1、2013届辽宁沈阳二中等重点中学协作体高三领航高考预测（十）文数学卷（带解析） 选择题 已知集合 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： , 考点：解不等式及集合求交集 点评：求两集合的交集即找两集合相同的元素构成的集合，常将两集合借助数轴表示求其公共部分 给出 30个数： 1， 2， 4， 7， 11， 其规律是 第一个数是 1， 第二数比第一个数大 1， 第三个数比第二个数大 2， 第四个数比第三个数大 3， 以此类推，要计算这 30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框 处和执行框 处应分别填入 （ ） A i30； p = p + i-1 B i29
2、； p = p + i + 1 C i31； p = p + i D i30； p = p + i 答案： D 试题分析：将 p = p + i-1， p = p + i + 1， p = p + i依次代入执行框 处验证可知只有 p = p + i符合给定的前五项，判断框 处代入 i30验证正好符合 30个数求和 考点：程序框图 点评：程序框图题关键点在于分析清楚循环体执行的次数 “ ”是 “直线 与直线 平行 ”的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：当直线 与直线 平行时需满足成立，反之不成立，所以 “ ”是 “直线
3、与直线 平行 ”的必要而不充分条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件 若 ,则角 的终边落在直线 ( )上 A B C D 答案： B 试题分析：有已知可得 ，即直线的斜率 考点：同角间的三角函数关系及二倍角公式 点评：本题涉及到的基本公式有 从抛物线 上一点 P引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 |PM|=5，设抛物线的焦点为 F，则 MPF的面积（ ） A 5 B 10 C 20 D 答案： B 试题分析：由抛物线方程可知焦点 ，准线 因为 |PM|=5，则 MPF的面积为 考点：抛物线性质及定义 点评：抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线
4、的距离 函数 的图象与直线 的图象有一个公共点 ,则实数 的取值范围是 ( ) A B C 或 D 答案： C 试题分析：作出函数 的图像，通过观察图像可知当与直线 的图象有一个公共点时 或 考点：分段函数作图及数形结合法 点评：数形结合法求解方程的根的个数，图像的交点的个数问题较简单 ,应用时先做出相关函数图象，要求作图要准确，在观察找其交点个数 已知命题 ： ， 在 上为增函数 ,命题： 使 ，则下列结论成立的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：命题 ：当 时，二次函数对称轴在 上为增函数，命题 正确；命题 ：使 正确，例如 ，命题 正确，四个选项中 C项为真命题 考点：二次函
5、数对数函数性质及符合命题真假的判定 点评：当命题 同时为真时，命题 才为真；当命题 至少一个为真时，命题 为真，命题 与命题 的真假性相反 若向量 、 满足 =（ 2， -1）， =（ 1， 2），则向量 与 的夹角等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 =（ 2， -1）， =（ 1， 2）可知 ，设向量 与 的夹角为 则 考点：向量的坐标运算及夹角求解 点评：设向量 与 的夹角为 ，则有 ，两向量夹角范围 设有直线 和平面 、 .下列四个命题中，正确的是 ( ) A若 m ,n ,则 m n B若 m ,n ,m ,n ,则 C若 ， m ,则 m D若 ， m ， m ,则
6、 m 答案： D 试题分析： A项中两直线 m,n还可能相交，异面； B项中只有 m,n两直线是相交直线时结论才成立； C项中只有 m垂直于两面的交线时才有 m 成立 考点：线线平行面面平行线面垂直面面垂直的判定性质 点评：平面外一直线与平面内一直线平行则线面平行；一个平面内两条相交直线平行于另外一面则两面平行；两面垂直，其中一个面内垂直于交线的直线垂直于另外一面 设 Sn是等差数列 an的前 n项和， a12 -8,S9 -9,则 S16= ( ) A -72 B 72 C 36 D -36 答案： A 试题分析：由等差数列通项公式，前 n项和公式可得考点：等差数列通项公式，前 n项和公式
