1、考研数学（数学二）模拟试卷 314 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(一，+) 上连续设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在( 一 ，+)上有界 设 f(x)在(一，+)上为正值的连续函数，则 在(一 ，+)上也是正值的连续函数设f(x)在(一，+)上为正值的有界函数，则 在(一，+) 上也是正值的有界函数其中正确的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 ( )（A）2（B） 4（C） 6（D）83 设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函
2、数，且 F20则( )（A）x（B） y（C） z（D）04 设 f(u)为( 一，+)上的连续函数，a 为常数则下述积分为 x 的偶函数的是( )（A）（B）（C）（D）5 下列反常积分发散的是( )（A）（B）（C）（D）6 设 则在点 O(0，0)处，( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数不连续（C）偏导数存在，函数连续，但函数不可微（D）函数可微7 设 A 是 n 阶矩阵，(E+A)x=0 只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )（A）AE ；A+E（B） A-E；(A+E) -1（C） AE；(A+E) *（D）AE ；(A+E) T8 设 A，P 都是
3、n 阶可逆阵， ， 分别是 A 的特征值和对应的特征向量，则 P-1A.P的特征值和对应的特征向量分别是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 函数 ，的间断点的个数为_10 设 则 =_。11 =_.12 =_.13 设 ，其中 f，g 均可微，则14 设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A2=0，则线性非齐次方程组 Ax=b(易0)的线性无关解向量的个数是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 过第一象限中椭圆 上的点(，) 作该椭圆的切线，使该切线与两坐标轴的正向围成的三角形的面积为最小，求点(，) 的坐标及该三角形的面积16 设 f(x)在区间-1 ，1 上存在二阶
4、连续导数，f(0)=0，设 求17 求微分方程 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=1 的特解18 求心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长19 求20 设积分区域 D=(x，y)0xy2)，计算二重积分21 设 0x1。证明22 设 1， 2 n 是 n 个 n 维向量，且已知 a1x1+a2x2+anxn=0(*)只有零解问方程组( 1+2)x1+(2+3)x2+( n1 +n)xn1 +(n+1)xn=0(*)何时只有零解? 说明理由；何时有非零解? 有非零解时，求出其通解23 设 =1， 2，3，4 T，=3，一 2，一 1，1 T，A= T (I)求 A 的特征值，特征
5、向量； () 问 A 能否相似于对角阵，说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 314 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 与 是正确的， 与足小正确的，正确的个数为 2 是正确的，理由如下：设 x0(-，+)，则它必含某区间a，b中，由于题设 f(x)任意区间间a,b上连续。故在 x0 处连续，所以(一 +)上连续，论证的关键之处是：函数 f(x)的连续性是按点来讨沦的，在区间上每一点连续，就说它在该区间连续。函数 f(x)a,b上有界性的“界”是与区间有关的，例如 f(x)=x 在区间a,b 上，f(x)max a， 这个“
6、界”与区间a,b有关，容易看出，在区间(一，+)上，此 f(x)就无界了 不正确是正确的其理由是：设 x0(一，+)所以，f(x 0)0 且 f(x)x0 处连续，由连续函数的四则运算知， 在 x0 处也连续。所以 连续是不正确的，例如函数 f(x)=e-x2，在区间(一，一)上，0f(x)1 ，所有 f(x)在(一，+) 上有界，而 在(-，+) 上无界这是因为当 x时，2 【正确答案】 C【试题解析】 所以3 【正确答案】 C【试题解析】 两边对 x 求偏导数，将其中的 z 看成 x 的函数，得解得 再将原式两边对 y 求偏导数，将其中的 z 看成 y 的函数，得 解得 于是4 【正确答案
7、】 B【试题解析】 f(v 2)为 v 的偶函数，所以 为 u 的奇函数，为 x 的偶函数，故应选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 通过具体计算式(*)中两个积分只要有一个发散，就说明该积分发散，所以 发散故应选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 f(x,y)x 2+y2，令(x,y)(0,0)由夹逼定理有故 A 不正确 同理 fy(0，0)=0故 B 不正确考虑点 O(0，0) 处的 f，按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微故应选 D7 【正确答案】 D【试题解析】 法一 因(A+E)(A 一 E)=A2 一 E=(AE)(A+E)，(*) 故 A+E，AE 左、右可交换，故
