1、2017年河北省八所重点中学高考一模 数学 一、选择题 1.设集合 A=y|y= 2 1x ， B=x|y= 2 1x ，则下列结论中正确的是 ( ) A.A=B B.A B C.B A D.A B=x|x 1 解析 ：由题意， y= 2 1x 的值域为 0， + ) 集合 A=0， + ) y= 2 1x 的定义域需要满足 x2-1 0，解得： x 1或 x -1， 故得 A B=x|x 1. 答案： D 2.已知等比数列 an的公比为 12，则1 3 52 4 6a a aaaa 的值是 ( ) A.-2 B. 12C.12D.2 解析：等比数列 an的公比为 12， 则 1 3 5 1
2、3 52 4 6 1 3 5 2a a a a a aa a a q a a a . 答案： A. 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ( ) A.16+8 3 B.16+4 3 C.48+8 3 D.48+4 3 解析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱， 底面面积 4 2 41 332S ，且底面为边长为 4的等边三角形， 故底面周长为 12，高为 4，故侧面面积为： 12 4=48， 故该几何体的表面积 S=48+8 3 . 答案 ： C. 4.等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a2a5=2a3，且 a4与 2a7的等差中项为 54，则
3、S4=( ) A.29 B.30 C.33 D.36 解析： 设等比数列 an的公比是 q，由题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出 a1和 q的值，由等比数列的前项和公式求出 S4的值 . 设等比数列 an的公比是 q， 由题意得， 2 5 34752224a a aaa ，即 2 5 211361154222a q a qa q a q ， 解得 a1=16， q=12， 所以 44 111 6 112 3 2 1 3 01612S . 答案： B. 5.设 f(x)为奇函数，且在 (-， 0)内是减函数， f(-2)=0，则 xf(x) 0的解集为 ( ) A.(-1， 0) (2，
4、+ ) B.(-， -2) (0， 2) C.(-， -2) (2， + ) D.(-2， 0) (0， 2 解析： f(x)为奇函数，且在 (-， 0)内是减函数， f(-2)=0， f(-2)=-f(2)=0，在 (0， + )内是减函数， x f(x) 0则 002xf x f或 002xf x f， 根据在 (-， 0)内是减函数，在 (0， + )内是减函数， 解得： x (-， -2) (2， + ). 答案： C 6.设 a 0，将 23 2aaag表示成分数指数幂，其结果是 ( ) A. 12a B. 56a C. 76a D. 32a 解析： 由根式与分数指数幂的互化规则所给
5、的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项 . 由题意 1 1 72 23 22 3 6a aa aa g. 答案： C. 7.不等式 2x2-x-3 0解集为 ( ) A.x|-1 x 32 B.x|x 32或 x -1 C.x| 32 x 1 D.x|x 1或 x 32 解析：不等式 2x2-x-3 0因式分解为 (x+1)(2x-3) 0 解得： x 32或 x -1. 不等式 2x2-x-3 0的解集为 x|x 32或 x -1. 答案： B. 8.如图所示，程序框图的输出值 S=( ) A.15 B.22 C.24 D.28 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根
6、据流程图所示的顺序，可知： i=1， S=0 满足条件 S 20， i=3， S=3 满足条件 S 20， i=5， S=8 满足条件 S 20， i=7， S=15 满足条件 S 20， i=9， S=24 不满足条件 S 20，退出循环，输出 S的值为 24. 答案 ： C. 9.已知 S， A， B， C 是球 O表面上的点， SA平面 ABC， AB BC， SA=AB=1， BC= 2 ，则球 O的表面积等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D. 解析：已知 S， A， B， C是球 O表面上的点 OA=OB=OC=OS， 又 SA平面 ABC， AB BC， SA=AB=1， BC
7、= 2 ， 在 Rt ABC中， AC2=AB2+BC2=3，在 Rt SAC中， SC= 22SA AC =2 球 O的直径为 2R=SC=2， R=1， 表面积为 4 R2=4 . 答案： A. 10. ABC中， AB= 3 ， AC=1， B=30，则 ABC 的面积等于 ( ) A. 32B. 34C. 32或 3 D. 32或 34解析：由 AB= 3 ， AC=1， cosB=cos30 = 32， 根据余弦定理得： AC2=AB2+BC2-2AB BCcosB，即 1=3+BC2-3BC， 即 (BC-1)(BC-2)=0，解得： BC=1或 BC=2， 当 BC=1时， AB
8、C的面积 s i n1 1 1 332 12 2 4S A B B C B g； 当 BC=2时， ABC的面积 s i n1 1 1 332 22 2 2S A B B C B g. 所以 ABC的面积等于 34或 32. 答案： D. 11.如图，网格纸的小正方形的边长是 1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ( ) A.52B.72C.2+ 34D.3+ 33解析：根据几何体的三视图，得； 该几何体是上部为三棱柱，下部为长方体的组合体， 且三棱柱的底面为底面边长是 1，底边上的高是 1，三棱柱的高是 3， 长方体的底面是边长为 1的正方形，高是 2； 所以该几何体的体
