1、考研数学（数学二）模拟试卷 388 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则点 x=0 是 g(f(x)的（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点2 设 f(x)是( 一，+)上的连续奇函数，且满足f(x)M，其中常数 M0，则函数 F(x)=0xtef(t)dt 是( 一，+)上的（A）有界奇函数（B）有界偶函数（C）无界偶函数（D）无界奇函数3 设 f(x)在0，1上连续，又 则（A）F(x+) F(x)(x(一 ，+)（B） F(x+)F(x)(x (一，+)（C） F(x+)=F(x)(x(一 ，+) （D）x0 时 F
2、(x+)F(x)，x0 时 F(x+)F(x)4 设 ，则 F(x)在0，2上（A）有界，不可积（B）可积，有间断点（C）连续，有不可导点（D）可导5 下列函数在指定区间上不存在原函数的是（A）（B）（C）（D）6 设 在点 x=0 处二阶导数存在，则其中的常数 a，b，c分别是（A）a= 一 2，b=2，c=1（B） a=2，b=一 2，c=1（C） a=一 2，b=1，c=2（D）a=2 ，b=1，c=一 27 下列矩阵中正定的是（A）（B）（C）（D）8 n 维向量组(I) 1， 2， s 和( ) 1， 2， t 等价的充分必要条件是（A）r(I)=r() ，并且 s=t（B） r(I
3、)=r()=n（C） (I)的极大无关组和 () 的极大无关组等价（D）(I)和( )都线性无关，并且 s=t二、填空题9 数列极限 =_10 已知函数 y(x)可微(x0) 且满足方程 则y(x)=_11 函数 的值域区间是_12 积分值 =_13 设极坐标系下的累次积分 将 I 写成先对 r 后对 的累次积分，则 I=_14 已知 A*为 A 的伴随矩阵，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在0，+)内可导，且 f(1)=2若 f(x)的反函数 g(x)满足 0f(xa+1)g(t)dt=xlnx.求 f(x)16 设 f(x)=-1xt3td
4、t(I)求函数 f(x)的单调性区间与正、负值区间(求曲线 y=f(x)与x 轴所围成的封闭图形的面积17 (I)设 f(x)在(a，+)可导且 求证：若 A0，则 ；若A0，则 (II)设 g(x)在a，+) 连续，且 收敛，求证 l=018 设 1ab，函数 f(x)=xln2x，求证 f(x)满足不等式(I) 0f(x)2(x1)()19 一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 公斤现以每分钟 3 升的速度注入清水，同时以每分钟 2 升的速度将冲淡的溶液放出容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后 1 小时溶液的含盐量20 设 f(t)连续，区域 D=(x，y)
5、x1，y 1，求证：21 设 u=u(x，y)在全平面有连续偏导数， (I)作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，求的关系式；()若 求证：u(x，y)=u(0 ，0)为常数22 设 A 是 3 阶矩阵， 1,2,3 都是 3 维非零列向量，满足 Ai=ii，(i=1，2，3)记=1+2+3. 证明 ，A，A2 线性无关 设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP23 设二次型 xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 满足AB=0 用正交变换化 xTAx 为标准形，写出所作变换 求(A 一 3E)6考研数学（数学二）模拟试卷 388 答案与解析一、
6、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 先求出 g(f(x)因此，应选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 首先，由于被积函数 te-t2 一 f(t)是(一，+)上的偶函数，故 F(x)是(一， +)上的奇函数其次，对任何 x0，有利用 F(x)的对称性，当 x0 时上面的不等式也成立，从而，函数 F(x)还是( 一 ，+)上的有界函数故应选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 因此选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 先求出分段函数 f(x)的变限积分：当 0x1 时，F(x)在点 x=1 处不可导故应选 C5 【正确答案】 D【试题解
7、析】 A，B 中的函数在给定区间上均连续，因而存在原函数 C，D 中的函数除点 x=0 外均连续，x=0 是它们的间断点不同的是，C 中点 x=0 是函数 f(x)的第二类间断点，D 中 x=0 是函数 f(x)的第一类间断点，指定的区间均含 x=0因此选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查分段函数在分界点处具有高阶导数时应满足的条件为了处理更一般的问题，我们考虑分段函数 其中 f1(x)和f2(x)分别在较大的区间(x 0 一 ，+) 和(一 ，x 0+)(0 是一个常数)中具有任意阶导数，则 f(x)在分界点 x=x0 具有 k 阶导数的充分必要条件是 f1(x)和 f2(x
8、)有相同的泰勒公式：f 1(x)=f2(x)=a0+a1(x 一 x0)+a2(x 一 x0)2+ak(x 一 x0)k+o(x 一 x0)k)注意，在 f(x)的定义中，分界点 x0 也可以属于 f1(x)所在区间，结论是完全一样的把上述一般结论用于本题，取 x0=0，k=2 ，f 1(x)=ax2+bx+c，f 2(x)=cos2x+2sinx，因 f 2(x)=1 一 +o(x2)+2(x+o(x2)=1+2x 一 2x2+o(x2)，所以a，b，c 应分别是 a=一 2，b=2 ，c=1，这表明结论 A 正确7 【正确答案】 B【试题解析】 用排除法A 的第二个顺序主子式 A 矩阵不正
