1、2015 年辽宁省锦州市中考 真题 数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 ) 1. 2015 的相反数是 ( ) A.2015 B.-2015 C. 12015D.- 12015解析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得 2015 的相反数是 -2015. 答案： B. 2.下列事件中，属于必然事件的是 ( ) A.明天我市下雨 B.抛一枚硬币，正面朝下 C.购买一张福利彩票中奖了 D.掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 解析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 . A， B， C 选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意 . 一定发生的
2、事件只有 D，掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零，是必然事件，符合题意 . 答案： D. 3.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为 ( ) A. B. C. D. 解析：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形 . 答案： A. 4.下列二次根式中属于最简二次根式的是 ( ) A. 24 B. 36 C. abD. 4a 解析： A、不是最简二次根式，故本选项错误； B、不是最简二次根式，故本选项错误； C、不是最简二次根式，故本选项错误； D、是最简二次根式，故本选项正确； 答案： D. 5.在同一坐标系中，一次函数 y=ax+2 与
3、二次函数 y=x2+a 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析：根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与 y 轴的交点为 (0， 2)，二次函数的开口向上 .当 a 0 时，二次函数顶点在 y 轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当 a 0 时，二次函数顶点在 y 轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限 . 答案： C. 6.如图，不等式组 0022xx 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析：数轴的某一段上面表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集 .实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左 . 由 得， x
4、 -2， 由 得， x2 ， 故此不等式组的解集为： -2 x2 . 答案： B. 7.一元二次方程 x2-2x+1=0 的根的情况为 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析： a=1， b=-2， c=1， =b2-4ac=(-2)2-411=0 ， 方程有两个相等的实数根 . 答案： A. 8.如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(4， 4)， B(6， 2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12后得到线段 CD，则端点 C 和 D 的坐标分别为 ( ) A.(2， 2)， (3， 2) B.
5、(2， 4)， (3， 1) C.(2， 2)， (3， 1) D.(3， 1)， (2， 2) 解析： 线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(4， 4)， B(6， 2)， 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12后得到线段 CD， 端点的坐标为： (2， 2)， (3， 1). 答案： C. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 ) 9.已知地球上海洋面积约为 316000000km2， 316000000 这个数用科学记数法可表示为 . 解析：根据科学记数法定义得到 316000000 这个数用科学记数法可表示 3.1610 8. 答案
6、： 3.1610 8. 10.数据 4， 7， 7， 8， 9 的众数是 . 解析：根据众数的定义 ， 数据 4， 7， 7， 8， 9 中 7 出现的次数较多， 这一组数据的众数是 7. 答案 ： 7. 11.如图，已知 l1 l2， A=40 ， 1=60 ， 2= . 解析： l1 l2， B= 1=60 ， 2 为 ABC 的一个外角， 2= B+ A=60+40=100 ， 答案 ： 100 . 12.分解因式： m2n-2mn+n= . 解析：原式 =n(m2-2m+1)=n(m-1)2. 答案 ： n(m-1)2 13.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 .那么，这名球员投篮
