1、2013届辽宁省五校协作体高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 U=R，集合 P= ，集合 Q= ，则集合 P Q为（ ） A x-1x0,x R B x-1x0,x R C xx0,x R D xx-1,x R 答案： B 试题分析： 集合 Q= ， ，又集合P= ， 集合 P Q为 x-1x0,x R，故选 B 考点：本题考查了集合的运算 点评：处理集合的运算时，不仅要掌握全集、子集、交集、并集、补集的概念，还要掌握它们的应用及性质公式 已知 是 R上最小正周期为 2的周期 函数，且当 时， ，则函数在区间 上的图像与 x轴的交点个数为（ ） A 6 B 7 C
2、8 D 9 答案： B 试题分析：当 0x 2时，令 =0，则 x（ x-1）（ x+1） =0，解得 x=0或 1；又 f（ x）是 R上最小正周期为 2的周期函数， f（ 0） =f（ 2） =f（ 4） =f（ 6） =0， f（ 1） =f（ 3） =f（ 5） =0，故在区间 0， 6上，方程 f（ x） =0共有 7个根， 函数 y=f（ x）的图象在区间 0， 6上与 x轴的交点的个数为 7故选 B 考点：本题考查了根的存在性及根的个数判断 点评：正确求出一个周期内的根的个数和理解周期性是解题的关键 函数 的图像恒过定点 A，若点 A在直线上，其中 mn0，则 的最小值为（ ）
3、A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：由题意可得函数 的图像恒过定点 A（ 1， 1），又点 A在直线 mx+ny-2=0=0上， m+n=2， = ，当且仅当，时取 “=”可得 m=n=1，所以 的最小值为 2，故选 B 考点：本 题考查了基本不等式的应用 点评：基本不等式是求解二元最值问题的常用方法，本题用到了 “1”的代换及函数图象过定点问题，解题过程中用到了转化的思想，是一道基础题 函数 的图像与 x轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数 的图像，只需将 的图像（ ） A向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
4、答案： D 试题分析：由题意可得，函数的周期为 ，故 ， =2要得到函数的图象，只需将 的图象向右平移 个单位即可，故选 D 考点：本题考查了 y=Asin（ x+ ）的图象的周期及平移变换 点评：在函数 中，周期变换和相位变换都是沿 x轴方向的，所以 和之间有一定的关系， 是初相位，再经过 的压缩，最后移动的单位是 直线 与圆 相交于 M、 N两点，若 ，则 k的取值范围为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于 1，即 ， ， - ，故选 A 考点：本题考查了圆中重要三角形的运用及不等式的解法 点评：掌握圆心到直线的距离公式及弦长公式是解决此类
5、问题的关键 若实数 x、 y满足条件，则的最大值是（ ） A 3 B 4 C 6 D 8 答案： D 试题分析：满足条件 的可行域如下图所示： Z= ， ，故选 D 考点：本题考查了线性规划的运用 点评：角点法是解答点此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握 已知数列是等差数列， 若，则 的值是（ ） A B 1或 C D 1或 答案： B 试题分析： 数列是等差数列， ， ， 即 ，化简可得 或 d=0当 时， = 当 d=0时， = ，总上可得 = 或 1，故选 B 考点：本题考查了等差数列的定义和性质 点评：熟练掌握等差数列的通项公式及性质是解决此类问题的关键 已知 m、 n是两条不同的直线
6、， 、 、是三个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A若 则 B若 ， 则 C若 n则 D若 m、 n是异面直线， ， n 则 答案： C 试题分析：对于 A，利用垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知 A正确；对于 B，利用平行于同一平面的两个平面互相平行，可知 B正确；对于 C， 、 相交时，若 m，n与交线平行，则 m n，故 C不正确；对于 D，若 m， n是异面直线， m ， m ， n ，n ，可得 内的两条相交直线平行于 ，则 ，故 D正确，故选 C 考点：本题考查了空间线面位置关系 点评：正确掌握空间中的线面关系的判定及性质是解决此类问题的关键 若点 P 在直线 上，则 =(
