1、考研数学（数学二）模拟试卷 448 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 ( )2 设 f(x)在区间a，b上存在一阶导数，且 f(a) f(b)则必存在 x0(a，b)使 ( )（A）f(x 0) f(a)（B） f(x0) f(b)（C） f(x0)= 5f(b)+2f(a)（D）f(x 0)= 5f(b)2f(a)3 设函数 z=z(z，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20则( )（A）x（B） y（C） z（D）04 设 则在区间(1，1)内 ( )（A）f(x)与 g(x)都存在原函数（B） f(x)与 g(x)都不存在原函数（C
2、） f(x)存在原函数， g(x)不存在原函数（D）f(x)不存在原函数， g(x)存在原函数5 设 F(x)可导，下述命题：F(x)为偶函数的充要条件是 F(x)为奇函数；F(x)为奇函数的充要条件是 F(x)为偶函数；F(x)为周期函数的充要条件是 F(x)为周期函数正确的个数是 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个6 设 则在点 O(0，0)处 ( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数连续（C）偏导数存在，函数连续，但函数不可微（D）函数可微7 设 E 是 n 阶单位阵，E+A 是 n 阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是( )（A）(EA)(
3、E+A) 2=(E+A)2(EA)（B） (EA)(E+A) T=(E+A)T(EA)（C） (EA)(E+A) 1 =(E+A)1 (EA)（D）(EA)(E+A) *=(E+A)* (EA)8 设向量组() 1， 2， 3， 4 线性无关，则和()等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（C） 1 2， 2+3， 3 4， 4+1（D） 1， 1 2， 2 3， 3 4， 4 1二、填空题9 _10 微分方程 满足初始条件 y(1)=1 的特解是 y=_11 心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长为_12 设函数 z=f
4、(x，y)(xy0)满足 =y2(x21)，则 dz=_13 设 f(x0)存在，且 ，则 f(x0)=_14 设 A 是 3 阶矩阵，满足 A2=A，则(A+3E) 1 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设平面区域 D 是由参数方程 0t2 给出的曲线与 x 轴围成的区域，求二重积分 ，其中常数 a015 设16 讨论函数 f(x)的奇偶性、单调性、极值；17 讨论曲线 y=f(x)的凹凸性、拐点、渐近线，并根据以上的讨论结果，画出函数y=f(x)的大致图形18 设 a，b， n 都是常数， 已知 存在，但不为零，求 n 的最大值及相应的 a，b 的值19 一容器在
5、开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 千克，然后以每分钟 2 升的速率注入清水，同时又以每分钟 2 升的速率将含盐均匀的盐水放出，并设容器中装有搅拌器使容器中的溶液总保持均匀求经过多少分钟，容器内含盐的浓度为初始浓度的一半?20 设 z=z(x，y)是由方程 x2+2yz=e z 所确定，求21 求由方程 2x2+2y2+z2+8xzz+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值22 (1)设圆盘的半径为 R，厚为 h点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量 m；(2)将以曲线 ，x=1，x=4 及 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体记为 V，设