7、点评：本题用到的公式 ，在等差数列中由已知条件求出首项和公差就对其他量的计算奠定了基础 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间 变化的可能图象是 （ ） A. B. C. D. 答案： B 试题分析：由三视图可知容器为圆锥，圆锥底面在上，顶点在下，在均匀注水过程中，刚开始水面上升较快，随着水面的升高，水面上升的速度在减小，即图像的导数一直在减小， B项符合 考点：几何体的三视图及函数的瞬时变化率 点评：先由三视图还原出几何体直观图，结合直观图特点可得 函数的性质 复数 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： 考点：复数的化简计算 点评：复数运算中将分母实
8、数化，分子分母同乘以分母的共轭复数，其中填空题 已知关于 x的方程 的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则 的取值范围 _ 答案： 试题分析：设 由抛物线的离心率为 1，知方程有一个根为 1，即有： 有 故 依题意，知方程 有一个大于 0小于 1的根与一个大于 1的根 . 借助二次函数的图象特征知： 在平面直角坐标系 所表示的平面 是图中的阴影部分，其中 A点坐标为（ -2， 1） 求 的范围可转化为求区域内的点与原点的连线所在直线的斜率的取值范围 . 由图形可知：从而 的取值范围是 考点：函数零点，二次方程根的分布及线性规划 点评：本 题难度较大，学生基本上没有思路，第
9、一个难点关于函数的因式分解 学生就解决不了 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、 2、 3、 4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出 1个球，每个小球被取出的可能性相等求取出的两个球上标号为相邻整数的概率 _； 答案： 试题分析：设每次取出的甲乙两盒子的小球编号构成的组合为 其中， ，所有的组合共 16种，满足两号码相邻的选法有 6种，所以概率为 考点：古典概型概率 点评：古典概型概率的求解要找到所有基本事件种数及满足题意要求的基本事件种数，再求其比值 在平面几何里，已知直角三角形 ABC 中，角 C为 ， AC=b,BC=a,运用类比方法探求空间中三棱锥的有关结论： 有三角形的勾股定理，给
10、出空间中三棱锥的有关结论： _ 若三角形 ABC 的外接圆的半径为 ，给出空间中三棱锥的有关结论：_ 答案：在三棱锥 O-ABC中，若三个侧面两两垂直，则；在三棱锥 O-ABC中，若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为 a,b,c,则其外接球的半径为 试题分析：平面几何图形边长满足长度关系式，类比立体几何图形面积满足一定关系式，三角形中同一点出发的两线垂直，类比立体几何中同一条棱出发的三面互相垂直，直角三角形三边的平方关系类比立体几何中的三面平方关系得关系式 直角三角形外接圆半径与两直角边有关系式，类比立体几何棱锥外接球半径与互相垂直的三条棱有关系式 考点：知识的类比迁移能力 点评：比较已知中
11、给定的条件与所要类比的问题，找到他们之间的类似点，采用已知中的关系式形式类比写出所求的关系式 已知过原点的直线与圆 相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为 答案： 试题分析：设直线为 ，由直线与圆相切可得 ，因为切点在第二象限，所以直线为 考点：直线与圆相切的性质 点评：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径 解答题 （本小题满分 10分）已知 ，函数（其中 的图像在 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为 ，在原点右侧与 轴的第一个交点为 . （ 1）求函数 的表达式； （ 2）判断函数 在区间 上是否存在对称轴，存在求出方程；否则说明理由； 答案：（ 1） （ 2）存在对称
12、轴，其方程为 试题分析：（ 1）由题意化简可知，4分 将点 代入 得： 所以 ，考虑到 ，所以 ， 于是函数的表达式为 6分 （ 2）由 ，解得： 令 ，解得： 由于 所以 所以函数 在区间 上存在对称轴，其方程为 12 分 考点：由三角函数图象求函数式及函数性质之对称性 点评：在求 式时 A值由图像最高点最低点纵坐标求得，由周期求得， 可由函数过的特殊点求得 （本小题满分 12分）如图，多面体 的直观图及三视图如图所示，分别为 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： ； （ 3）求多面体 的体积。 答案：（ 1） ， 平面 ，连结 ， 则 是 的中点， ,在 中， 平面 （ 2）