7、 ) A B C D 答案： C 试题分析： 点 P 在直线 上， ， ，故选 C 考点：本题考查了二倍角公式的运用 点评：解决此类问题要学会抓住二倍角公式的本质，从角度入手去分析已知与未知之间的联系，逐项应用二倍角公式解题 若曲线 在 处的切线与直线 ax+2y+1=0互相垂直，则实数 a的值等于（ ） A -2 B -1 C 1 D 2 答案： D 试题分析： ， ，由导数的几何意义得在 处的切线斜率为，又直线 ax+2y+1=0的斜率为 ， ， ，故选 D 考点：本题考查了导数的几何意义 点评： 在 处导数 即为 所表示曲线在 处切线的斜率 ,即 ,则切线方程为 : 若点 P（ 3， -
8、1）为圆 的弦 AB的中点，则直线 AB的方程为（ ） A x+y-2=0 B 2x-y-7=0 C 2x+y-5=0 D x-y-4=0 答案： D 试题分析：由圆中弦的中点与圆心连线垂直于弦知， ，又过点 P（ 3，-1）， 直线 AB的方程为 x-y-4=0，故选 D 考点：本题考查了圆的性质 点评：研究直线和圆的位置关系的相关问题时通常采用 “几何法 ”即抓住圆心到直线的的距离与半径的关系 下列命题中错误的个数是（ ） 命题 “若 则 x=1”的否命题是 “若 则 x1” 命题 P: ,使 ，则 ,使 若 P且 q为假命题，则 P、 q均为假命题 是函数 为偶函数的充要条件 A 1 B
9、 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：命题 “若 x2-3x+2=0，则 x=1”的否命题是 “若 x2-3x+20，则 x1”，故 错误； 命题 P： x0 R，使 sinx0 1，则 P： x0 R，使 sinx01，故 正确；若 P且 q为假命题，则 P与 q至少存在一个假命题，可能是一真一假，不一定 P、 q均为假命题，故 错误；当 时函数 为偶函数，但函数为偶函数时， ，故 是函数 为偶函数的充分不必要条件，故 错误；故选 C 考点：本题考查了简易逻辑知识 点评：此类问题考查了命题的真假判断，四种命题，特称命题与全称命题的否定，复合命题，充要条件，正弦型函数的单调性，难度不大
10、填空题 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边，若 ，则角 B的值为 _ 答案： 或 试题分析： ， ， ，故角 B的值为 或 考点：本题考查了余弦定理的运用 点评：掌握余弦定理及其变形是解决此类问题的关键，应用时注意角的分类讨论 已知向量 满足 ，则 _ 答案： 试题分析： ， ， 考点：本题考查了平面向量的坐标运算 点评：熟练掌握平面向量的坐标运算及数量积的坐标运算是解决此类问题的关键 设数列 的前 n项和为 ，已知数列是首项和公比都为 3的等比数列，则数列 的通项公式为 =_ 答案： 试题分析： 数列 是首项和公比都是 3的等比数列， =3n故 =3， n2时， ，故
11、考点：本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前 n项和公式， 点评：此类问题常要求学生掌握 数列的前 n项的和 与第 n项 的关系，属于中档题 如图所示是一个几何体的三视图（单位： cm），主视图和左视图是底边长为 4cm，腰长为 的等腰三角形，俯视图是边长为 4的正方形，则这个几何体的表面积是-_ 答案： +16 试题分析：由三视图可知原几何体是正四棱锥，正四棱锥的底面边长 4，斜高 2 ，所以正四棱锥的表面积为四个侧面的面积加上底面积， 即S=4 42 +44=16+16 故答案：为 16+16 考点：本题考查了由三视图求原几何体的表面积 点评：解答的关键是如何由几何体的三视图还原得到原
12、几何体，由三视图得原几何体，首先分析俯视图，结合主视图和左视图得原图形，此题是中档题 解答题 （本小题满分 10分） 已知圆 M过两点 C（ 1， -1）、 D（ -1， 1） 且圆心 M在直线 x+y-2=0上。 （ 1）、求圆 M的方程 （ 2）、设 P是直线 3x+4y+8=0上的动点， PA、 PB是圆 M的两条切线， A、 B为切点，求四边形 PAMB的面积的最小值。 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）设圆 M的方程为 依题意 （ 3分） 解得： （ 4分） 所以圆 M的方程为 （ 5分） （ 2）因为 PA为圆的切线，所以 PA AM S四边形 PAMB 2SAPM=