6、V 的点密度为该点到旋转轴的距离的平方，求该物体的质量 M22 设 3 维向量组 1， 2 线性无关， 1， 2 线性无关23 证明存在非零 3 维向量 ， 既可由 1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出；24 若 1 =(1， 2，3) T ， 2 =(2，1，1) T ， 1= (2，1，4) T ， 2=(5，3，5) T 求既可由 1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出的所有非零向量 25 (1)设 A， B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明 AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；(2)对一般的 n 阶矩阵 A， B，证明 AB 和 BA 有相同的
7、特征值，并请同是否必有ABBA?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 448 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 作积分变量代换 u=xt，2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(a)f(b)，不妨设 f(a) f(b)，类似地可证 f(a) 5f(b)+2f(a) f(b)一般地，设 为介于 f(a)与 f(b)之间的任意一个确定的值在本题条件下有结论：存在x0(a，b) 使 f(x0)=这个定理有点类似于连续函数介值定理，不过这里并不需要f(x)连续而只要在a，b 上 f(x)存在即可此定理在一般教科书上没有讲，但考研
8、中经常用到证明如下：令 (x)= f (x)x有 (x)= f(x)(a)= f(a)0 于是知，存在 x1(a，b)使 (x1)2(a，b) (b)使中 (x2)0(a，b)，由费马定理知，有 (x0)=0即存在 x0(a，b)使 f(x0)=回到本题，由于 = 5f(b)+2f(a)介于 f(a) 与 f(b)之间，所以存在 x0(a，b)使 f(x0)= 5f(b)+2f(a)3 【正确答案】 C【试题解析】 方程 两边对 x 求偏导数，得再将方程两边对 y 求偏导数，得4 【正确答案】 D【试题解析】 g(x) 在(1，1) 内连续，所以存在原函数，f(x) 在 x=0 处为第一类间断
9、点，所以不存在原函数，如果 F(x)是 f(x)在区间(1，1)内的一个原函数f(x)=F(x)，而 f(x)在 x=0 处为第一类间断点，而作为导函数 F(x)来说，是不可能存在第一类间断点的5 【正确答案】 B【试题解析】 是正确的，证明如下：设 F(x)= f(x)为奇函数则 (x)= 0xf (t)dt 必是偶函数证明如下： (x)= 0x f (t)dt=0xf(t)(dt)= 0xf(t)dt=(x) 又因f(x)的任意一个原函数必是 (x)+C 的形式，所以 f(x)的任意一个原函数必是偶函数必要性证毕 设 F(x)为偶函数： F(x)=F( x)， 两边对 x 求导，得 F(x
10、)= F( x)， 所以 F(x)为奇函数，充分性证毕 是不正确的反例：(x 3+1)=3x2 为偶函数，但 x3+1 并非奇函数，必要性不成立 是不正确的反例：(sin x+x) =cosx+1 为周期函数，但 sin x+x 不是周期函数，必要性不成立6 【正确答案】 D【试题解析】 |f(x，y)|x 2+y2，令(x，y)(0，0)，由夹逼定理有故 A 不正确同理 fy (0，0)=0 故 B不正确考虑点 O(0，0)处的 f，按可微定义，f(x，y)在点(0 ，0)处可微故应选 D7 【正确答案】 B【试题解析】 因 EA=AE=A，AA 2=A2A=A3，AA 1 =A1 A=E，
11、AA *=A*A=|A|E，故知 A 和 E，A 2，A 1 ，A *乘法运算均可交换但(E+A)(E+A) T(E+A)T(E+A)例事实上，(EA)(E+A)T=2E(E+A)(E+A) T(E+A)T2E(E+A)=(E+A) T(EA) 故应选 B对于A，C，D 均成立以 C 为例，有(EA)(E+A) 1 =2E(E+A)(E+A) 1 =2E(E+A)1 (A+E)(A+E) 1 =(E+A)1 2E(A+E) 1 (A+E)=(A+E)1 2E(A+E)=(A+E)1 (EA)同理，请读者推 A，D 也成立8 【正确答案】 D【试题解析】 两个向量组可以相互表出=两个向量组等价
12、两个向量组等价=等秩，但反之不成立，等秩不一定等价(但不等秩必不等价) 对于选项 D 令1=1， 2=1 2， 3=2 3， 4=3 4， 5=4 5，则 1=1， 2=1 1=1 2， 3=2 3=1 2 3， 4=3 4=1 2 3 4， 故D 和 D 可相互表出，是等价向量组应选 D二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 所以原极限 e2 10 【正确答案】 xe 1x【试题解析】 此为一阶齐次方程令 y=ux，有 ，原方程化为，u| x=1=1解得 ln| lnu1|= ln|C1x|，C 1 为任意非零常数去掉对数记号及绝对值符号，得 lnu=Cx+1，C=C 1u=e Cx