9、积为 V=V 三棱柱 +V 长方体 =12 1 1 3+1 1 2=72. 答案： B. 12.已知椭圆 221xyab(a b 0)的左顶点和上顶点分别为 A、 B，左、右焦点分别是 F1，F2，在线段 AB上有且只有一个点 P满足 PF1 PF2，则椭圆的离心率为 ( ) A. 32B. 312C. 52D. 512解析：依题意，作图如下： 由 A(-a， 0)， B(0， b)， F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 可得直线 AB 的方程为： 1xyab，整理得： bx-ay+ab=0， 设直线 AB上的点 P(x， y)，则 bx=ay-ab， x=aby-a， 由 PF1 PF
10、2， 12PF PFuuur uuurg=(-c-x， -y) (c-x， -y)=x2+y2-c2=(aby-a)2+y2-c2， 令 f(y)=(aby-a)2+y2-c2， 则 f (y)=2(aby-a) ab+2y， 由 f (y)=0 得： 222aby ab ，于是 222abx ab ， 2222 212 2 2 2 2 0a b a bP F P F ca b a b u u ur u u urg ， 整理得： 22 222ab cab ，又 b2=a2-c2，222ce a ， e4-3e2+1=0， 2 532e ，又椭圆的离心率 e (0， 1)， 22 315522e
11、 ， 可得 e= 125e . 答案 ： D. 二、填空题 13.一组数据 2， x， 4， 6， 10的平均值是 5，则此组数据的标准差是 . 解析：由已知条件先求出 x的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差 . 一组数据 2， x， 4， 6， 10的平均值是 5， 2+x+4+6+10=5 5， 解得 x=3， 此组数据的方差 S2=15(2-5)2+(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(10-5)2=8， 此组数据的标准差 282S . 答案： 22 . 14.某射手射击 1次，击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响 .有下列结
12、论： 他第 3次击中目标的概率是 0.9； 他恰好击中目标 3次的概率是 0.93 0.1； 他至少击中目标 1次的概率是 1-0.14. 其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号 ). 解析：射击一次击中目标的概率是 0.9， 第 3次击中目标的概率是 0.9， 正确； 连续射击 4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响， 本题是一个独立重复试验， 根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标 3次的概率是 34C 0.93 0.1 不正确； 至少击中目标 1次的概率用对立事件表示是 1-0.14. 正确 . 答案： 15.函数 f(x)=Asin( x+ )(A，为常数， A 0， 0
13、)的部分图象如图所示，则 f(6)的值是 . 解析：根据顶点的纵坐标求 A，根据周期求出，由五点法作图的顺序求出的值，从而求得 f(x)的解析式，进而求得 f(6)的值 由图象可得 A=2， 274 4 1 2 3T ，解得 =2. 再由五点法作图可得 23 =， = 3， 故 f(x)= 2 sin(2x+3)， 故 s i n 2 2 s i n 26 6 36322f . 答案： 62. 16. 82 1xx的展开式中 x7的系数为 (用数字作答 ) 解析： 82 1 6 31 8 81 1rr rr r rrT C x C xx ， 令 16-3r=7，解得 r=3. 82 1xx的展
14、开式中 x7的系数为 3 381 56C . 答案： -56. 三、解答题 17.已知 121131fnn (n N*)， 2 1 1g n n (n N*). ( )当 n=1， 2， 3时，分别比较 f(n)与 g(n)的大小 (直接给出结论 ). 解析： ( )先令 n=1， 2， 3.分别求得 f(n)和 g(n)，再通过计算比较它们的大小即可 . 答案： ( )当 n=1时， f(1)=1， g(1)=2( 2 -1)， f(1) g(1)， 当 n=2时， 2121f ， g(2)=2( 3 -1)， f(2) g(2)， 当 n=3时， 123131f ， g(3)=2， f(3
15、) g(3). ( )由 (1)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并证明你的结论 . 解析： ( )通过前 3项进行归纳猜想，用数学归纳法证明 .检验 n取第一个值时，等式成立，假设 n=k时成立，证明当 n=k+1时也成立，即可得到猜想成立 . 答案： ( )猜想： f(n) g(n)(n N*)，即 231 1 11 2 1 1nn (n N*). 下面用数学归纳法证明：当 n=1时，上面已证 . 假设当 n=k时，猜想成立，即 231 1 11 2 1 1kk 则当 n=k+1时， 1 1 1 1 1 11 1 2 1 1 2 1 21 1 123f k k kk k k k . 而