7、一次，投中的概率约为 (精确到 0.1). 解析： 由题意得，这名球员投篮的次数为 1550 次，投中的次数为 796， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为： 79615500.5 . 答案 ： 0.5. 14.如图，点 A 在双曲线 y=kx上， AB x 轴于点 B，且 AOB 的面积是 2，则 k 的值是 . 解析： AOB 的面积是 2， 12|k|=2， |k|=4， 解得 k=4 ， 又 双曲线 y=kx的图象经过第二、四象限， k=-4， 即 k 的值是 -4. 答案 ： -4. 15.制作某种机器零件，小明做 220 个零件与小芳做 180 个零件所用的时间相同，已知小明每小时
8、比小芳多做 20 个零件 .设小芳每小时做 x 个零件，则可列方程为 . 解析：设小芳每小时做 x 个零件，则小明每小时做 (x+20)个零件， 由题意得， 220 18020xx. 答案 ： 220 18020xx. 16.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数 y=12x 的图象上，从左向右第 3 个正方形中的一个顶点 A 的坐标为 (6， 2)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为 S1、 S2、 S3、 、 Sn，则第 4 个正方形的边长是 ， S3的值为 . 解析：易知：直线 y=12x 与正方形的边围成的三角形直角边底是高的 2 倍， 后
9、一个正方形的边长是前一个正方形边长的 32倍， A(6， 2)， 第三个正方形的边长为 2， 第四个正方形的边长为 3； 易知，一系列的阴影三角形均为相似三角形，相似比为 94S2=22+32-1222 -1213 -123 (2+3)=2， S3=2 (94)2=818. 答案 ： 3、 818. 三、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 8分，共 16分 ) 17.先化简，再求值： (1+ 11x)2 1xx ，其中： x=3 2 -3. 解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = 1
10、1111xxxxx = 111xxxxx=x+1， 当 x=3 2 -3 时，原式 =3 2 -3+1=3 2 -2. 18.如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点是 A(-5， 1)， B(-2， 3)，线段 CD 的两个端点是 C(-5， -1)， D(-2， -3). (1)线段 AB 与线段 CD 关于直线对称，则对称轴是 ； (2)平移线段 AB 得到线段 A1B1，若点 A 的对应点 A1的坐标为 (1， 2)，画出平移后的线段 A1B1，并写出点 B1的坐标为 . 解析： (1) A(-5， 1)， C(-5， -1)， AC x 轴，且到 x 轴的距离相等， 同理 B
11、D x 轴，且到 x 轴的距离相等， 线段 AB 和线段 CD 关于 x 轴对称， (2)由 A 和 A1的坐标变化可得出平移的规律，可得出 B1的坐标，容易画出平移后的线段 . 答案： (1) x 轴； (2) A(-5， 1)， A1(1， 2)， 相当于把 A 点先向右平移 6 个单位，再向上平移一个单位， B(-2， 3)， 平移后得到 B1的坐标为 (4， 4)， 线段 A1B1如图所示， 故答案为： (4， 4). 四、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 10分，共 20 分 ) 19. 2015 年 5 月，某校组织了以 “ 德润书香 ” 为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有
12、60， 70， 80， 90， 100 五种，现从中随机抽取部分作品，对其份数和成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图； (2)已知该校收到参赛作品共 900 份，比赛成绩达到 90 分以上 (含 90 分 )的为优秀作品，据此估计该校参赛作品中，优秀作品有多少份？ 解析： (1)根据 70 分的人数除以占的百分比，得出抽取的总份数，补全统计图即可； (2)根据游戏份数占的百分 比，乘以 900 即可得到结果 . 答案： (1)根据题意得： 2420%=120 (份 )， 得 80 分的作品数为 120-(6+2
13、4+36+12)=42(份 )， 补全统计图，如图所示； (2)根据题意得： 900 36 12120=360(份 )， 则据此估计该校参赛作品中，优秀作品有 360 份 . 20.育才中学计划召开 “ 诚信在我心中 ” 主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有 2 名男生和 1 名女生被推荐为候选主持人 . (1)小明认为，如果从 3 名候选主持人中随机选拔 1 名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果从 3 名候选主持人中随机选拔 2 名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的 2 名主持人恰好是 1 名男生