8、A 成立(*)式左、右两边各乘(A+E) -1，得(A E)(A+E)-1=(A+E)-1(AE)，(*)故(A+E) -1，AE 可交换，故 B 成立(*)式两边乘A+E(数)，得(A E)(A+E)*=(A+E)*(AE)，故(A+E) *，AE 可交换故 C 成立由排除法，知应选 D，即(A+E) T，AE 不能交换法二 (A+E)(A E)=(A+E)(A+E 一 2E)=(A+E)2 一 2(A+E)=(A+E 一 2E)(A+E)=(AE)(A+E)同理(A+E) -1(AE)=(A+E)-1(A+E 一 2E)=(A+E)-1(A+E)一 2(A+E)-1=(A+E)(A+E)-
9、1 一 2(A+E)-1=(A+E 一 2E)(A+E)-1=(AE)(A+E)-1同理(A+E) *(AE)=(AE)(A+E)*故应选 D法三 D 不成立，因 ATAAAT，或举出反例，如取而故(A+E) T(A 一 E)(AE)(A+E)T，即 D 不成立8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件 A=，(*) 其中 A 可逆，故 0(*)左乘 A*，得A*A=A =A*，即 (*)(*)左乘 P-1，得故知 P-1A.P 有特征值 对应的特征向量为 P-1故应选 A二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 应先写出 d(x)的表达式， 故知f(x)有且仅有两个间断点10 【正确答案
10、】 【试题解析】 11 【正确答案】 一 ln2【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序，则13 【正确答案】 2xyf 1【试题解析】 14 【正确答案】 3 个【试题解析】 A 是 33 矩阵，A 2=A.A=0，故 r(A)+r(A)=2r(A)3， ，A0，故 r(A)=1Ax=0 有两个线性无关解 1， 2，则 Ax=b 有通解k11+k22+，故 Ax=b，有 3 个线性无关解 ， 1+,2+，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由隐函数微分法知，过椭圆上点(，)处的切线斜率为切线方程为 两坐标上的截距分别为三角形面积为求 A
11、的最小值点，等价于求 的最大值点由拉格朗日乘数法，作 解得 所以当 ，t 时，此三角形面积最小，最小值 A=ab16 【正确答案】 将 f(x)在 x=0 处按拉格朗日余项泰勒公式展开至 n=1，有而又由于 f(x)在一 1，1上连续，故存在M0，对一切 x一 1，1，f (z)M于是所以17 【正确答案】 此为 y=f(y，y )型令 原方程化为即 解得 当 x=0时，y=1 ，y =1代入得 1=1(1+C1)，所以 C2=0于是得 p2=y4，故 p=y2(因 y=1 时，y=1，取正号)，于是有 再分离变量积分得 将 x=0 时，y=1 代入得 C2=一 1，从而得特解18 【正确答案
12、】 极坐标曲线 r=r()，在区间 上的弧长公式为代入此公式，由弧对称于极轴，则19 【正确答案】 20 【正确答案】 由于被积函数中含有sin(y-x)，因此要分D 为 D1D2，其中 D2=(x，y)0yx，(x，y) D，D 1=(x，y)yx2(x，y)D)其中，仅当 yx=(x，y)D)处 D1 与 D2 有公共边，不影响积分的值21 【正确答案】 等价于证明当 0x1 时，经计算，F(1)=0，记从而知，当 0x1 时，(x)0，即有 F(x)0因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F (z)0又因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0证毕22 【正确答案】 1x1+2x2
13、+ nxn=0 只有零解 r(1， 2 n)=n 1， 2 n，线性无关( 1+2， 2+3， ， n-1+n， n+1)=1， 2 nC 记为 B=AC，其中 r(A)=(1， 2 n)=n 当 n=2k+1 时，C =20，r(B)=r(A)=n ，方程组(*)只有零解当 n=2k 时，C=0，C 中有 n一 1 阶子式 Cn-1,n-1=10，因，r(A)=n，故 r(B)=rC=n-1方程组(*) 有非零解，其基础解系由一个非零解组成因( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一+( 2k1 +2k)一( 2k+1)=0，方程组 (*)有通解 k1，一 1，1，一 1，1 ，一 1T，其中
14、 k 是任意常数或因 A 可逆，ACx=Bx=0 和 Cr=0 同解，其中r(B)=rC=2k 一 1，Bx=0 有通解 k1，一 1，1，一 1，一 1，k 是任意常数23 【正确答案】 法一故 A 有特征值=0(四重根)当 =0 时，由(E 一 A)x=0，即 Ax=0，Ax=0 的同解方程为 3x12x2一 x3+x4=0因 r(A)一 r(T)r()=1(0)A0，故 r(A)=1故 =0 为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故 A 不能相似于对角阵法二 r(A)=r(T)r()=1又 A0，故 r(A)=1，A=0故 A 有特征值 =0对应的特征向量满足(OEA)x=0，即 Ax=Tx=0，其同解方程组为 3x12x2 一 x3+x4=0解得对应的特征向量为 1=2，3，0，0 T， 2=1，0，3，0 T， 3=1，0，0，一 3T，A 的对应于=0 的全体特征向量为走 k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 为不同时为零的任意常数故知 =0 至少是 A 的三重特征值，设第 4 个特征值为 4 由故 =0 是四重特征值，但对应的线性无关特征向量只有 3 个故 A 不能相似于对角阵