13、平面 ， ， 平面 ， 面 是正方形， ， ， （ 3） 试题分析：（ 1）证明：由多面体 的三视图知，三棱柱 中 ,底面 是等腰直角三角形， ， 平面 ,侧面都是边长为 的正方形 连结 ， 则 是 的中点，,在 中， ， 且 平面 ， 平面， 平面 4 分 （ 2） 平面 ， ， 平面 ， ， 面 是正方形， ， ， 8 分 （ 3）因为 平面 ， 平面 , ,又 ，所以， 平面 ， 四边形 是矩形 ,且侧面 平面 ，取的中点 , ,且 平面 所以多面体 的体积 12 分 考点：三视图，线面平行垂直的判定及锥体体积 点评：本题先要由三视图确定直观图中垂直的线面关系及线段的长度，利用已知中的中
14、点实现线线平行，进而得证线面平行 （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 e 为自然对数） （ 1）求 F(x)=h (x) 的极值。 （ 2）设 （常数 a0），当 x1时，求函数 G(x)的单调区间，并在极值存在处求极值。 答案：（ 1） F(x)取极小值为 0（ 2） 若 1 时，即 01 时，即 a2,G(x)在（ 1， ）递减，在（ ，） )递增。所以 处有极小值，极小值为 试题分析：（ 1） （ x0） 当 0 时 , 0,此时 F(x)递增 当 x= 时 ,F(x)取极小值为 0 6 分 (2)可得 = , 9 分 当 x 时 ,G(x)递增 x1, 若 1时，即 01时，即
15、a2,G(x)在（ 1， ）递减，在（ ， ） )递增。所以 处有极小值，极小值为 12分 考点：利用函数的导数求极值，单调区间 点评：本题第二问中求单调区间，极值时要注意对参数 a的讨论，当 a取不同值时，函数在 x1的范围内的单调性不同 （本小题满分 12分）已知数列 的前 n项和 ，且 是 与1的等差中项。 （ 1）求数列 和数列 的通项公式； （ 2）若 ，求 （ 3）若 ，是否存在 ，使得并说明理由。 答案：（ 1） （ 2） （ 3）当 n为奇数时，由已知得 2n+19=2n-2，矛盾。当 n为偶数时， 由已知得 n+10=4n-6，矛盾。 所以满足条件的 n不存在。 试题分析：（
16、 1） 时， ， 时， ，综上， 是 与 1的等差中项 （ 2） （ 3） 当 n为奇数时， 由已知得 2n+19=2n-2， n无解 当 n为偶数时， 由已知得 n+10=4n-6，所以满足条件的 n不存在 考点：数列求通项求前 n项和 点评：由数列的 求通项 时需分 与 两种情况讨论，第二问一般数列求和采用的是裂项相消的方法，适用于通项为 形式的数列 （本小题满分 12分） 甲乙共同拥有一块形状为等腰三角形的地 ABC，其中 。如果画一条线使两块地面积相等，其中两端点 P、Q 分别在线段 AB,AC 上。 （ 1）如果建一条篱笆墙，如何划线建墙费用最低？ （ 2）如果在 PQ线上种树，如何
17、划线种树最多？ 答案：（ 1） （ 2） P位于 B点， Q 位于 AC 的中点 试题分析： (1) 设 , 又, 则 由余弦定理知 当且仅当 时，PQ最短，费用最低。 6 分 （ 2） =递减， 递增，当 时，即 P位于 B点， Q 位于 AC 的中点， PQ最长，种的果树最多。 12 分 考点：解三角形与求函数最值的结合 点评：本题中将所求边长转化为三角形的一 条边长，应用余弦定理求其长度与P,Q 两点位置间的关系式，再利用均值不等式，函数单调性求其最值 （本小题满分 12分） 已知直线 L： y=x+1与曲线 C：交于不同的两点 A,B;O 为坐标原点。 （ 1）若 ，试探究在曲线 C上
18、仅存在几个点到直线 L的距离恰为？并说明理由； （ 2）若 ，且 ab, ,试求曲线 C的离心率 e的取值范围。 答案：（ 1）在曲线 C上存在 3个点到直线 L的距离恰为 （ 2）试题分析： (1)在曲线 C上存在 3个点到直线 L的距离恰为 。 设 ，由 得 ， 2分 又点 A,B在直线 L上，得 ， ，代入上式化简得 4分 由 由 6分 所以 ，于是 ，这时曲线 C表示圆 ， O 到直线 L的距离 d= ,即有 3个点 8分 （ 2）因为 ab,所以曲线 C为焦点在 x轴上的椭圆 由 ，所以 ， 又 ， ， 9分 由（ 1）得 ， ，代入上式整理得 ， 可得 而 12分 考点：直线与椭圆相交，直线与圆相交的弦长距离问题及椭圆离心率范围的求解 点评：第一问由直线与圆锥曲线相交首先利用韦达定理确定了曲线的特点（为圆）进而转化为求圆上的点到直线的距离，第二问求离心率范围，将离心率求解函数式用已知中的变量 a表示，转换为求函数值域
