1、考研数学（数学一）模拟试卷 418 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为微分方程 y一 xy=g(x)满足 y(0)=1 的解，其中 g(x)=0xsin(xt)2dt，则有( )（A）在点 x=0 处 f(x)取极大值（B）在点 x=0 处 f(x)取极小值（C）点 (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）点 x=0 不是 f(x)的极值点，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 y=y(x)在 0，+)可导，在 x(0，+) 处的增量满足 y(1+y)= a，当x0 时 a 是x 的等价无穷小，又 y(0)=1，则
2、 y(x)=( )（A）1+x（B） (1+x)一 ln(1+x)+1（C）（D）ln(1+x)+13 设平面区域 D1=(x，y)|0z1，1 一 xy1，则I1，I 2，I 3 的大小关系为( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 1I 3 I24 设函数 f(x)在一 1，1上有定义，在点 x=0 处可导，则 f(0)=0 是级数 敛的( )（A）充分必要条件（B）充分条件，而非必要条件（C）必要条件，而非充分条件（D）既非充分条件，又非必要条件5 已知 ，B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）a=1 时， B 的秩必为 1（B
3、） a=1 时，B 的秩必为 2（C） a=一 3 时，B 的秩必为 1（D）a= 一 3 时，B 的秩必为 26 下列矩阵中，正定矩阵是( )7 设正态总体 XN(u， 2)，X 1，X 2，X n 为其简单随机样本，样本均值为 ，若 的值( )（A）与 和 都有关（B）与 和 都无关（C）与 有关，与 无关（D）与 无关，与 有关8 设(X，y) 服从二维正态分布，其联合概率密度为 ，则( )二、填空题9 设 f(x)=0x(t2+2t+3)dt，则10 方程 y“+y2=0 的通解为 _11 函数 在点 M(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+y2 在点 M 处的外法线方向 1 的方向导数
4、12 设曲线 C 为圆周 x2+y2=R2，则 (x+2y)2ds=_13 设 ，若存在秩大于 1 的三阶矩阵 B 使得 BA=0，则An=_14 设随机变量 X 和 Y 相，互独立，且 XN(0，1)，Y N(0 ，2)，则 D(X2+Y2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 =a(a0)，求 n 及 a 的值16 设 l 为从点 A(一 1，0)沿曲线 y=xx3 到点 B(1，0)的有向弧段，求第二类曲线积分 I=L(exsinx+3ycosy)dx+(xsinyy)dy17 设 f(x)是在a，b上连续的单调增加的正函数，ta，b，由 y=f(x)，y=f(
5、a)，x=t所围的图形的面积为 S1(t)，由 y=f(x)，y=f(b)，x=t 所围成的图形的面积为 S2(t) ()证明：存在唯一的 t0(a，b)，使 S1(t0)=S2(t0)； ()问函数 S1(t)+S2(t)是否有最小值18 求曲面 4z=3x2+3y2 一 2xy 上的点到平面 xyz=1 的最短距离19 设 f(u)有连续一阶导数，计算20 已知下列非齐次线性方程组：()求解方程组(a)( ) 当方程组(b) 中的参数 a，b，c 为何值时，方程组 (a)与(b)同解21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A1=1+2+3，A 2=22+
6、3，A 3=22+33 () 求矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B； () 求矩阵 A 的特征值； () 求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角矩阵22 ()证明 X 和 Y 是相互独立的() 求 (Z1，Z 2)的概率分布23 已知 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为与 S2若 E(X)=u，D(X)= 2，记 yiXi 一 求()Y i 与 Yi(ij)的相关系数；()若 f(Y1+Yn)2 是 2 的无偏估计量，求常数 c考研数学（数学一）模拟试卷 418 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
7、目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知，y(0)一 0，y“=y+xy+g(x)，y“(0)=1+g(0)，又 g(x)0xsin(u2)du,g(x)=sin(x2)，g(0)=0，所以 y“(0)=10，故选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 由 y(0)=1，得C=1，所以 y=(1+x)一 ln(1+x)+1，故应选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 D2，记 D3=D2D1=(x， y)|0x1， y1一 x，当(x，y)D 3 时，x+y1，从而有 ln(x+y) 0，所以 I2I1=即有 I2I 1，而当(x，y)D 2 且(x，y)(0，1)，(