13、（ 7分） 当 PM垂直于直线 时， （ 9分） 所以四边形 PAMBR的面积的最小值为 （ 10分） 考点：本题考查了圆方程的求法及圆的性质 点评：圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或 找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。 （本小题满分 12分） 已知 最小正周期为 (1).求函数 的单调递增区间及对称中心坐标 (2).求函数 在区间 上的取值范围。 答案：（ 1） 的单调递增区间为 ，对称中心坐标为；（ 2） 试题分析：（ 1） = = (2分 ) T= （ 4分） 令 的单调
14、递增区间为 （ 6分） 令 ，则 的对称中心坐标为 （ 8分） （ 2） （ 10分） 在 的取值范围是 （ 12分） 考点：本题考查了三角函数的性质及最值 点 评：本题考查了三角函数公式的运用及性质、区间上三角函数的值域等，主要考查学生的运算能力和推理能力，关于三角函数的化简与求值是高中阶段的重点内容，需要灵活运用三角函数的各种变形公式 （本小题满分 12分） 已知数列 的前 n项和为 ，满足 （ 1）求数列 的通项公式 （ 2）设 ,求数列 的前 n项和 。 答案：（ 1） ； (2) 试题分析：（ 1） 当 n=1时 ， （ 1分） 当 时 ， （ 3分） 是以首项为 2，公比为 2的等
15、比数列 （ 5分） （ 6分） (2) （ 7分） 2 （ 8分） （ 9分） （ 10分） （ 12 ） 考点：本题考查了数列通项的求法及前 N项的求解 点评：本题考查了数列的通项公式的求法、数列前 N项和的求法，侧重考查学生分析问题解决问题的能力 （本小题满分 12分） 在四棱柱中，底面 是直角梯形， AB CD， ABC= ，AB=PB=PC=BC=2CD=2，平面 PBC 平面 ABCD （ 1）求证： AB 平面 PBC （ 2）求三棱锥 C-ADP的体积 （ 3）在棱 PB上是否存在点 M使 CM 平面 PAD？ 若存在 ,求 的值。若不存在 ,请说明理由。 答案：（ 1）证明：因
16、为 ABC= ，所以 AB BC。因为平面 PBC 平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCD=BC， AB 平面 ABCD，所以 AB 平面 PBC ；（ 2） ；（ 3）在棱 PB上存在点 M使得 CM 平面 PAD，此时 试题分析：（ 1）证明：因为 ABC= ，所以 AB BC。 （ 1分） 因为平面 PBC 平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCD=BC AB 平面 ABCD，所以 AB 平面 PBC （ 4分） （ 2）取 BC的中点 O，连接 PO 因为 PB=PC，所以 PO BC 因为平面 PBC 平面 ABCD 平面 PBC平面 ABCD=BC,PO 平面 PBC 所以
17、PO 平面 ABCD （ 5分） 在等边 PBC中 PO= (8分 ) （ 3）在棱 PB上存在点 M使得 CM 平面 PAD，此时 证明：取 AB的中点 N，连接 CM， CN， MN 则 MN PA,AN= 因为 AB =2CD 所以 AN=CD 因为 AB CD所以四边形 ANCD是平行四边形。 所以 CN AD 因为 MNCN=N,PAAD=A 所以平面 MNC 平面 PAD （ 10分） 因为 平面 MNC 所以 CM 平面 PAD （ 12分） 考点：本题考查了空间中的线面关系 点评：以棱锥柱为载体考查立体几何中的线面、面面、点面位置关系或距离是高考的亮点，掌握其判定性质及定理，是
18、解决此类问题的关键 （本小题满分 12分） 若 a、 b、 c是 ABC三个内角 A、 B、 C所对边，且 （ 1）求 （ 2）当 时，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由正弦定理得 （ 2分） 即 故 ， （ 6分） （ 2）由余弦定理 ，得 （ 8分） B= （ 10分） （ 12分） 考点：本题考查了正余弦定理的运用 点评：求解三角形问题时，要注意三角形中角、边之间的隐含关系 （本小题满分 12分） 已知函数其中 （ 1）、若 的单调增区间是（ 0.1），求 m的值 （ 2）、当 时，函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求 m的取值范围 . 答案： (1) m=-2 ;(2)（ -1， 0） 试题分析： (1) （ 1分） 因为 的增区间是（ 0， 1） 则 的解集为（ 0， 1） 所以 （ 3分） 解得 m=-2 （ 4分） (2)、设 为 图像上任意一点 切线斜率 K 即 在 上恒成立 令 ，则 （ 6分） 的对称轴为 当 即 时 （ 8分） 当 即 时 此时无解。 （ 10分） 综上所述： 的取值范围（ -1， 0） （ 12分） 考点：本题考查了导函数的运用 点评：导数的应用是高考的一个重点，考查了分类讨论思想，要注意分类讨论时做到不重不漏