16、 1 2 2 1 2 2 2g k k k ，下面转化为证明： 12 1 2 21kkk 只要证： 2 1 1 2 3 2 2 1k k k k ，需证： (2k+3)2 4(k+2)(k+1)， 即证： 4k2+12k+9 4k2+12k+8，此式显然成立 .所以，当 n=k+1时猜想也成立 . 综上可知：对 n N*，猜想都成立， 即 231 1 11 2 1 1nn (n N*)成立 . 18.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形， AB CD， DAB=60， FC平面 ABCD，AE BD， CB=CD=CF. ( )求证： BD平面 AED. 解析： ( )由题意及图可
17、得，先由条件证得 AD BD及 AE BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直 . 答案： ( )证明：四边形 ABCD是等腰梯形， AB CD， DAB=60 . ADC= BCD=120 . CB=CD， CDB=30，因此， ADB=90， AD BD， AE BD且， AE AD=A， AE， AD 平面 AED， BD平面 AED. ( )求二面角 F-BD-C 的余弦值 . 解析： ( )解法一：由 (I)知， AD BD，可得出 AC BC，结合 FC平面 ABCD，知 CA， CA，CF 两两垂直，因此可以 C 为坐标原点，分别以 CA， CB， CF 所在的直线为 X 轴
18、， Y 轴， Z 轴建立如图的空间直角坐标系，设 CB=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角 F-BD-C的余弦值即可； 解法二：取 BD 的中点 G，连接 CG， FG，由于 CB=CD，因此 CG BD，又 FC平面 ABCD， BD平面 ABCD，可证明出 FGC为二面角 F-BD-C的平面角，再解三角形求出二面角 F-BD-C的余弦值 . 答案： ( )解法一：由 (I)知， AD BD，同理 AC BC， FC平面 ABCD， CA， CB， CF两两垂直，以 C 为坐标原点，分别以 CA， CB， CF所在的直线为 X轴， Y轴， Z轴建立如图的空间
19、直角坐标系： 不妨设 CB=1，则 C(0， 0， 0)， B(0， 1， 0)， D( 32， 12， 0)， F(0， 0， 1)，因此 BDuur =( 32，32 ， 0)， BFuur =(0， -1， 1) 设平面 BDF的一个法向量为 mur =(x， y， z)，则 0m BF ur uuurg ， 0m BD ur uuurg ， x= 3 y= 3 z，取 z=1，则 mur =( 3 ， 1， 1)， CFuur =(0， 0， 1)是平面 BDC的一个法向量， cos mur ， CFuur 5515m C FC F m ur uuurguuur ur， 二面角 F-B
20、D-C的余弦值为 55. 解法二：取 BD的中点 G，连接 CG， FG， CB=CD， CG BD， FC平面 ABCD， BD 平面 ABCD， FC BD，由于 FC CG=C， FC， CG 平面 FCG. BD平面 FCG.故 BD FG，所以 FGC为二面角 F-BD-C的平面角， 在等腰三角形 BCD中， BCD=120， CG=12CB，又 CB=CF， 22 5G F C G C F C G ， cos FGC= 55， 二面角 F-BD-C的余弦值为 55. 19.已知 ABC的三个顶点分别为 A(2， 3)， B(1， -2)， C(-3， 4)，求 ( )BC 边上的中
21、线 AD 所在的直线方程 . 解析： ( )求出中点 D 的坐标，用两点式求出中线 AD所在直线的方程，并化为一般式 . 答案： ( )设 D(x， y)，则 x=132=-1， y= 242=1， D(-1， 1)，而 A(2， 3)， 312 31 2ADK ， BC边上的中线 AD所在的直线方程为： y-1=23(x+1)，即： 2x-3y+5=0. ( ) ABC的面积 . 解析： ( )求出线段 BC的长度，求出直线 BC的方程和点 A到直线 BC的距离，即可求得ABC的面积 . 答案： ( ) 223 1 4 2 2 1 3BC ，直线 BC 的方程是： 3x+2y+1=0， A到
22、 BC 的距离223 2 2 3 1 1332d ， 112 2 1 3 1 3 32 1ABCS B C d V g. 20.设数列 an前 n项和为 Sn，且 Sn+an=2. ( )求数列 an的通项公式 . 解析： ( )由数列递推式可得 Sn+1+an+1=2，与原数列递推式作差可得数列 an是等比数列，则数列 an的通项公式可求 . 答案： ( )由 Sn+an=2，得 Sn+1+an+1=2，两式相减，得 2an+1=an，1 12nnaa (常数 )， 数列 an是等比数列， 又 n=1时， S1+a1=2，112nna . ( )若数列 bn满足 b1=a1，113 3nn
23、nbb b ， n 2.求证 1nb为等比数列，并求数列 bn的通项公式 . 解析： ( )由 b1=a1求得 b1，把113 3nn nbb b 变形可得 1nb为等比数列，求其通项公式后可得数列 bn的通项公式 . 答案： ( )证明：由 b1=a1=1，且 n 2时，113 3nn nbb b ，得 bnbn-1+3bn=3bn-1， 11 131nnbb， 1nb是以 1为首项， 13为公差的等差数列， 1 1 2133n nnb ，故 32nb n . ( )设nnnac b ，求数列 cn的前 n和 Tn. 解析： ( )把 an， bn的通项公式代入nnnac b ，利用错位相减法求数列 cn的前 n和 Tn. 答案： ( ) 12312nnnnancb g， 0 1 11 1 1 13 2 2 23 4 2 nnTn g g g， 1 2 13 4 11 1 1 1 1 12 3 2 2 2 2 2nnnT n n g g g g， 以上两式相减得， 1 2 11 1 1 1 1 12 3 2 2 23 22nnnTn g 111221113132212nnn g 1421 1 13 2 2nnn g. 1843 3 2nnnTg .
