(0)00，y(0)0，代入通解得C1C 20，故 y 2e- 由 y(2 2)e-0 得 2， 当 (0，2)时，y0；当2 时，y 0，则 2 为 y()的最大点， 故最大距离为 dmaxy(2) 4e -2 ()0 y()d 0 2e-d(3)2!216 【正确答案】 () 当 f()在 0 处连续时，g(0)1，当 f()在 0 处连续时，ag(0) ()当 0 时，f()；所以 f()在 0 处连续17 【正确答案】 情形一：当 k0 时，方程只有唯一实根 1； 情形二：当 k0时，令 f() lnk(0)， 由 f() k0 得
12、， 因为 f() 0，所以 去为 f()的最大值点，最大值为 M ， 当k 时，方程只有一个根 e ； 当 k 时，方程没有实根； 当 0k 时，M0，由 f()， f() 得方程有且仅有两个实根，分别位于 (0，)与( ， )之间 情形三：当 k0 时，f() k0，f()在(0，)内单调增加， 由 f()， f()得方程有且仅有一个实根18 【正确答案】 令 ()e -f()，F() ，F() 0，由柯西中值定理，存在 (a，b)， 使得整理得由微分中值定理，存在 (a，b)，使得e -， 所以 abe 2f()f() 19 【正确答案】 曲线 yf()， 轴，y 轴及过点(，0)且垂直于
13、 轴的直线所围成的图形的面积为 0f(t) dt；曲线 yf()在0，上的一段弧长为，根据题意得 两边对 求导得 f() 或 f2()1 f2()， 则 y ，解得 lnC(y ) ， 再由 f(0)1 得 C1，所以 y ，解得yf() 20 【正确答案】 由对称性得令 D0： 2(y1) 21，21 【正确答案】 于是 f () f()0，故 f() ， 由 f(1)1 得 C11，于是f() ，故 f()一 lnC 2， 又由 f(1)0 得 C20，故 f()ln22 【正确答案】 (1)当a 6， a2b40 时，因为 r(A)r( )，所以 不可由 1， 2， 3 线性表示； (2
14、)当 a 6，a2b40 时， 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 2 1 20 3； 当 a6 时，当 a6，b5 时，由， 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为6 11 22 3； 当 a 6，b5 时，由 ， 可由1， 2， 3 线性表示，表达式为 (2k2) 1(k1) 2k 3，其中 k 为任意常数23 【正确答案】 () 由 A 得 ， 解得 a3，b1，1 ()由EA (1)(4)0 得10， 21， 34 将 0 代入(EA)X O 得 AX0， 由得 0 对应的无关特征向量为 1； 将 4 代入(EA)X0 得(4EA)X0， 由 4EA 得 4 对应的无关特征向量为 2 ，