14、和 1 名女生的概率 . 解析： (1)根据概率的意义解答即可； (2)画出树状图，然后根据概率的意义列式计算即可得解 . 答案： (1)不同意他的说法 .理由如下： 有 2 名男生和 1 名女生， 主持人是男生的概率 =23， 主持人是女生的概率 =13； (2)画出树状图如下： 一共有 6 种情况，恰好是 1 名男生和 1 名女生的有 4种情况， 所以， P(恰好是 1 名男生和 1 名女生 )=4263. 五、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 10分，共 20 分 ) 21.如图， ABC 中，点 D， E 分别是边 BC， AC 的中点，连接 DE， AD，点 F在 BA 的延长线
15、上，且 AF=12AB，连接 EF，判断四边形 ADEF 的形状，并加以证明 . 解析：根据三角形中位线的性质可得 DE BF， DE=12AB，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形 ADEF 的形状 . 答案： 四边形 ADEF 是平行四边形 . 证明： 点 D， E 分别是边 BC， AC 的中点， DE BF， DE=12AB， AF=12AB， DE=AF， 四边形 ADEF 是平行四边形 . 22.如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛 P 附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到 A 处，测得该岛在北偏东 30 方向，海监船以 20 海里 /时的速度继续航行， 2 小时后
16、到达 B 处，测得该岛在北偏东 75 方向，求此时海监船与黄岩岛 P的距离 BP的长 .(参考数据： 2 1.414 ，结果精确到 0.1) 解析：过 B 作 BD AP 于 D，由已知条件得： AB=202=40 ， P=75 -30=45 ，在 Rt ABD中求出 BD=12AB=20，在 Rt BDP 中求出 PB 即可 . 答案： 过 B 作 BD AP 于 D， 由已知条件得： AB=202=40 ， P=75 -30=45 ， 在 Rt ABD 中， AB=40， A=30， BD=12AB=20， 在 Rt BDP 中， P=45 ， PB= 2 BD=20 2 28.3 (海里
17、 ). 答：此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长约为 28.3 海里 . 六、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 10分，共 20 分 ) 23.如图， ABC 中，以 AC 为直径的 O 与边 AB 交于点 D，点 E 为 O 上一点，连接 CE 并延长交 AB 于点 F，连接 ED. (1)若 B+ FED=90 ，求证： BC 是 O 的切线； (2)若 FC=6， DE=3， FD=2，求 O 的直径 . 解析： (1)利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出 FED= A，进而得出 B+A=90 ，求出答案； (2)利用相似三角形的判定与性质首先得出 FED FAC，进而
18、求出即可 . 答案 ： (1)证明： A+ DEC=180 ， FED+ DEC=180 ， FED= A， B+ FED=90 ， B+ A=90 ， BCA=90 ， BC 是 O 的切线； (2)解： CFA= DFE， FED= A， FED FAC， DF DEFC AC， 236 AC， 解得： AC=9，即 O 的直径为 9. 24.开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价 y(元 /本 )与购买数量 x(本 )之间的函数关系如图所示 . (1)图中线段 AB 所表示的实际意义是 ； (2)请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； (3)已
19、知该文具批发部这种笔记本的进价是 3 元 /本，若小明购买此种笔记本超过 10 本但不超过 20 本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润 W(元 )最大？最大利润是多少？ 解析： (1)由所给的一次函数图象观察线段 AB 即可得出线段 AB 所表示的实际意义是：购买不超过 10 本此种笔记本时售价为 5 元 /本， (2)分三种情况 当 0 x10 时， 当 10 x20 时， 当 20 x 时分别求解即可， (3)先列出 W 的关系式，再利用二次函数的最值求解即可 . 答案： (1)购买不超过 10 本此种笔记本时售价为 5 元 /本 . (2) 当 0 x10 时，
20、y 与 x 之间的函数关系式 y=5； 当 10 x20 时， 设 =kx+b 把 B(10， 5)， C(20， 4)代入得 5 104 20kbkb， 解得 0.16kb. 所以 y 与 x 之间的函数关系式 y=-0.1x+6； 当 x 20 时， y 与 x 之间的函数关系式 y=4. 当 20 x 时， y 与 x 之间的函数关系式为： y=4. (3)W=(-0.1x+6-3)x=-0.1 (x-15)2+22.5. 答：当小明购买 15 本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润最大，最大利润是 22.5元 . 七、解答题 (本题 12 分 ) 25.如图 ， QPN 的顶点 P
