1、考研数学（数学二）模拟试卷 438 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+0xg(xt)dt， =2，则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点2 当 x0 时，f(lnx)= ，则 2 2xf(x)dx 为( )3 设 z=z(x，y)由 f(azby，bxcz ，cyax)=0 确定，其中函数 f 连续可偏导且af1 cf20，则
2、 =( )（A）a（B） b（C） c（D）a+b+c4 设函数 f(x)在(，+)上连续，其导函数的图形如右图所示，则 f(x)有( )（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点5 设 D 为 y=x，x=0 ，y=1 所围成区域，则 arctanydxdy=( )6 设函数 u=f(xz，yz，x) 的所有二阶偏导数都连续，则 =( )（A）0（B） xzf“11+yzf“22+z2f“12（C） z2f“12+zf“32（D）xzf“ 11+yzf“227 设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则
3、( )（A）若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关（B）若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关（C）若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关（D）若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关8 设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值全为 0，则( )（A）A=O（B） A 只有一个线性尢关的特征向量（C） A 不能与对角阵相似（D）当 A 与对角阵相似时，A=O二、填空题9 设 ，则 a=_，b=_10 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_11 设 y=y(x)由 =x+1y 确定，则 =_12 01dx1x 1f(x，
4、y)dy+ 12dx f(x，y)dy=_13 微分方程 y“3y+2y=2e x 满足 =1 的特解为_14 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B 1 +2E=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明：当 x1 且 x0时， 116 计算17 设 u=f(x2+y2，z)，其中 f 二阶连续可偏导，且函数 z=z(x，y)由 xy+ez=xz 确定，求18 设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0，又 f(lnx)= 求f(x)dx19 设 f(x)在(0，+)内一阶连续可微，且对 x(0，+)满足 x01f(xt)
5、dt=20xf(t)dt +xf(x)+x3，又 f(1)=0，求 f(x)20 一个容器的内表面侧面由曲线 x= (0x2，y0)绕 x 轴旋转而成，外表面由曲线 x= 在点(2， )的切线位于点(2， )与 x 轴交点之间的部分绕 x轴旋转而成，此容器材质的密度为 ，求此容器自身的质量 M 及其内表面的面积S21 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比，比例系数 k= ，求 y=y(x)22 设 A 是 n 阶矩阵，证明： ()r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量，使得 A=T；
6、( )r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化23 设 A= ， B 为三阶非零矩阵， 为BX=0 的解向量，且 AX=3 有解()求常数 a，b 的值；()求 BX=0 的通解考研数学（数学二）模拟试卷 438 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，由 =2 得 g(0)=0，g(0)=2由 0xg(xt)dt0xg(u)du 得 f(x)=lncosx+0xg(u)duf“(x)= +g(x)，f“(0)=0由极限的保号性，存在 0，当 0x 时， 0当 x(0，)时，f“(x)0；当 x
7、( ，0)时， f“(x)0，故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，选(C) 2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(lnx)=选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 f(azby ，bxcz，cyax)=0 两边对 x 求偏导得4 【正确答案】 C【试题解析】 设导函数的图形与 x 轴的交点从左至右依次为 A，B ，C，在点 A左侧 f(x)0，右侧 f(x)0所以点 A 为 f(x)的极大值点，同理可知点 B 与 C 都是 f(x)的极小值点关键是点 O 处，在它左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，而 f(x)在点O 连续，所以点 O 也是 f(x)的极大值点( 不论在 x=0 处
8、f(x)是否可导，见极值第一充分条件)，选(C) 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 设 B 为 mn 矩阵，A 为 ns 矩阵，则 C 为 ms 矩阵，且 r(B)=n因为 BA=C，所以 r(C)r(A)，r(C)r(B) 若 r(C)=s，则 r(A)s，又 r(A)s，所以 r(A)=s，A 的列向量组线性无关，(A)不对；若 r(C)=s，则 r(A)=s，所以 A 的行向量组的秩为 s，故 ns若 ns ，则 A 的行向量组线性相关，若 n=s，则 A 的行向量组线性无关， (B)不对；若 r(A)=s，因为 r(C
9、)s，所以不能断定 C 的列向量组线性相关还是无关，(C)不对；若 r(C)=s，则 r(A)=s，选 (D)8 【正确答案】 D【试题解析】 若 A 的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵 P，使得 于是 A=O，选(D)二、填空题9 【正确答案】 a=1，b=2【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时，x=3，y=1，11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 二重积分的积分区域为 D=(x，y)1yx1+y 2，0y1 ，13 【正确答案】 y=3e x+3e2x2xe x【试题解析】 特征方程为 23+2=0，特征值为 1=1，
10、 2=2，y“3y+2y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=2，原方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x2xe x 由 =1 得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得C1=3 ，C 3=3，特解为 y= 3e x+3e2x2xe x14 【正确答案】 -8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，3，0，所以 AE 的特征值为2，4，1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 ，1，B 1 的特征值为 2，4，1，从而 B1 +2E的特征值为 4，2，1，于是B 1
11、+2E= 8三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=x+ln(1x)xln(1x)，显然 f(0)=0，因为所以 f(x)在(，0)上单调减少，所以当 x0 时，f(x)f(0)=0，即 x+ln(1x)xln(1x)0，于是当 0x1 时，令 f(x)=x+ln(1x)xln(1x)，且 f(0)=0，因为 所以 f(x)在(0，+)内单调增加，于是 f(x)f(0)=0，故16 【正确答案】 令 x=tant，则17 【正确答案】 由 xy+ez=xz 得18 【正确答案】 令 u=lnx，则 f(u)= 于是19 【正确答案】 令
12、 u=xt，则原方程变换为 0xf(u)du=20xf(t)dt+xf(x)+x3，两边对 x求导得 f(x)=2f(x)+f(x)+xf(x)+3x2，整理得 f(x)+ =3x此微分方程的通解为 f(x)= 由 f(1)=0，得 C= ，所以 f(x)=20 【正确答案】 =切线方程为 y=，与 x 轴的交点坐标为(1，0)切线旋转后的旋转体体积为 ，曲线旋转后的旋转体的体积为 此容器的质量为容器内表面积为21 【正确答案】 根据题意得22 【正确答案】 () 若 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即反之，若 A=T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，则 r(A)=
13、r(T)r()=1，又因为 ， 为非零列向量，所以 A 为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1 ()因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 ， ，使得 A=T，显然 tr(A)=(，)，因为 tr(A)0，所以(，)=k0 令 AX=X，因为 A2=kA，所以 2X=kX，或( 2k)X=0，注意到 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0或 =k 因为 1+2+ n=tr(A)=k，所以1=k， 2=3= n=0，由 r(0EA)=r(A)=1 ，得 A 一定可以对角化23 【正确答案】 () 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量， 由 AX=3 有解得r(A)=r(A 3)，()由 1， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而 r(B)1，再由 r(B)1得 r(B)=1， 1， 2 为 BX=0 的一个基础解系，