8、1 ，0)时，ln(x+y) 所以 I2I 3综上可知 I3I 2I 1，应选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 如果级数 由此可得 f(0)=0，假若 f(0)0，不妨设 f(0)0，则有 从而得知从某项起，级数 为正项级数，且发散，与题设矛盾，故必有 f(0)=0另外，当 f(0)=0 时，未必有 f(0)=0，如取 f(x)=1+x2，则此时 =f(0)=10，级数发散，综上可知，选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查秩的性质，属于基础题由 AB=0，得 r(A)+r(B)3若 a=1，则 r(A)=1，从而 r(B)2又 B 是 3 阶非零矩阵，即 r(B)1，故 r(
9、B)=1 或r(B)=2若 a=一 3，则 r(A)=2，从而 r(B)1，又 r(B)1，所以 r(B)=1，故应选(C) 6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查具体数字矩阵正定的判定，属于基础题(A)中 a33=一30，(B) 中二阶顺序主子式 =0，(C)中|A|=0，均不是正定矩阵，(D)中三个顺序主子式 1=2， 2=6， 3=5，均大于零，故应选 (D)7 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查正态总体样本均值的分布及一般正态分布的标准化，是一道有一定难度的综合题8 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查二维正态分布的边缘分布及正态总体的三大抽样分布，是一道有一定难度的
10、综合题二维正态分布的联合概率密度为由题设知1=2=0， 12=22=22，=0由于二维正态分布的边缘分布一定是一维正态分布且相关系数 =0 的充分必要条件是 X 与 Y 独立，从而 XN(0 ，2 2)，yN(0 ，2 2)，且 X 与 Y 独立，于是故应选(D)进一步分析，(A)、 (B)、(C)明显错误二、填空题9 【正确答案】 2(x 2+2x+3)【试题解析】 f(x)=x 2+2x+3 =2f(x)=2(x2+2x+3)10 【正确答案】 y=ln(x+c 1)+c2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 曲面 2x=x2+y2 在点 M(1，1，1)处的外法线向量为 (1，
11、1，一 1)，又因为12 【正确答案】 57cR 3【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=0，则 r(B)+r(A)3，又因为 r(B)1，所以 r(A)3r(B)1显然 r(A)1，所以 r(A)=1，即矩阵 A 的各行对应成比例，于是14 【正确答案】 10【试题解析】 因为 X 和 Y 相互独立，所以 X2 与 Y2 相互独立，D(X 2+Y2)=D(X2)+D(Y2)由于 XN(0 ，1)，所以 X2 2(1)，故 D(X2)=2，YN(0，2)，则则 D(Y2)=8，所以 D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)=2+8=10三、解答题解答应写出文字说明、证明过
12、程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 做水平辅助线 与曲线 y=xx3 构成两个封闭曲线位于第一象限中的封闭曲线记为 l1，为负向；位于第三象限中的记为 l3，为正向 对于前两个积分用格林公式，第三个积分直接以 y=0 代入计算l 1 与 l3 所围成的有界闭区域分别记为 D1 与 D3于是17 【正确答案】 ()S 1(t)=atf(x)一 f(a)dx，S 2(t)=tbf(b)一 f(x)dx 令 F(t)=S1(t)一S2(t)=atf(x)一 f(a)dxatf(b)一 f(x)dx， 则 F(t)=f(t)一 f(a)+f(b)一 f(t)=f(b)18 【正确答案
13、】 曲面上的点设为(x，y，z) ，它到平面 xyz=1 的距离为在约束条件 3x2+3y2 一 2xy 一 4z=0 下求 d2 的最小值，设F(x，y，z，)一(xy 一 z 一 1)2+(3x2+3y2 一 2zy 一 4z)，19 【正确答案】 由高斯公式得20 【正确答案】 () 对(a)中的增广矩阵作初等行变换，取 x4 为自由变量，令x4=1，代入 (a)所对应的齐次线性方程组，求得 x3=一 2，x 2=一 5，x 1=6，故(a)所对应的齐次线性方程组的基础解系为 =(6，一 5，一 2，1) T令 x4=0，代入()中，得 x3=一 1， x2=一 4，x 1=6，21 【
14、正确答案】 ()(A 1，A 2，A 3)=A(1， 2， 3)=(1， 2， 3) 对照A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B，可知 () 因为 122 【正确答案】 () 设 X 和 Y 的边缘概率密度函数分别是 fX(x)，f Y(y)，则所以，X E(1) ，YE(1) 由于f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以 X 和 Y 是相互独立的() 由于 Z1 的取值为 1，2，Z 2 的取值为 3，4，因此(Z 1，Z 2)的取值为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)P(Z 1=23 【正确答案】 () 因为 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，所以X1，X 2，X n 相互独立且同分布，故 E(Xi)=，D(X i)=2，先算协方差：Cov(Y i，Y i)=Cov(Xi，X i)一X