21、在正方形 ABCD 两条对角线的交点处， QPN= ，将 QPN 绕点P 旋转，旋转过程中 QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD交于点 E和点 F(点 F 与点 C， D 不重合 ). (1)如图 ，当 =90 时， DE， DF， AD 之间满足的数量关系是 _； (2)如图 ，将图 中的正方形 ABCD 改为 ADC=120 的菱形，其他条件不变，当 =60时， (1)中的结论变为 DE+DF=12AD，请给出证明； (3)在 (2)的条件下，若旋转过程中 QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， DE， DF， AD 之
22、间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明 . 解析： (1)利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得 APE DPF，可得出 AE=DF，即可得出结论 DE+DF=AD， (2)取 AD 的中点 M，连接 PM，利用菱形的性质，可得出 MDP 是等边三角形，易证 MPE FPD，得出 ME=DF，由 DE+ME=12AD，即可得出 DE+DF=12AD， (3) 当点 E 落在 AD 上时， DE+DF=12AD， 当点 E 落在 AD的延长线上时， DF-DE=12AD. 答案： (1)正方形 ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 P， PA=PD， PAE= PDF=45 ， A
23、PE+ EPD= DPF+ EPD=90 ， APE= DPF， 在 APE 和 DPF 中 A P E D P FP A P DP A E P D F APE DPF(ASA)， AE=DF， DE+DF=AD； (2)如图 ，取 AD 的中点 M，连接 PM， 四边形 ABCD 为 ADC=120 的菱形， BD=AD， DAP=30 ， ADP= CDP=60 ， MDP 是等边三角形， PM=PD， PME= PDF=60 ， PAM=30 ， MPD=60 ， QPN=60 ， MPE= FPD， 在 MPE 和 DPF 中， P M E P D FP M P DM P E F P
24、D MPE DPF(ASA) ME=DF， DE+DF=12AD； (3)如图， 在整个运动变化过程中， 当点 E 落在 AD 上时， DE+DF=12AD； 当点 E 落在 AD 的延长线上时， DF-DE=12AD. (如图 3，取 AD 中点 M，连接 PM，证明 MPE DPF) 八、解答题 (本题 14 分 ) 26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A(-1， 0)和点 B(4， 0)，且与 y轴交于点 C，点 D 的坐标为 (2， 0)，点 P(m， n)是该抛物线上的一个动点，连接 CA， CD， PD，PB. (1)求该抛物线的解析式； (2)当
25、 PDB 的面积等于 CAD 的面积时，求点 P 的坐标； (3)当 m 0， n 0 时，过点 P 作直线 PE y 轴于点 E交直线 BC于点 F，过点 F 作 FG x 轴于点 G，连接 EG，请直接写出随着点 P 的运动，线段 EG 的最小值 . 解析： (1)根据抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A(-1， 0)和点 B(4， 0)，应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可 . (2)首先根据三角形的面积的求法，求出 CAD 的面积，即可求出 PDB 的面积，然后求出BD=2，即可求出 |n|=3，据此判断出 n=3 或 -3，再把它代入抛物线的解析式，求出 x 的值是多少，即可
26、判断出点 P 的坐标 . (3)首先应用待定系数法，求出 BC 所在的直线的解析式是多少；然后根据点 P 的坐标是 (m，n)，求出点 F 的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出 EG2的最小值是多少，即可求出线段 EG 的最小值 . 答案： (1)把 A(-1， 0)， B(4， 0)两点的坐标代入 y=ax2+bx+2 中，可得 201 6 4 2 0abab 解得1232ab 抛物线的解析式为： y=-12x2+32x+2. (2) 抛物线的解析式为 y=-12x2+32x+2， 点 C 的坐标是 (0， 2)， 点 A(-1， 0)、点 D(2， 0)， AD=2-(-1)=3， CA
27、D 的面积 =12 3 2=3， PDB 的面积 =3， 点 B(4， 0)、点 D(2， 0)， BD=2， |n|=322=3 ， n=3 或 -3， 当 n=3 时， -12m2+32m+2=3， 解得 m=1 或 m=2， 点 P 的坐标是 (1， 3)或 (2， 3). 当 n=-3 时， -12m2+32m+2=-3， 解得 m=5 或 m=-2， 点 P 的坐标是 (5， -3)或 (-2， -3). 综上，可得 点 P 的坐标是 (1， 3)、 (2， 3)、 (5， -3)或 (-2， -3). (3)如图 1， 设 BC 所在的直线的解析式是： y=mx+n， 点 C 的坐标是 (0， 2)，点 B 的坐标是 (4， 0)， 240nmn解得 122mn BC 所在的直线的解析式是： y=-12x+2， 点 P 的坐标是 (m， n)， 点 F 的坐标是 (4-2n， n)， EG2=(4-2n)2+n2=5n2-16n+16=5(n-85)2+165， n 0， 当 n=85时，线段 EG 的最小值是： 16 4 555， 即线段 EG 的最小值是 4 55.
