1、考研数学（数学二）模拟试卷 368 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 7 8 设函数 f(x)=arctanx若 f(x)=xf()，则（A）1（B） 2/3（C） 1/2（D）1/3二、填空题9 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=10 11 12 13 =_.14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在
2、a ，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)g(a)，f(b)g(b)，证明：(I)存在 (a，b)，使得 f()g() ；()存在 (a，b)，使得 f() g()17 18 18 一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为 v0，穿出铁板时的速度为 v1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为 t1子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数 k019 求子弹在铁板内的运动速度 v 与时间 t 的函数关系 v=u(t)；20 求铁板的厚度21 22 23 证明：方程x 14 x 12 12cosx0 在(，)内仅有两个实根24 考研数学（数学二）模拟试卷 368 答案与解析一、
3、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 n-m【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 2/3【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 0【知识模块】 函数极限连续14 【正确答案】 37/12【试题解析】 三、解答题
4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 (1)设 f(x)，g(x)在(a，b) 内某点 c(a，b)同时取得最大值。 则 f(c)g(c)，此时的 c 就是所求点 ，使得 f()g()， 若两个函数取得最大值的点不同，则可设 f(c)maxf(x)g(d) maxg(x) ， 故有 f(c)g(c)0，f(d)g(d) 0， 由介值定理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在 ，使得 f()g() ()由罗尔定理在区间(a，)、(，b)内分别存在一点 1， 2， 使得 f(1)g( 1)，f( 2)g( 2)在区间( 1， 2)内再用罗尔定理， 即存
5、在 (a，b)，使得 f()g()17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 首先考察子弹在铁板内的运动速度 v=v(t)满足的规律子弹在铁板内所受阻力为一 kv2，于是由牛顿第二定律得 其中 m 为子弹的质量以入射时为起始时间，得初条件 v(0)=v0解这个变量分离的微分方程得积分得 由初值得 ，于是 令 t=t1 得20 【正确答案】 铁板的厚度 d 即子弹在铁板内所走过的距离21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 证：由于x 14 x 12 12cosx 为偶函数，只要证明所给方程在(x ，) 仅有一个实根即可 设 F(x)x 14 x 12 12co
6、sx 先证根的存在性 因 F(0)120，可知 x0 不是方程 F(x)0 的根，又因 lim F(x)，故存在一点 x。0，使得 F(x。) 0，例如，取 x。1，便有 F(1)11120，于是，由零点定理，在区间(0，1)内 F(x)0 至少存在一个根 注意到当 x1 时，F(x)恒大于 0，故在区间(1，) 内方程 F(x)0 不可能有根 再证根的唯一性 因为 0x12 时，函数 x14 、x 12 ，cosx 都是单调增加的，所以 F(x)在(0，1) 内单调增加，从而 F(x)0 在(0，1)内仅有一个实根 综上，又因为x 14 x 12 12cosx 为偶函数，即所给方程在(，)内仅有两个实根24 【正确答案】 【知识模块】 综合