9、定C的对角线元素中有一 1，也不正定D 的行列式=一 1，不正定(要说明 B 矩阵正定可计算其 3 个顺序主子式依次为 1，1，2，都大于 0)8 【正确答案】 C【试题解析】 极大无关组与原组是等价的由等价的传递性立即可得到(I)与()等价的充分必要条件是它们各自的极大无关组等价A 缺少条件 r(I，)=r(I) B 是(I)与 ()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数D(I)和()都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如(I)： 1=(1，0，0，0)，2=(0，1，0，0)，() ： 1=(0，0，1，0)，设 2=(0，0，0，1)(I)和()都无关，并且 s=t=2
10、，但是 (I)和()不等价二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 令 f(t)=arctant，则10 【正确答案】 【试题解析】 这是含变限积分的方程先将原方程两边求导，转化为常微分方程得 在原方程中令 x=1 得 y(1)=1于是原方程与初值问题11 【正确答案】 【试题解析】 f(x)在0，1连续且可导，又12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 按累次积分限，在 Or 直角坐标系中画出积分区域 D的图形，则 D可表示为 D如图所示 为改换积分顺序，将 D表成 现重新配限(先 r 后 )得14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过
11、程或演算步骤。15 【正确答案】 在题设等式中令 x=1，由于 f(1)=2，则等式自然成立现将题设等式两端对 x 求导，利用变上限定积分求导公式，复合函数求导公式及反函数的概念可得所求函数的导数满足的关系式，再由定解条件即可求出 f(x)将题设等式两端对 x 求导数，得 (将上式对 x 从 1 到 x 积分即得题设等式，因此上式与原等式等价)因 f(x)与 g(x)互为反函数，所以 gf(u)=u，代入上式，得 ，即 f(lnx+1)=x令 lnx+1=u，则有 x=eu-1，且 f(u)=eu-1，积分得 f(u)=eu-1+C利用已知函数值 f(1)=2 可确定常数C=1，故 f(x)=
12、ex-1+116 【正确答案】 为求f(x)的正负值区间，先求出使 f(x)=0 的 x 值易知再由 f(x)的单调性知，f(x)f( 一1)=0(x一 1)，f(x) f(1)=0(x1)f(x)f(一 1)=0(一 1x0)，f(x)f(1)(0x1)因此 f(x)0(x(一，一 1)或 x(1，+)f(x)0(x(一 1，1)()曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的封闭图形是(x，y)一 1x1，f(x)y0 见右图该图形的面积17 【正确答案】 (I)联系 f(x)与 f(x)的是拉格朗日中值定理，取 x0(a，+) ，有 f(x)=f(x0)+f()(x 一 x0)(x0x) (*)
13、下面估计 f()：由 ，设 A0，由极限的不等式性质 ，当 x X 时 f(x)18 【正确答案】 (I)求出() 引进辅助函数利用单调性证明不等式将 b 改为 x，考察辅助函数19 【正确答案】 设 t 时刻容器中溶液的含盐量为 x=x(t)，依题意 t 时刻容器中的溶液量为 100+(32)t t 时刻容器中溶液的浓度为 因此在t，t+ t时间间隔内，容器中溶液的含盐量改变量=流入溶液的含盐量一流出溶液的含盐量，即20 【正确答案】 先将二重积分 化为累次积分进一步化为定积分将 I 表为其中 Dxt：x 一 1tx+1，一 1x1，如图所示现交换积分次序 (改为先对 x 后对 t 积分)，
14、分块积分得21 【正确答案】 (I)u=u(u，y)=u(rcos，rsin)，由复合函数求导法()由题(I)又 u(rcos，rsin) 对 r 在0 ，+) 上连续u 作为r， 的函数，当 固定时 u 作为 r 的函数在0 ，+)为常数 ，有u(x，y)=u(rcos，rsin)=u(rcos，rsin) x=0=u(0，0)22 【正确答案】 条件说明 1,2,3 都是 A 的特征向量，特征值依次为 1，2，3，因此 1,2,3 线性无关 = 1+2+3，A= 1+22+33，A 2=1+42+93，用矩阵分解，矩阵 P=(，A，A 2)=(1+2+3， 1+22+33， 1+42+93
15、)的行列式为 2，因此是可逆矩阵于是r(，A，A2)=r(P)=r( 1,2,3)=3，A ，A 2 线性无关 记 P 一 1AP=B，则AP=PB，即(A，A 2，A 3)=(，A，A 2)B于是 B 是向量组 A，A 2，A 3 对，A，A 2 的表示矩阵显然其第 1，2 两列分别为(0，1，0) T 和(0，0，1) T第3 列是 A3 对 ，A 3，A 2 的表示系数，设为 c1，c 2，c 3，则 P(c1，c 2，c 3)T=A3，注意 A3=1+82+273，于是 因为(1,2,3)是可逆矩阵，所以有 用初等变换法求得 c1=6，c 2=一1 1，c 3=6，于是23 【正确答案
16、】 先作正交矩阵 Q，使得 Q 一 1AQ 是对角矩阵条件说明 B 的 3 个列向量都是 A 的特征向量，并且特征值都是 0由于 B 的秩大于 1，特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为 0，0，6(tr(A)=6 )求属于特征值 0 的两个单位正交特征向量：对 B 的第 1，2 两个列向量 1=(1，0，1)T， 2=(2，一 1，0) T 作施密特正交化：求属于特征值 6的一个单位特征向量：属于特征值 6 的特征向量与 1， 2 都正交，即是方程组的非零解，求出 3=(1，2，一 1)T 是属于 6 的一个特征向量，单位化 记 Q=(1， 2,3)，则 Q 是正交矩阵，作正交变换 x=Qy，它 xTAx 化为标准二次型 6y32A 的特征值为 0，0，6，则 A 一 3E 的特征值为一 3，一 3，3，(A 一 3E)6 的 3 个特征值都是 36于是(A 一 3E)636E (A 一 3E)6=36E