13、+1，将 u|x=1=1 代入，得 C= 1，则 u=e1x ，故原方程的解为 y= xe1x 11 【正确答案】 8a【试题解析】 弧长12 【正确答案】 (2xy)dxxdy【试题解析】 设 xy=u， =v，有 x2= 则 f(u，v)=uv( 1)=u 2uv，即z=f(x，y)=x 2xy所以 dz=(2xy)dxxdy13 【正确答案】 2【试题解析】 令 xx 0，两边取极限，由题设，知右边第一项趋于 1，第二项由洛必达法则有所以 f(x0)=1+ f(x0)，则 f(x 0)=214 【正确答案】 (A4E)【试题解析】 由题设 A2=A，则 A2A=(A+3E)(A4E)+1
14、2E=O 即(A+3E)(A 4E)=12E，整理得 (A+3E)(A4E)=E，故得 (A+3E)1 = (A4E)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先对 y 后对 x 积分，摆线纵坐标记为 y(x)，于是上式中的 y=y(x)通过参数式联系着对上式作积分变量代换 x=a(tsin t)，从而 y(x)成为 t 的函数 y(t)=a(1cost)，于是16 【正确答案】 因为二次式 x2x+1 的判别式(1) 24=3 2x+10 恒成立，f(x) 的定义域为( ，+)又 f(x)=f(x)，所以 f(x)为奇函数当 0x 时，f(x) 时，f(x)的分子
15、中两项分别记为 a，b，a0 ，b0 ，考虑故 0ab所以当 x 时，仍有 f(x)0，从而当 0x+时，f(x)0又 f(x)为奇函数，故当x0 时，f(x)0，故 z=1 为极小值；在点(x，y，z) 2处B 2AC 为极大值22 【正确答案】 (1)如图(a)所示，以环细分圆盘，设环的宽度为 dr，内半径为 r，在环上点密度视为不变，为 r2，质量微元为 dm= r22rdrh于是该圆盘的质量为(2)如图(b)所示，该旋转体可看成由一个个薄片组成，由上一题，每一薄片的质量其中 R 为 x 处的旋转半径，即 y，于是质量微元为所以物体的质量为23 【正确答案】 因 1， 2， 1， 2 均
16、是 3 维向量，4 个 3 维向量必线性相关由定义知，存在不全为零的数 k1，k 2， 1， 2，使得 k 11+ k22+11+22=0 得 k11+ k22= 11 22 取 = k 11+ k22= 11 22， 若 =0，则 k11+ k22= 11 22=0 因 1， 2 线性无关， 1， 2 也线性无关，从而得出 k1=k2，且 1=2，这和 4 个 3 维向量必线性相关矛盾，故 0 即为所求的既可由1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出的非零向量24 【正确答案】 设 = k11+ k22= 11 22，则得齐次线性方程组是 k11+ k22+11+22=0将 1， 2，
17、 1， 2 合并成矩阵，并作初等行变换得解得 (k 1，k 2， 1， 2)=k(1，2，1，1)故既可由 1， 2 线性表出，又可以1， 2 线性表出的所有非零向量为其中 k 是任意的非零常数或 其中 k 是任意的非零常数25 【正确答案】 (1)因为 A 有 n 个互不相同的非零特征值=1，2，n，|A|=n!0，故 A 为可逆矩阵，从而有 |EAB|=|A(A 1 B)|=|A(EBA)A 1 |=|A|EBA|A 1 |=|EBA| 即 AB 和 BA 有相同的特征多项式故有相同的特征值又若取可逆矩阵 P=A，则有 P1 ABP=A1 ABA=BA，故有 ABBA(2)若 AB 有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|=0 故 BA 也有特征值 =0若 AB 有特征值 0，按定义，有 AB=(0)，其中 是 AB 的对应特征值 的特征向量用 B 左乘上式两端，得 BAB=B，即 BA(B)= (B)，其中 B0(若 B=0，则有 AB=0因 0，得 =0，这和 0矛盾)BA 也有非零特征值 ，对应的特征向量为 B故 AB 和 BA 有相同的特征值一般 AB 与 BA不相似例如， 显然 r(AB)=0，r(BA)=1，故 AB 与 BA 不相似
